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高等数学-第七版-课件-9-9 方向导数与梯度


第九讲 方向导数与梯度

方向导数与梯度 一、方向导数
二、梯度

方向导数与梯度 一、方向导数
二、梯度

一、方向导数
(一)定义 (二)计算

一、方向导数
(一)定义 (二)计算

?引言

y

>
f ( x0x? ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) 函数沿 轴方向的变化率 f x ( x0 , y0 ) ? lim ?x ?0 ?x f ( x 0 , y 0 ? ?y ) ? f ( x 0 , y 0 ) y 0 f y ( x0 , y0 ) ? lim 函数沿y轴方向的变化率 ?y ? 0 ?y
偏导数

D

?y

?x
x0
x

O 函数沿坐标轴方向的变化率 方向导数

函数沿任一方向的变化率? 例如:

大气温度 在气象学中, 需要确定 气压 沿某些方向的变化率

……

?引言 设 u ? f ( x , y, z )在 P0 ( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内有定义,

l 是以P0 ( x0 , y0 , z0 )为起点的一条射线
el? ? (cos ? , cos ? , cos ? ) P ( x , y, z ) 是 l 上任一点,
| P0 P |? t (t ? 0), P0 P e P0 P ? tel? x ? x 0 y ? y0 z ? z 0 ? ? ?t cos ? cos ? cos ?
? l

z

l

t P P0
O y

x

射线 l 的参数方程:

x ? x0 ? t cos ? y ? y0 ? t cos ? z ? z0 ? t cos ?

t?0

P( x0 ? t cos ? , y0 ? t cos ? , z0 ? t cos ? )

?定义 设 u ? f ( x , y, z )在 P0 ( x0 , y0 , z0 )的某一邻域U ( P0 )内有定义, l 是以

P0 ( x0 , y0 , z0 )为始点的一条射线, P( x0 ? t cos ? , y0 ? t cos ? , z0 ? t cos ? )
是 l 上另一点, 且 P ? U ( P0 ), 如果函数增量

f ( x0 ? t cos ? , y0 ? t cos ? , z0 ? t cos ? ) ? f ( x0 , y0 , z0 )
与 P 到 P0 的距离| PP0 |? t 的比值

f ( x0 ? t cos ? , y0 ? t cos ? , z0 ? t cos ? ) ? f ( x0 , y0 , z0 ) t 当 P 沿着l趋于 P0 (即 t ? 0 ?)时的极限存在,则称此极限为
函数 f ( x , y, z )在 P0沿方向l的方向导数,记作

?f . ? l ( x 0 , y0 , z 0 )

?注 (1) 二元函数 f ( x , y )在 P0 ( x0 , y0 )沿方向l(方向角为? , ? )

的方向导数为

f ( x0 ? t cos ? , y0 ? t cos ? ) ? f ( x0 , y0 ) ?f ? lim? t ? l ( x 0 , y0 ) t ?0
?f (2) 刻画了函数 f ( x , y, z )在 P0 ( x0 , y0 , z0 ) ? l ( x 0 , y0 , z 0 )
沿方向l的变化率

f ( x0 ? t cos ? , y0 ? t cos ? , z0 ? t cos ? ) ? f ( x0 , y0 , z0 ) ?f ? lim? t ? l ( x 0 , y0 , z 0 ) t ? 0

?注 (3) 定义式的特点

单侧极限

比式 分子: 射线l上两点函数值之差 分母: 射线l上两点的距离 (4) 偏导数与方向导数 例

f x ( x0 , y0 ) 存在,

el ? i el ? ? i

?f ? f x ( x 0 , y0 ) ? l ( x 0 , y0 ) ?f ? ? f x ( x 0 , y0 ) ? l ( x 0 , y0 )
?f ? 1 但 f x (0,0)不存在 ? l (0,0)

f ( x , y ) ? x ? y el ? i
2 2

f ( x0 ? t cos ? , y0 ? t cos ? , z0 ? t cos ? ) ? f ( x0 , y0 , z0 ) ?f ? lim? t ? l ( x 0 , y0 , z 0 ) t ? 0

一、方向导数
(一)定义 (二)计算

一、方向导数
(一)定义 (二)计算

?定理 如果函数 f ( x , y, z ) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 )可微分, 那么 函数在该点沿任意方向l的方向导数存在, 且有

?f ? l ( x 0 , y0 , z 0 )

? f x ( x0 , y0 , z0 ) cos ? ? f y ( x0 , y0 , z0 ) cos ? ? f z ( x0 , y0 , z0 ) cos ?
其中 cos ? , cos ? , cos ? 是方向l的方向余弦. ?例1 求 f ( x , y, z ) ? xy ? yz ? zx 在点(1,1,2)沿方向l的方向导数, 其中l的方向角分别为 60o ,45o ,60o .

?例2 设 n是曲面 2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 6 在点 P (1,1,1) 处指向外侧
的法向量,求函数 u ?
6x2 ? 8 y2 在点 P 处沿方向 n 的方向导数. z

?注 如果函数 f ( x , y )在点 P0 ( x0 , y0 )可微分, 则有

?f ? f x ( x0 , y0 ) cos ? ? f y ( x0 , y0 ) cos ? ? l ( x 0 , y0 ) ? f x ( x0 , y0 ) cos ? ? f y ( x0 , y0 ) sin ? .
?例3 求函数 z ? xe y在点 P (1,0)沿从点 P (1,0) 到点Q( 2,?1) 的方向导数. ?例4 求函数 z ? 3 xy 2 ? y 在抛物线 y 2 ? 3 x 上点 (1,2) 处, 沿着这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向 的方向导数.

