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安徽省学业水平测试数学模拟试题4


安徽省宿州市褚兰中学

谢长智

高二学生学业水平测试数学模拟题
本试卷满分 150 分,测试时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , 集合 A ? ?1,3,5?, 则 CU A= (A) ?2,4? 2.已知 sin ? ? (B) ?1,3,5? (C) ?1,2,3,4,5? ( (D) ? ( ) )

4 ,并且 ? 是第二象限的角,那么 tan ? 的值等于 5 3 4 3 4 (A) ? (B) ? (C) (D) 4 3 4 3

3.函数 f ( x) ? lg x ? x 零点的个数为 (A)无穷多 (B) 3 (C) 1 (D) 0





4.已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? (m 2 ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是( (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (
0



5.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ? A ? (A) 90
0



(B) 60

0

(C) 120

0

(D) 150

6 . 有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几何体的表面积及体积为 ( )

5

6

正视图 (A) 24? cm , 36?cm
2

侧视图
3
2

府视图
3

(B) 15? cm , 12?cm (D) 以上都不正确

(C) 24? cm , 12?cm
2

3

7.圆 x 2 ? y 2 ? 8 内一点 P(?1,2) 平分弦 AB ,则弦 AB 所在直线方程为 (A) ? x ? 2 y ? 5 ? 0 (C) ? x ? 2 y ? 5 ? 0 8.右图给出的是计算 内应填入的条件是( (A)i>10? (B) x ? 2 y ? 5 ? 0 (D) x ? 2 y ? 5 ? 0





1 1 1 1 ? ? ??? 的值的一个程序框图,其中判断框 2 4 6 20
) (C)i>20?
1

(B)i<10?

(D)i<20?

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9.在等差数列 ?an ? 中,若 S 4 ? 1, S8 ? 4 , 则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为( (A) 9 (B) 12 ) (D) 17

(C) 16

10.不等式

x 2 ? 8x ? 20 ? 0 的解集为 R ,则实数 m 的取值范围是( m x2 ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4 1 1 (A) (??,?1) (B) (?? ,? ) (C) ( ,?? ) (D) (1,??) 2 2



二、填空题 :本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 11.数据 5,7,7,8,10,11 的标准差是 12.若 2
x 2 ?1

? ( ) x ? 2 ,则函数 y ? 2 x 的值域是

1 4

? y ? x, ? 13.设实数 x 、 y 满足约束条件: ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最大值 ? y ? ?1. ?
14.已知 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右 图所示,求时速在 [60,70] 的汽车大约有 辆。 0.04 0.03 0.02 0.01 频率 组距

三、解答题:本题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 15. (本题满分 13 分) 设函数

f ( x) ? a ? b -1, 其中向量 a = (2cosx,

40 50 60 70 80 时速 (km)

1), b =(cosx, 3 sin2x),其中 x ? R 。 . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的递增区间。

2

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16. (本题满分 13 分)袋子中装有 18 只球,其中 8 只红球、5 只黑球、3 只绿球、2 只白球, 从中任取 1 球,求: (1)取出红球或绿球的概率; (2)取出红球或黑球或绿球的概率。

17. (本题满分 14 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形,

P

PA ? 平面 ABCD , 点 F 为 PC 的中点。
(1)求证: PA // 平面 BDF ; (2)求证:平面 PAC ? 平面 BDF 。 A D F

B

C

18. (本题满分 13 分)已知点 A(1, ?1), B(5,1) ,直线 l 经过点 A ,且斜率为 ? (1)求直线 l 的方程; (2)求以 B 为圆心,并且与直线 l 相切的圆的标准方程。

3 。 4

3

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19. (本题满分 13 分)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a3 ? 5, S3 ? 9 。 (1)求首项 a1 和公差 d 的值; (2)若 Sn ? 100 ,求 n 的值。

20. (本题满分 14 分)已知二次函数 f (x) = ax 且方程 f(x)=7x+ a 有两个相等的实根。 (1)求 f(x)的解析式;

2

? bx ? a 满足条件 f ( x ? ) ? f ( ? x) ,

7 4

7 4

(2) 是否存在实数 m, n (0<m<n) , 使f (x) 的定义域和值域分别是 ? m, n? 和 ? , ? ? n m 若存在,求出 m,n 的值;若不存在,请说明理由。

?3 3 ? ? ?

