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湖南师大附中高三第四次月考数学试题(理科)含答案


湖南师大附中高三第四次月考数学试题(理科)
参考公式:

sin ? ? sin ? ? 2 sin

???
2

cos

???

cos ? ? cos ? ? 2 cos

???
2

cos

/>
???
2

2

sin ? ?si n ? ? 2c o s

???
2

sin

???
2

cos ? ? c o s? ? ?2 s i n

???
2

sin

???
2

第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将各题正确答案的代号填写在第Ⅱ卷相应的表格内。 1、条件甲:复数 z 为纯虚数,条件乙:z+ z =0,那么甲是乙的 A、必要非充分条件 C、充要条件 2、复数 z ? sin ? ? i cos? ,其中 B、充分非必要条件 D、既非充分又非必要条件





?
2

? ? ? ? ,那么它的三角形式是





A、 cos(

?
2

? ? ) ? i sin(

?
2

?? )

B、 cos(

?
2

? ? ) ? i sin(

?
2

?? )

C、 cos(

3? 3? ? ? ) ? i sin( ?? ) 2 2

D、 cos(

3? 3? ? ? ) ? i sin( ?? ) 2 2

?1 3、定义在 R 上的函数 F ( x) ? f ( x) ? b(b ? R) 存在反函数 F ( x) ,若点( m, n )在函数

y ? f ( x) 的图象上,则下列结论正确的是
?1 ?1





A、点( n, m )在 F

( x) 的图象上
?1

B、点( n ? b, m )在 F

( x) 的图象上

C、点( m ? b, n )在 F

( x) 的图象上 D、点( n ? b, m )在 F ?1 ( x) 的图象上
1

4、已知 f ( x) ? a sin x ? b cos x, 且f ( ) ? 1, f ( x) 的最大值 M,则 M 的取值范围是(

?

3



A、 [1,2]

B、 (0,+∞)

C、 ?1,???

D、 ?2,???

5、设复数 z 满足关系式 z ? z ? 1 ? 0 ,那么 z
2

2003

? z ?2003 的值等于





A、-1

B、1

C、 ? 3i

D、 3i

6、设an ? 1 ? 2 ? ? ? n , bn ?
2 2 2

2n ? 1 ,数列{bn }的前n 项和为S n ,则lim S n 的值为( n?? an

)

A、6

B、3

C、2

D、1

7、 复平面上的点P1、 、 P2分别对应复数 z 1 、z 2 , 将向量 P 1P 2 绕点P1逆时针旋转 倍得向量P 1P 3 ,则点P3对应的复数为

? , 且使模 伸长为 原来的2 2
( )

A、 z1 ? ( z 2 ? z1 )i B、 z1 ? 2( z 2 ? z1 )i C、 ( z 2 ? z1 )i
2

D、 2( z 2 ? z1 )i

8、 设A 是已知 复数,a 是已知实 数, 且 A ? a , 则满足关系式 :z z ? Az ? Az ? a ? 0 的复数 z 在复 平面上对应的点M 的 轨迹是 ( )

A、双曲线

B、椭圆

C、圆

D、直线

2 9、函数 f ( x) ? x ? px ? 3 满足 f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ,且在闭区间?m,0? 上的值域为 ?2,3? ,则

的 m 取值范围是 A、?1,2? B、?? ?,?1? C、?1,??? D、?? 2,?1?





2

a

a 2 1 log (a ? 1 2 a2 ? ( ) 10、设0 ? a ? 1 ,给出下面四 个不等式: ○ ) ? loga (a 3 ? 1); ○ a

a 2

3 ( ) ? a ;○ 4 ○ a a ? a a 。其中成立的共有
a a

a 2

2

( D、3 个



A、0 个

B、1 个

C、2 个

11、 已知数例 ?an ? 满足: 则数列 ?an ? 的一个通项公式是 ( a1 =2, an = a n?1 +2n-1 (n≥2),



A、 an =n2+1

B、 an =(n-1)2+2 C、 an =(n+1)2-2

D、 an =n2-n+2

12、不等式

3x ? 2 ? 3 ? 1 的解集是
2 , 2) 3





A、 (6,+∞)

