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山西省2012届高三四校第四次联考数学理


2012 届 高 三 年 级 第 四 次 四 校 联 考

数学(理)试题
(满分 150 分,考试时间 120 分钟) 命题: 长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中

第Ⅰ卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)

, 1. 已知 z ? 1 ? i (i为虚数单位) z ?
2

2 ? z
C. 1 ? i D. 1 ? i

A. ?1 ? i

B. ?1 ? i

2. 各项都是正数的等比数列 {an } 中, a1 ? 2, a6 ? a1a2 a3 ,则公比 q ? A.
?

2
2

B. 2

C.

3

D. 3

3.

? ? (1 ? cosx)dx ?
? 2

A. ? ? 2 4. 若 ( x + A. 8 5. 函数 f ( x) ? ? A. ? 2

B. 2

C. ? ? 2

D.

?

1 n ) 展开式中第四项与第六项的系数相等,则展开式中的常数项的值等于 x
B. 16 C. 80 D. 70

?2 x , x ? 0 1 ,若 f (a ) ? ,则实数 a 的值是 2 ?log2 x, x ? 0
B.

2

C. ? 1 或

1 2

D. ? 1 或 2

x ? 6. 命题 p : x ? R, 使得 3 ? x ; 命题 q : 若函数 y ? f ( x ? 1)

为偶函数,则函数 y ? f (x) 关于直线 x ? 1 对称 A. p ? q 真 C. ? p 真 A. 3 C. ? 2 B. p ? q 真 D. ? q 假 B. ? 3 D. 2

7. 执行右图所给的程序框图,则运行后输出的结果是

?x ? y ? 5 ? 0 ? 8. 由不等式组 ? y ? 5 围成的三角形区域有一个外接 ?0 ? x ? 2 ?
圆,在该圆内随机取一点,该点落在三角形内的概率是 A.

2

?

3 B. ( - 2 2)?

C.

1

?

D.

1 2?

9. 已知 A、B、C 是圆 O: x2 ? y2 ? 1 上三点,且 OA ? OB ? OC, 则AB ? OA =

uur

uur u

uuu r

uur uur u

3 2 10. 已知三棱锥 O ? ABC 中,A、B、C 三点在以 O 为球心的球面上, 若 AB ? BC ? 1 ,
A. ? B. C. ? D.

3 2

3 2

3 2

?ABC ? 1200 ,三棱锥 O ? ABC 的体积为
A.

5 ,则球 O 的表面积为 4
D. 544 ?

32 ? 3

B. 16?

C. 64?

a11 11. 已知数列{an}为等差数列,若a <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn>0 的 n 的最大
10

值为 A. 11 12. 过双曲线

B. 19

C. 20

D. 21

a2 x2 y 2 的切线,切 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) ,作圆: x 2 ? y 2 ? 4 a2 b

点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 OE ?

uuu r

r u 1 uuu uur (OF ? OP ) ,则双曲线的离心率为 2
C.

A.

10 2

B.

10 5

10

D.

2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13—21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 —24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

1 ,则 sin 2? =___________。 4 3 2 14. 已知 A, B 为抛物线 y ? 4 x 上不同两点,且直线 AB 倾斜角为锐角, F 为抛物线焦点,若 。 FA ? ?4FB, 则直线 AB 斜率为
13. 若 sin(

?

??) ?

15. 某几何体的三视图如图所示,其正视图为矩 形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯 形,则这个几何体的体积为 。

? 2 16. 已知函数 f ( x) ? ?? x ? 2 x, ? ln(x ? 1), ?

?

1

x ? 0, 若函数 x ? 0,

y ? f ( x) ? kx 有三个零点,则 k 的取值范围
为 。 三、解答题(解答应给出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分)

17.(本小题满分 12 分)

?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且
(1)求角 A ;

bc ? tan A. b ? c2 ? a2
2

(2)设函数 f ( x) ? sin x ? 2 sin A cos x, 将函数 y ? f (x) 的图象上各点的纵坐标保持不变,横 坐标缩短到原来的

1 ? ,把所得图象向右平移 个单位,得到函数 y ? g (x) 的图象,求函数 2 6

y ? g (x) 的对称中心及单调递增区间.
18.(本小题满分 12 分) 在三棱锥 M ? ABC 中, AB ? 2 AC ? 2,

MA ? MB ?