4

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高二学生学业水平测试数学模拟题参考答案 一、选择题:每小题 5 分,共 50 分。 题 号 答案 1 A 2 B 3 D 4 B 5 C 6 C 7 D 8 A 9 A 10 B

二、填空题 :每小题 5 分,共 20 分。 12. [ , 2]

11.2

1 8

13.3

14.80

三、解答题:本题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解: (1)依题设,f(x)=2cos2x+ 3 sin2x-1=2sin(2x+

? 函数 f ( x) 的最小正周期为 T=
(2)? 2k ? +

? ? 3? , k ?Z ≤2x+ ≤2k ? + 2 6 2 ? 4? , k ?Z 即 2k ? + ≤2x≤2k ? + 3 3 ? 2? , k ?Z ? k ? + ≤x≤k ? + 3 6

2? =? 2

? ) 6

------------5 分 -------------7 分

-------------11 分

? 2? ? ? ? 函数 f ( x) 的单调递减区间为 ?k?+ , k?+ ? , k ? Z 6 3 ? ?
16.解:记事件 A={从 18 只球中任取 1 球得红球}, 事件 B={从 18 只球中任取 1 球得黑球}, 事件 C={从 18 只球中任取 1 球得绿球}, 事件 D={从 18 只球中任取 1 球得白球}, 则 P ( A) ?

-----------13 分

……………2 分 ……………6 分 ……………7 分

8 5 3 2 , P( B) ? , P (C ) ? , P( D) ? . 18 18 18 18

根据题意,A、B、C、D 彼此互斥,有互斥事件概率加法公式得: (1)取出红球或绿球的概率为 P(A+C)=P(A)+P(C)= (2)解法 1:取出红球或黑球或绿球的概率为: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=

8 3 11 + = .…10 分 18 18 18

8 5 3 8 + + = . 18 18 18 9
……………13 分

解法 2:“取出红球或黑球或绿球”的对立事件是“取出白球”, 所以 P(A+B+C)=1 ? P(D)=1 ?

2 16 8 ? . = 18 18 9

17.证明: (1) 连结 AC , BD 与 AC 交于点 O ,连结 OF .

ABCD 是菱形,
5

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? O 是 AC 的中点.
点 F 为 PC 的中点, ? OF // PA . …… 4 分

P

OF ? 平面 BDF , PA ? 平面 BDF ,
(2) …… 6 分 PA ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD , ? PA ? AC .

F A O

? PA // 平面 BDF

D

O F/ / P A ? , O? F

A . C
B …… 10 分 …… 12 分 …… 14 分 C

ABCD 是菱形, ? AC ? BD . OF BD ? O , ? AC ? 平面 BDF . AC ? 平面 PAC , ? 平面 PAC ? 平面 BDF .
18. 解: (1)

直线 l 经过点 A (1, ?1) ,且斜率为 ?

3 4
……………6 分

3 ? 其方程为: y ? 1 ? ? ( x ? 1) ,化简得 3x ? 4 y ? 1 ? 0 4
(2) 圆 B 以 B(5,1) 为圆心,与直线 l 相切

? 点 B(5,1) 到 l 的距离 d ?

| 3 ? 5 ? 4 ?1 ? 1| 32 ? 42

? 4 为圆 B 的半径.
……………13 分

? 圆 B : ( x ? 5)2 ? ( y ?1)2 ? 16
19.解: (1)

a3 ? 5, S3 ? 9 ,
? a ? 2d ? 5, ?? 1 ?3a1 ? 3d ? 9.
解得 ? …… 4 分

?a1 ? 1, ?d ? 2.
n ? n ? 1? ? 2 ? 100 , 2

…… 6 分

(2)由 Sn ? 100 ,得 n ?

…… 9 分

解得 n ? 10 或 n ? ?10 (舍去). ? n ? 10 . 20.解: (1)因为二次函数 f(x)= ax
2

…… 13 分

? bx ? a 满足条件 f ( x ? ) ? f ( ? x) ,所以

7 4

7 4

6

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f(x)= ax

2

? bx ? a = ax 2 ? ax ? a ,
2

7 2

又因为方程 f(x)=7x+a 有连个相等的实数根,即 ax ? ( a ? 7)x ? o 有两个相等的 实数根。 所以 △ = ( a+7) -4a· 0=0 ,解得,a=-2,故 f(x)= ?2x ? 7x ? 2 。
2

7 2

7 2

2

………………………………………………6 分

y
(2)存在。如右图所示: 设

g(x) ?

3 (x>0) 则 x g(x) ? 3 x

当 f(x)=g(x)时, 即

?2x 2 ? 7x ? 2=
3 2

x 3

o

x
f (x) ? ?2x 2 ? 7x ? 2

得: 2x ? 7x ? 2x ? 3 ? 0 , 故 (x ? 3)(2x ? x ?1) ? 0 ,解得: x1 =1, x 2 =3, x3 = ?
2

1 (舍去)勤 2

因为 f (x) max 故取 m=

4ac ? b2 33 7 3 8 ? ? , 此时, x ? ? ?1,3? ,所以 ? ?1 4a 8 4 f ( x)max 11

8 , 11

当 x=3 时,

f ( x)min ? 1,即,

3 ? 3 ? 3 。故取 n=3 f ( x)min

综上,取 m=

8 8 33 2 ,n=3 时,f(x)= ?2x ? 7x ? 2 在[ ,3]上的值域是[1, ]。 11 11 8
…………………………………………14 分

7


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