方向导数与梯度 一、方向导数
二、梯度

方向导数与梯度 一、方向导数
二、梯度

二、梯度
(一)概念 (二)计算

(三)物理意义

二、梯度
(一)概念 (二)计算

(三)物理意义

?定义

设函数 f ( x , y )在平面区域D内具有一阶连续偏导数,称向量

f x ( x 0 , y 0 )i ? f y ( x 0 , y 0 ) j
为函数 f ( x , y )在点P0 ( x0 , y0 )的梯度, 记作

grad f ( x0 , y0 ), 或?f ( x0 , y0 ).
即: grad f ( x0 , y0 ) ? ?f ( x0 , y0 ) ? f x ( x0 , y0 )i ? f y ( x0 , y0 ) j ,

其中 ? ?

? ? i ? j 称为(二维的)向量微分算子或Nabla算子 ?x ? y ? ? ?f ? i? j ?x ?y

?定义

设函数 f ( x , y, z ) 在平面区域D内具有一阶连续偏导数,称向量

f x ( x 0 , y 0 , z 0 )i ? f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) j ? f y ( x 0 , y 0 , z 0 )k
为函数 f ( x , y, z )在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的梯度, 记作

grad f ( x0 , y0 , z0 ),或?f ( x0 , y0 , z0 ).
其中:

? ? ? ? ? i ? j ? k 称为(三维的)向量微分算子或Nabla算子 ?x ? y ?z ? ? ? ?f ? i ? j ? k ?x ?y ?z

?与方向导数的关系

f x ( x0 , y0 ) cos ? ? f y ( x0 , y0 ) cos ?

e l ? (cos ? , cos ? )

grad f ( x0 , y0 ) ? el

? ? (grad f ( x0 , y0 ), el )

| grad f ( x0 , y0 ) | 函数增加最快 最大值
?f ? | grad f ( x0 , y0 ) | 最小值函数减少最快 ?l ( x0 , y0 ) 函数变化率为零 0
?注 梯度是一个向量 方向: 方向导数最大值的方向 大小: 方向导数的最大值

? ?0

? ? ? | grad f ( x , y ) | cos? 0 0 ? ?? 梯度的投影
2
?f ? ?l ( x0 , y0 ) grad f ( x0 , y0 )

? grad f ( x0 , y0 )

?几何意义

z

z ? f ( x, y ) 在xOy面上的投影 曲线L z?c O y f ( x, y ) ? c * 是一条平面曲线 L * L x z?0 平面曲线 f ( x , y ) ? c 称为函数 z ? f ( x , y )的等值线.
等值线 f ( x , y ) ? c 上任一点 P0 ( x0 , y0 ) 处的法向量

L

n ? ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )) ? ?f ( x0 , y0 )
函数 z ? f ( x , y )在一点( x0 , y0 )处的梯度
就是等值线 f ( x , y ) ? c 在这点的法向量, 由数量低的等值线指向数量高的等值线.

y

f ? c2 f ? c1

f ? c3

O

c1 ? c2 ? c3 x

类似地, 曲面 f ( x , y, z ) ? c 称为函数 f ( x , y, z )的等值面. 函数 f ( x , y, z )在一点( x0 , y0 , z0 )处的梯度就是等值面.

f ( x , y, z ) ? c 在这点的法向量, 由数量低的等值面指向
数量高的等值面.

二、梯度
(一)概念 (二)计算

(三)物理意义

二、梯度
(一)概念 (二)计算

(三)物理意义

1 . ?例5 求 grad 2 2 x ?y 1 2 2 ?例6 设 f ( x , y ) ? ( x ? y ), P0 (1,1), 求 2 (1) f ( x , y )在 P0 处增加最快的方向以及 f ( x , y )
沿这个方向的方向导数. (2) f ( x , y )在 P0 处减少最快的方向以及 f ( x , y ) 沿这个方向的方向导数. (3) f ( x , y )在 P0 处的变化率为零的方向. ?例7 设 f ( x , y, z ) ? x 3 ? xy 2 ? z , P0 (1,1,0), 问 f ( x , y, z )在 P0 处的沿什么方向变化最快,变化率是多少. ?例8 求曲面 x 2 ? y 2 ? z ? 9 在点 P0 (1,2,4)的切平面和法线方程.

二、梯度
(一)概念 (二)计算

(三)物理意义

二、梯度
(一)概念 (二)计算

(三)物理意义

场: 物理量在空间的分布 数量场 用数量函数表示 如: 温度场, 密度场等 向量场 用向量函数表示 如: 力场, 速度场等 若向量场F ( M )是某个数量函数 f ( M )的梯度, 则称 f ( M ) 是向量场F ( M )的一个势函数, 并称向量场F ( M )为势场. 例: 由数量函数 f ( M )产生的梯度场 gard f ( M )是一个势场. ?注 任意一个向量场不一定是梯度场. ?例9 试求数量场

m 所产生的梯度场,其中常数 m ? 0, r r ? x 2 ? y 2 ? z 2 为原点O与点M ( x , y, z )间的距离.


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