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函数的奇偶性教师


函数的奇偶性 一、 【学习目标】 1、理解函数的奇偶性并能熟练应用数形结合的数学思想解决、推导问题; 2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质,掌握判断函数的奇偶性的方法, 3、能应用奇偶性的知识解决简单的函数问题. 二、 【研探新知】 提出问题 ① 如图所示,观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.

结论:这两个函数之间的图象都关于 y 轴对称. ② 那

么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于 y 轴对称呢?填写表 1 和表 2,你发现 这两个函数的解析式具有什么共同特征? x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x2

表1 x -3 -2 -1 0 1

2 3 f(x)=|x|

表2 结论:这两个函数的解析式都满足:f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数, 它们对应的函数值相等, 也就是说对于函数 定义域内一个 x,都有 f(-x)=f(x). ③偶函数的定义:一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x) 就叫做偶函数. ④偶函数的图象有什么特征? 结论:偶函数的图象关于 y 轴对称. ⑤函数 f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数吗? 结论: 不是偶函数. ⑥偶函数的定义域有什么特征? 结论:偶函数的定义域关于原点轴对称. ⑦观察函数 f(x)=x 和 f(x)=的图象,类比偶函数的推导过程,给出奇函数的定义和性质? 奇函数定义:一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么 f(x)就叫 做奇函数. 奇函数的性质:奇函数的图象关于原点中心对称,其定义域关于原点轴对称. 总结提升: 1、如果函数是奇函数或偶函数,我们就说函数具有奇偶性; 2、根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函 数也不是偶函数; 3、奇、偶函数的定义域关于“0” (原点)对称.如果一个函数的定义域不关于“0” (原点) 对称,则该函数既不是奇函数也不是偶函数; 4、偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称; 5、可以利用图象判断函数的奇偶性,这种方法称为图象法,也可以利用奇偶函数的定义判 断函数的奇偶性,这种方法称为定义法; 利用奇偶函数的定义判断函数奇偶性的步骤: 第一步:考查函数的定义域是否关于原点对称;若函数的定义域不是关于原点对称的,则立 即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若定义域关于原点对称,则判断是否成立; 第二步:①若,则为奇函数; ②若,则为偶函数; ③若且,则既是奇函数又是偶函数.(只有一类, 即=0, ,D 关于原点对称) 6、函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质,而函数的单调性是函数在定义

域的子集上的性质是“局部”性质. 三、 【经典范例】 一.判断函数的奇偶性: 例 1、判断下列函数的奇偶性: (1) (2) (3) (4), (5) (6)f(x) =x+; 【解】(1) 函数的定义域为,关于原点对称,且 ,所以该函数是奇函数。 (2)函数的定义域为,关于原点对称, 且,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数,即是非奇非偶函数。 (3) 函数的定义域为,关于原点对称, ,所以该函数既是奇函数又是偶函数。 (4)函数,的定义域为不关于原点对称,故该函数是非奇非偶函数。 (5) 函数的定义域为,关于原点对称, ,所以该函数是偶函数。 (6) 函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x), 所以函数 f(x)=x+是奇函数. 二.根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值: 例 2、已知函数是定义域为的奇函数,求的值. 【解】∵是定义域为的奇函数,∴对任意实数都成立, 把代入得,∴. 三.已知函数的奇偶性求参数值: 例 3、已知函数是偶函数,求实数的值. 【解】∵是偶函数,∴恒成立, 即恒成立, ∴恒成立,∴,即. 追踪训练一 如果二次函数是偶函数,则 3. 给定四个函数; ; ; ;其中是奇函数 的个数是( B ) 1个 2个 3个 4个 四、拓展提升 例 4、 判断下列函数的奇偶性: (1) (2) (3) 解:(1)函数 的定义域得关于原点对称,此时对于定义域中的任意一个, ,所以该函数是 奇函数; (2) 函数的定义域为关于原点对称,此时,所以该函数既是奇函数又是偶函数。 例 5、证明,是奇函数.

练习:判断函数 f(x)=的单调性; 解:f(-x)=,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.

例 6、已知函数,若,求的值。 【解】方法一:由题意得 ① ② ①+②得 ∵,∴ 方法二:构造函数,则一定是奇函数,又∵ ∴ 因此 所以,即. 练习、已知 f(x)=x7+ax5+bx-5,且 f(-3)=5,则 f(3)=( A ) A.-15 B.15 C.10 D.-10 解法 1:f(-3)=(-3)7+a(-3)5+(-3)b-5=-(37+a·35+3b-5)-10=-f(3)-10=5, ∴f(3)=-15. 解法 2:设 g(x)=x7+ax5+bx,则 g(x)为奇函数,∵f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5, ∴g(3)=-10,∴f(3)=g(3)-5=-15. 四、 【巩固练习】 1.下列结论正确的是 ( C ) A.偶函数的图象一定与轴相交; B.奇函数的图象一定过原点; C.偶函数的图象若不经过原点,则它与轴的交点的个数一定是偶数; D.定义在上的增函数一定是奇函数. 2. 下列命题中错误的是( D ) ① 图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ② 奇函数的图象一定过原点 ③ 偶函数的图象与 y 轴一定相交 ④ 图象关于 y 轴对称的函数一定为偶函数 A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-3,则 f(-2)的值等于( A ) A.-1 B.1 C. D.- 解∵x>0 时,f(x)=2x-3,∴f(2)=22-3=1,又 f(x)为奇函数,∴f(-2)=-f(2)=-1. 4.如果奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,则 f(x)在(-∞,0)上( B ) A.减函数 B.增函数 C.既可能是减函数也可能是增函数 D.不一定具有单调性 5.若函数为奇函数,且当时, ,则当时,有( C ) A. B. C.≤0 D.- 6.设函数和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A ) A.+|g(x)|是偶函数 B.-|g(x)|是奇函数 C.|| +g(x)是偶函数 D.||- g(x)是奇函数 7. 设函数 f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数.①y=-| f(x)|,②y=xf(x2) ③y=-f(-x) ,④y= f(x)-f(-x)中为奇函数的有_②④. (要求填写正确答案的序号) . 8. 若 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为偶函数,则 g(x)=ax3+bx2+cx 的奇偶性为____. 奇函数 9. 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2, x∈[-1,2]; (2)f(x)=+;

(3)

(4)

解: (1)因为它的定义域关于原点不对称,函数 f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数又不是偶函 数. (2)∵x2-4≥0 且 4-x2≥0,∴x=±2,即 f(x)的定义域是{-2,2}. ∵f(2)=0,f(-2)=0,∴f(2)=f(-2) ,f(2)=-f(2).∴f(-x)=-f(x) ,且 f(-x)=f(x).∴f(x)既是奇函数也是偶函数. 10.函数, ,若对于任意实数都有,求证:为奇函数;


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