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2.1.2指数函数及其性质(二)


2.1.2 指数函数及其性质(二) (一)教学目标 1.知识与技能: (1)理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质. (2)体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.过程与方法: 展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质. 3.情感、态度与价值观 (1)让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. (2)培养学生观察问题,分析问题的能力

. (二)教学重点、难点 1.教学重点:指数函数的概念和性质及其应用. 2.教学难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用. (三)教学方法 采用观察、分析、归纳、抽象、概括,自主探究,合作交流的教学方法,利用多媒体教学, 使学生通过观察图象, 总结出指数函数的性质, 调动学生参与课堂教学的主动性和积极性. 从 而培养学生的观察能力,概括能力. (四)教学过程 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习 引入 复习指数函数的概念和图象. 1.指数函数的定义 一般地,函数(>0 且≠1)叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为 R. 2.指数函数的图象 问题:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 生:复习回顾 师:总结完善 复习旧知,为新课作铺垫. 形成 概念 图象特征

>1 0<<1 向轴正负方向无限延伸 图象关于原点和轴不对称 函数图象都在轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右, 图象逐渐上升 自左向右, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1

师:引导学生观察指数函数的图象,归纳出图象的特征. 生:从渐进线、对称轴、特殊点、图象的升降等方面观察指数函数的图象,归纳出图象的特 征. 师:帮助学生完善. 通过分析图象,得到图象特征,为进一步 得到指数函数的性质作准备. 概念 深化 函数性质 >1 0<<1 函数的定义域为 R 非奇非偶函数

函数的值域为 R+ =1 增函数 减函数 >0,>1 >0,<1 <0,<1 <0,>1

问题:指数函数(>0 且≠1) ,当底数越大时,函数图象间有什么样的关系. 生:从定义域、值域、定点、单调性、范围等方面研究指数函数的性质. 师:帮助学生完善.

师:画出几个提出问题. 生:画出几个底数不同的指数函数图象,得到指数函数(>0 且≠1) ,当底数越大时,在第 一象限的函数图象越高. (底大图高) 获得指数函数的性质.

明确底数是确定指数函数的要素.

应用

举例 例 1 求下列函数的定义域、值域 (1) (2)

课堂练习(P64 2)

例 2(P62 例 7)比较下列各题中的个值的大小 (1)1.72.5 与 1.73 ( 2 )与 ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1

课堂练习: 1.已知按大小顺序排列; 2. 比较(>0 且≠0).

例 3(P63 例 8)截止到 1999 年底,我们人口哟 13 亿,如果今后,能将人口年平均均增长 率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?

例 1 分析:此题要利用指数函数的定义域、值域,并结合指数函数的图象. 解: (1)由得 所以函数定义域为 . 由得, 所以函数值域为 . (2)由得 所以函数定义域为 . 由得, 所以函数值域为 . 例 2 解法 1:用数形结合的方法,如第(1)小题,用图形计算器或计算机画出的图象,在 图象上找出横坐标分别为 2.5, 3 的点,显然,图象上横坐标就为 3 的点在横坐标为 2.5 的点 的上方,所以 . 解法 2:用计算器直接计算: 所以, 解法 3:由函数的单调性考虑 因为指数函数在 R 上是增函数,且 2.5<3,所以, 仿照以上方法可以解决第(2)小题 . 注:在第(3)小题中,可以用解法 1,解法 2 解决,但解法 3 不适合 .

由于 1.70.3=0.93.1 不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到 1,把这两 数值分别与 1 比较大小,进而比较 1.70.3 与 0.93.1 的大小 . 练习答案 1. ; 2. 当时, 则. 当时, 则. 分析:可以先考试一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题: 1999 年底 人口约为 13 亿 经过 1 年 人口约为 13(1+1%)亿 经过 2 年 人口约为 13(1+1%) (1+1%)=13(1+1%)2 亿 经过 3 年 人口约为 13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3 亿 经过年 人口约为 13(1+1%)亿 经过 20 年 人口约为 13(1+1%)20 亿 解:设今后人口年平均增长率为 1%,经过年后,我国人口数为亿,则 当=20 时, 答:经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿. 小结:类似上面此题,设原值为 N,平均增长率为 P,则对于经过时间后总量,>0 且≠1) 的函数称为指数型函数 . 掌握指数函数的应用. 归纳 总结 本节课研究了指数函数性质及其应用,关键是要记住>1 或 0<<1 时的图象,在此基础上 研究其性质 . 本节课还涉及到指数型函数的应用,形如(a>0 且≠1). 学生先自回顾反思,教师点评完善. 形成知识体系. 课后 作业 作业:2.1 第五课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力 备选例题 例 1 求下列函数的定义域与值域 (1) ; (2) ;

(3) ; 【分析】由于指数函数且的定义域是,所以函数(且)与函数的定义域相同.利用指数函数 的单调性求值域. 【解析】 (1)令得 定义域为且. , ∴的值域为且. (2)定义域为. ≥0, ≥ 故的值域为≥. (3)定义域为.

且. 故的值域为. 【小结】 求与指数函数有关的函数的值域时, 要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求, 并利用好指数函数的单调性. 例 2 用函数单调性定义证明 a>1 时,y = ax 是增函数. 【解析】设 x1,x2∈R 且 x1<x2,并令 x2 = x1 + h (h>0,h∈R), 则有, ∵a>1,h>0,∴, ∴,即 故 y = ax (a>1)为 R 上的增函数, 同理可证 0<a<1 时,y = ax 是 R 上的减函数.


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