B、 (-∞,2)

C、 [

D、 [

2 ,2) ? (6,??) 3

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

一、选择题答题卡

班级

学号

姓名

题次 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题: 本大题共4 个 小题,每小题4 分, 共16 分。 13、已知x 是实数,y 是纯 虚数 ,且满足 (2x-1)+i=y-(3-y) i,则x 14、已知 ? 是第三 象限的角,sin
4

, y

。 。 。

? ?c os 4 ? ? ,那么sin 2? =

5 9

15、已知锐角三角形 的三边长分 别为2 ,3 , x ,则 x 的取值范围是

1 当 p ? 0 时, f ( x ) 为奇函数 ;○ 2 16、对于函数 f ( x) ? x | x | ? px ? q ,给出下列四个命 题 :○

3

3 p ? 0 时,方程 f ( x ) ? 0 ,只有一个实根 ; y ? f ( x) 的 图 象 关 于点(0, q )对称 ;当 ○

4 方程 f ( x ) ? 0 至多有两个实数根 ○ 。

其中所有正确命题的 序号是 正确的命题序号都填上)

。 (把你 认为

三、解答题 :本大题共 6 个小题 ,17—21 题每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分,解答 应写 出文字说明,证明过程或演算步骤

17、解关于x 的不等 式log 1 x ? log2
2 2

1 x?2

18、设 z1 , z 2 ? C, z1 ? z 2 ? 1, z1 , z 2 在复平面上的 对应点分别 为A ,B , O 为原点 (1)若 z1 ? z 2 ? ?1, 求arg

z2 ; z1

(2)设 arg z1 ? ? , arg z 2 ?

? ,若? OAB 的重心G 对应的复数为 ?

1 1 i ,求 tg (? ? ? ) 的 3 15

值。

4

19、已知复数 z 满足条件 z ? 1,求 z ? 1 z ? i 的最大值,并求相应的 复数z 。

5

20.某水库年初有水量a(a ? 10000 ,当年的降水量 ) , 其中含污染 物 p0 (设水与污染 物能很好的混合) 与月份 x 的关系是 f ( x) ? 20 ? x ? 7 (1 ? x ? 12, x ? N ) ,而每月流入水库的污水与蒸发的水量都为

r ,且污水含污染物 p( p ? r ) ,设当年水库中的水不作它用。
(1)求第 x 月份水库的含污 比g ( x) 的表达式(含污比=

污染物 ) ; 总库容

(2)当时 p0 ? 0 , 求水质最差的月 份 及此月的含污比 。

6

21、 设等比数列?an ? 的公比为q , 前 n 项和为 S n , 是否存在常数 c , 使数 列 ?S n ? c?也成等比数列?若 存在,求出常数c ;若不存在,请 说明理由。

7

22、已知 f ( x) 是定义在 [-1,1]上的奇 函数,且 f (1) ? 1 ,若 m, n ? [-1,1] ,m ? n ? 0 则

f ( m) ? f ( n ) ? 0. m?n
(1)用定义证明: f ( x) 在 [-1,1]上是增函数;

(2)解不等式 f ( x ? ) ? f (

1 2

1 ); x ?1

(3)若 f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对所有 x ?[-1,1] ,a ?[-1,1] 恒成立,求实 数 t 的取值 范围。

8

湖南师大附中高三第四次月考数学试题参考答案
一、 B D D C A A B C D C A D

二、13、x ? ?