5 , AB ? 4 AN , AB ? AC, 2

平面 MAB ? 平面 ABC , S 为 BC 的中点. (1)证明: CM ? SN ;

平 (2)求 SN与 面 CMN 所成角的大小.
19.(本小题满分 12 分) 某单位为了提高员工素质, 举办了一场跳绳比赛, 男员工 12 人,女员工 18 人,其成绩编成如图所示的 图(单位:分) ,分数在 175 分以上(含 175 分)者 “运动健将”,并给予特别奖励,其他人员则给予“运动 分子”称号. (1)若用分层抽样的方法从“运动健将”和“运动积极分子”中抽取 10 人,然后再从这 10 人中 选 4 人,求至少有 1 人是“运动健将”的概率; (2)若从所有“运动健将”中选 3 名代表,用 ? 表示所选代表中女“运动健将”的人数,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: 其中 茎叶 定为 积极

x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 Q(1, ) . 2 a b 2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,设 P 点在直线 x ? y ? 1 ? 0

上,且满足 OA ? OB ? t OP (O 为坐标原点) ,求实数 t 的最小值. 21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax2 ? x ln x ? (2a ? 1) x ? a ? 1(a ? R) . (1)当 a ? 0 时,求函数 f (x) 在点 P(e, f (e)) 处的切线方程; (2)对任意的 x ? [1,??) 函数 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 请考生在(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答 、 、 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22. (本题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明与选讲 如图, ?ABC 为直角三角形, ?ABC ? 90 ,
?

以 点,连

AB 为直径的圆交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边的中 OD 交圆 O 于点 M . (1)求证: O, B, D, E 四点共圆;
(2)求证: 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB .
2

23. (本题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

3 ? ? x ? ?1 ? 5 t 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数).若以坐标原点 O 为极 4 ? y ? ?1 ? t 5 ? ? 点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin(? ? ) . 4
(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长. 24.(本题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | (1)画出函数 y ? f (x) 的图象; (2)若不等式 | a ? b | ? | a ? b |?| a | f ( x)(a ? 0, a, b ? R) 恒成立,求实数 x 的范围.

高三第四次四校联考理科数学答案
1-5. CBADD 6-10. ABCAC 11-12. BA

13. ?

7 9

14.

4 3

15.

160 3

16. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

17.解: (1)因为 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 bc 1 1 ,? 2 ? , 即tan A ? , 2 2 2bc 2 cos A 2 cos A b ?c ?a
---------------3 分

? sin A ?

1 2

又 0 ? A ? ? ,? A ?

?
6



5? 6 2 sin( x ?

-------------------5 分

(2)由(1)得: f ( x) ? sin x ? cos x ? 由题可得 g ( x) ?

?
4

) ,

----------------6 分

) --------------------8 分 12 ? k? ? k? ? 令2 x ? ? k? (k ? Z ), 得x ? ? ,?函数 y ? g ( x)的对称中心为 ( ? ,0)( k ? Z ) 12 2 24 2 24
------------------10 分

2 sin( 2 x ?

?