3 2 2 1 ○ 2 ○ 3 , y ? 4i ; 14、 ; 15、 ( 5, 13 ) ; 16 、○ 2 3

三、解答题

17、不等式可化为

log 1 x 2 ? log 1 ( x ? 2)
2 2

? y ? log1 x 在(0,+∞)上是减函数,∴原不等式等价于 x 2 ? x ? 2
2

x?2?0
由此解得? 2 ? x ? ?1 ,或 x ? 2 ; ∴ 原不等式的解集为( -2 ,-1)∪ (2,+∞) 18、 (1) [解 法1 ] ∵ z1 ? z 2 ? 1 , ∴ OA ? OB ∵ z1 ? z 2 ? ?1, ∴ z1 ? z 2 ? 1

即 AB ? 1

∴△OAB 为正三角形 , ∠AOB=

? 3

∴arg

z2 ? 5? 。 ? 或 3 z1 3 z2 z ? ? , 2 ? cos? ? i sin ? z1 z1

[解法2]设 arg

∴ z 2 ? z 2 (cos? ? i sin ? ), z 2 ? z1 ? z?(cos? ? 1) ? i sin ? ?
9

∵ z 2 ? z1 ? ?1, z1 ? 1 ∵ ? ? ?0,2? ? ∴? ?

∴ (cos? ? 1) 2 ? sin 2 ? ? 1

∴ cos ? ?

1 2

?
3



5? 3

(2)∵ z1 ? cos? ? i sin ? ), z 2 ? cos ? ? i sin ? ,由三角形重心公式得

z1 ? z 2 1 1 (cos ? ? cos ? ) ? i(sin ? ? sin ? ) 1 1 ? ? i ? ? i, 即 3 3 15 3 3 15
∴ sin ? ? sin ? ?

1 5

cos? ? cos ? =1 两式相除,并化简得 tg

???
2

?

1 5

∴ tg (? ? ? ) ?

2tg 1 ? tg

???
2 ? ? ?

2

?

5 12

2
2 2

19、 [解法 1] 设 z ? x ? yi( x, y ? R),且x ? y ? 1

z ? 1 z ? i ? [( x ? 1) 2 ? y 2 ][ x 2 ? ( y ? 1) 2 ] ? 4( x ? 1)( y ? 1) ? ( x ? y ? 2) 2

2

2

∵ ( x ? y) ? 2( x ? y ) ? 2
2 2 2

∴? 2 ? x? y ?

2

z ? 1 z ? i ? (2 ? 2 ) 2 ,? z ? 1 z ? i ? 2 ? 2

2

2

当x ? y ?

2 2 2 z? ? i 时 z ? 1 z ? i max ? 2 ? 2 . 2 2 2,

10

[解法二]设 z ? cos? ? i sin ? (0 ? ? ? 2? ) ,则

2 z ? 1 z ? i ? [ ( c o? s ? 1) 2 ? s i n ? ] [ c o2s? ? ( s i ? n ? 1) 2 ] ? 4?( c o ? s ? 1) ( s i? n ? 1)? 2 2

? ? ? ? (sin? ? cos? ? 2) ? ? 2 sin(? ? ) ? 2? ? (2 ? 2 ) 2 4 ? ?
2

2

∴ z ?1 z ? i ? 2 ? 2

当 sin ? ? cos? ?

2 2 2 ,z ? ? i 时, z ? 1 z ? i max ? 2 ? 2 2 2 2

[解法三]设复数 z ,?1,?i 分别对应复平面上 A、B、C 三点。在△ABC 中,

AB ? z ? 1, AC ? z ? i , BC ? 2 ,?BAC ?
为h

?
4

,并设 BC 边的高

当z ?

2 2 2 ? i 时, hmax ? 1 ? 。由△ABC 的面积得 2 2 2

S ?ABC ?

1 2 1 2 2 AB AC sin ?BAC ? z ? 1 z ? i ? BC h ? (1 ? ) 2 4 2 2 2

∵ z ? 1 z ? i ? 2 ? 2 故当 z ?

2 2 ? i 时, z ? 1 z ? i max ? 2 ? 2 2 2

20、 (1)第 x 月水库含污染物 p0 ? px ;库容总量= a ? f (1) ? f (2) ? ? ? f ( x) 。

当 1≤x≤6 时, (x∈N)时, f ( x) ? 13 ? x ,
11

此时库容总量= a ? 14 ? 15 ? ? ? (13 ? x) ? a ?

(14 ? 13 ? x) x x 2 ? 27x ? 2a ? 2 2

当 7≤ x≤12 (x∈N)时 , f ( x) ? 27 ? x,

此时库容总量= a ? 99 ? 20 ? 19 ? ? ? (27 ? x) ? a ? 99 ?

(20 ? 27 ? x)( x ? 6) 2

=

? x 2 ? 53x ? 2a ? 84 2
2 p 0 ? 2 px (1≤x≤6,x∈N) x ? 27x ? 2a 2 p 0 ? 2 px (7≤x≤12,x∈N) 2 ? x ? 53x ? 2a ? 84
2

∴ g ( x) =

(2)? p0 ? 0 当 1≤x≤6 时, g ( x ) ?

2p 2a . x? ? 27 在(0, 2a ) 2a x x? ? 27 x
12 p 198 ? 2a

上是减函数, 且恒大于零。 ∴ g ( x) 是增函数, ∴当 x=6 时,g ( x ) max ?

当7 ≤x ≤12 时,g ( x) ?

2p 2a ? 84 ? ?x ? ? 53 在(0 ,+∞) 2a ? 84 x ?x? ? 53 x
12 p 204 ? a

上是减函数,且恒大 于零。∴g ( x) 是增函数。∴当x =12 时,g ( x) max ?

? a ? 10000 ?

12 p 12 p ? 204 ? a 198 ? 2a 12 p 204 ? a

∴ 水质最差的是十二 月份,其含 污比为

12

21、设存在常数 c , 使数列 ?S n ? c? 成等比数列

? (S n ? c)(S n?2 ? c) ? (S n?1 ? c) 2
1°当q ? 1 时,S n ? na1 代入上式得

? S n ? S n?2 ? S 2 n?1 ? c(2S n?1 ? S n ? S n?2

2 2 2 2 a1 n(n ? 2) ? a1 ?n ? 1? ? ca1 ?(a(n ? 1) ? n ? (n ? 2)? 即a1 =0

但 a1 ? 0 ?不存在常数 c ,使 ?S n ? c?成等比数列。

2°当q ? 1 时,S n ?

a(1 ? q n ) , 代入上式得 1? q

? a1 q n ca1q n a 2 (1 ? q ) ? (1 ? q) 2 ,? c ? 1 2 (1 ? q) q ?1 (1 ? q)
a1 ,使 ?S n ? c?成等比数列。 q ?1

2

故存在常数c ?

22、 (1)任取 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1, 由 f ( x) 为奇函数得

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ?

f ( x2 ) ? f (? x1 ) ( x2 ? x1 ) x2 ? x1 f ( x2 ) ? f (? x1 ) ?0 x2 ? x1

? ?1 ? x1 ? x2 ? 1? x2 ? x1 ? 0 由已知

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0

即 f ( x2 ) ? f ( x1 )

? f ( x)在?? 1,1? 上为增函数,
13

(2)? f ( x)在?? 1,1? 上为增函数,在由不等式 f ( x ? ) ? f (

1 2

1 ) ,得 x ?1

?1 ? x ? ?1 ?

1 ?1 2

1 ○

1 ?1 x ?1 1 1 x? ? 2 x ?1

2 ○

3 ○

由此解得 ?

3 3 ? x ? ?1 ,原不等式的解集为 [ ? ,?1) 2 2

(3)由(1)可知 f ( x) 在 ?? 1,1? 上是增函数,且 f (1) ? 1 ,故对 x ? ?? 1,1? ,恒有

f ( x) ? 1.?要使f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对所有 x ? ?? 1,1? , a ? ?? 1,1?
2 2 恒成立, 即要 t ? 2at ? 1 ? 1 成立。 故 t ? 2at ? 0, 记g (a) ? t ? 2at, 对 a ? ?? 1,1?
2

g ( x) ? 0 恒成立,只需 g ( x) 在 ?? 1,1? 上的最小值大于或等于零。



g (?1) ? 0 g (1) ? 0

?

t 2 ? 2t ? 0 t 2 ? 2t ? 0

t≤-2 或 t=0 或 t≥2。

∴实数 t 的取值范围为( (?? ?,?2? ? ?2,??? ? ?0?

14


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