5? 7? ? x ? k? ? , (k ? Z ) 2 12 2 24 24 5? 7? , k? ? ], (k ? Z ) 即函数 y ? g ( x)的单调递增区间为 [k? ? ---------------12 分 24 24 18.解: (1)取 AB的 点 O, 接 MO, CO, SO? MO ? AB, 平 MAB ? 平 ABC , 中 连 ? 面 面 MO ? 平面 ABC ,又 AC ? AB,OS // AC,?OS ? AB, 以 O 为坐标原点,OB 为 x 轴,OS 为 y 轴, OM 为 z 轴建立空间直角坐标系, ---------------2 分 1 1 1 0) 则 C (?1,1,0), M (0,0, ), N (? ,0,0), S (0, , , 2 2 2 1 1 1 所以 CM ? (1,?1, ), SN ? (? ,? ,0) , 2 2 2 故 CM ? SN ? 0 ,即 CM ? SN --------6 分 1 1 1 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 , CN ? ( ,?1,0), NM ? ( ,0, ), -----------------8 分 2 2 2 1 ? ?CN ? n ? 0 ? ?y ? x ,得 ? 设 面 CMN的 向 为 n ? ( x, y, z ),则? 平 法 量 2 , 令x ? 2, ?MN ? n ? 0 ?z ? ? x ? ?
令 2k? ?

?

? 2x ?

?

? 2k? ?

?

, 得k? ?

则得平面 CMN的 个 向 为 一 法 量 则 cos? n, SN? ?

n ? (2,1,?2)

---------------10 分 ------------------12 分

? 2 ,所以 SN 与平面 SMN 所成角为 4 2

19.解: (1)根据茎叶图,有“运动健将”12 人, “运动积极分子”18 人------------1 分 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率为 积极分子有 18 ?

10 1 1 ? ,所以选中的运动健将有 12 ? ? 4人 运动 , 30 3 3
-----------------3 分

1 ? 6人 3

设事件 A :至少有 1 名‘运动健将’被选中,则 P( A) ? 1 ?

4 C6 1 13 ? 1? ? 4 14 14 C10

-----------5 分 (2)由茎叶图知男“运动健将有”8 人,女“运动健将”有 4 人,故 ? 的取值为 0,1,2,3 ------------7 分
1 1 3 C83 14 C82 C4 28 C8 C42 12 C4 1 P(? ? 0) ? 3 ? , P(? ? 1) ? 3 ? , P(? ? 2) ? 3 ? , P(? ? 3) ? 3 ? 55 55 C12 55 C12 C12 C12 55

? 的分布列为: 0 ?
P

----------9 分 1 2 3

14 55

28 55

12 55

1 55
---------------10 分

E? ? 0 ?

14 28 12 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ?1 55 55 55 55

-------------- 12 分

20. 解: (1)设椭圆的焦距为 2c ,因为离心率为 --------------2 分

c 2 1 2 ,? ( ) ? ,所以 a 2 ? 2c 2 , b 2 ? c 2 a 2 2

x2 y2 2 ? 2 ? 1, 又点 Q (1, ) 在椭圆上,?c 2 ? 1 --------------3 分 2 2 2c c 2 x ? y2 ? 1 所以椭圆方程为 --------------4 分 2 (2)由已知直线 AB 的斜率存在,设 AB 的方程为: y ? k ( x ? 2) ? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 ? y2 ? 1 ? 2 ? 1 2 2 , ) -------6 分 ? ? 64k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0 ,得: k 2 ? ,即 k ? (? 2 2 2 8k 2 8k 2 ? 2 , x1 ? x2 ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), P( x, y) , x1 ? x 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? OA ? OB ? tOP ,? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) ,显然 k ? 0 时 t ? 0 ;当 t ? 0 时,
设椭圆方程为

y ? y2 1 x1 ? x2 ? 4k 8k 2 ,y? 1 -------8 分 ? ?k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? ? ?x ? ? 2 t t t t (1 ? 2k 2 ) t (1 ? 2k )
因为点 P 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上所以 即t ?

? 4k 8k 2 ? ?1 ? 0 2 t (1 ? 2k ) t (1 ? 2k 2 )
------9 分

k ?1 8k 2 ? 4k 4(k ? 1) ? 4(1 ? ) ? 4? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 1 ? 2k

因 为

k ?1 k ?1 ? ? 2 2 1 ? 2k 2(k ? 1) ? 4(k ? 1) ? 3

1 3 2(k ? 1) ? ?4 k ?1

?

1 2 6 ?4

( 当 且 仅 当

k?

4 6 2 2 (因为 k ? (? ? 2? 6 ? 1 时取等号) , ) )? t ? 4 ? 2 2 2 2 6 ?4
-------11 分 -------12 分 ---------3 分 ---------4 分 ---------5 分
'

21 解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ? x ln x ? x ? 1 由 f ' ( x) ? ? ln x ,则 k ? f ?(e) ? ?1, f (e) ? ?1 ? 函数 f (x) 在点 P(e, f (e)) 处的切线方程 为 y ? 1 ? ?( x ? e) 即 x ? y ?1? e ? 0 (2) f ?( x) ? 2ax ? 1 ? ln x ? (2a ? 1) ? 2a( x ? 1) ? ln x 易知, ln x ? x ? 1 ,则 f ( x) ? 2a( x ? 1) ? ( x ? 1) ? (2a ? 1)(x ? 1) 当 2a ? 1 ? 0 即 a ?

综上: tmin ? 2 ? 6

1 时,由 x ? ?1,??? 得 f ?( x) ? 0 恒成立, 2

f (x) 在 ?1,??? 上单调递增,

f ( x) ? f 1) ? 0 符合题意。所以 a ?

当 a ? 0 时,由 x ? ?1,??? 得 f ?( x) ? 0 恒成立, f (x) 在 ?1,??? 上单调递减,

1 ---------7 分 2

f ( x) ? f 1) ? 0 显然不成立, a ? 0 舍去。 ---------8 分 1 1 1 1 当 0 ? a ? 时,由 ln x ? x ? 1 ,得 ln ? ? 1 即 ln x ? 1 ? 2 x x x 1 x ?1 ' )( 2ax ? 1) 则 f ( x) ? 2a ( x ? 1) ? (1 ? ) ? ( x x 1 1 ? 1 ? ? 1 。 x ? ?1, ? 时, f ?( x) ? 0 恒成立, 因为 0 ? a ? ,所以 2 2a ? 2a ? 1 f (x) 在 ?1,??? 上单调递减, f ( x) ? f 1) ? 0 显然不成立, 0 ? a ? 舍去。---------11 分 2 1 ? ? 综上可得: a ? ? ,?? ? ---------12 分 ?2 ? 22. 解: (1)连接 BE ,则 BE ? EC ----------------1 分 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD ----------------3 分 ? 又 OE ? OB, OD ? OD ,所以 ?ODE ? ?ODB ,所以 ?OBD ? ?OED ? 90 故 D, E, O, B 四点共圆. -------------5 分(2) 延长 2 DO 交圆于点 H ,? DE ? DM ? DH ? DM ? (DO ? OH ) ? DM ? DO ? DM ? OH
------------8 分

1 1 ? DE 2 ? DM ? ( AC ) ? DM ? ( AB ) ,即 2DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB --------10 分 2 2

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23. 解:(1) 由 ? ?

) 得: ? ? cos? ? sin ? 4 两边同乘以 ? 得: ? 2 ? ? cos? ? ? sin ? 1 2 1 2 1 ∴ x2 ? y2 ? x ? y ? 0 即 (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 2 2 t (2)将直线参数方程代入圆 C 的方程得: 5t ? 21 ? 20 ? 0 21 ? t1 ? t 2 ? , t1t 2 ? 4 5 41 ? MN |? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? | 5
y

2 sin(? ?

?

-------------3 分 -----------5 分 ------------6 分 ------------8 分 ------------10 分

? 2 x ? 3 ( x ? 2) ? (1 ? x ? 2) 24.解:(1) f ( x ) ? ?1 ?3 ? 2 x ( x ? 1) ?
(2) 由 a ? b ? a ? b ? a f (x) 得

1

| a ? b | ? | a ? bO |

---------5 分

|a| | a ?b | ? | a ?b | | a ?b? a ?b | ? ?2 又因为 |a| |a| 1 5 解不等式 2 ? x ? 1 ? x ? 2 , 得 ? x ? 2 2

? f ( x)

1

2

x

则有 2 ? f ( x)

--------8 分 --------10 分

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