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山东省乳山市2014-2015学年高二数学上学期期中试题 理


山东省乳山市 2014-2015 学年高二数学上学期期中试题 理
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 a ? b ,则下列不等式中成立的是 A. a ? b
2 2

B.

/>1 1 ? a b

C.

1 1 ? a?b a

D. a ? b
3

3

2. 已知条件 p:a≤1,条件 q:|a|≤1,则 p 是 q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

C. 充要条件

3. 等比数列 {an } 的前 n 项和为 s n ,若 a2 ? 2 , a3 ? 4 ,则 s4 ? A. 15 B. 14 C. 8 D. 7

4. 已知△ABC 的三个内角之比为 A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比 a∶b∶c 等于 A. 3 : 2 :1 B.

3 : 2 :1

C.

3 : 2 :1

D. 2 : 3 :1

3. 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? 2 , a3 ? 4 ,则 S4 ? A. 15 B. 14 C. 8 D. 7

4. 已知△ABC 的三个内角之比为 A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比 a∶b∶c 等于 A.3∶2∶1 B.

3 ∶2∶1

C.

3 ∶ 2 ∶1

D.

2∶ 3 ∶1

5. 已知 p、q 是两个命题,若“?(p?q) ”是真命题,则 A.p、q 都是真命题 C.p 是假命题且 q 是真命题 B.p、q 都是假命题 D.p 是真命题且 q 是假命题

6. 等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24 , a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,则此数列的前 20 项和为 A.160 B. 180 C. 200 D. 220

7. 已知各项均为正数的等差数列{an}的前 20 项和为 100,那么 a2 ? a19 的最大值是 A.50
2

B.25

C.100

D. 4 5

8. 不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 { x | ? A.14 B. ? 14

1 1 ? x ? } ,则 a ? b 的值为 2 3
D. ? 10

C.10

-1-

9. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,则下列判断中正确的是 A. a ? 30, b ? 25, A ? 150? ,有一解 C. a ? 6, b ? 9, A ? 45? ,有两解 B. a ? 7, b ? 14, A ? 30? ,有两解 D. b ? 9, c ? 10, B ? 60? ,无解

10. 在 ?ABC 中, a , b, c 分别是 A, B, C 的对边, 2sin(2 A ?

?
6

) ? 1 , b ? 1, ?ABC 的面积是

3 ,则边 c 等于 2
A. 2 B.

3

C.

2 3

D. 2 7

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二. 填空题:本大题共 5 小题,每小题分,共 25 分. 11. 命题“ ?x ? R , x ? x ? 0 ”的否定是
2

.

? x ? 1, ? 12. 已知变量 x, y 满足 ? y ? 2, 则 x ? y 的最大值是 ? x ? y ? 0. ?
13. 函数 y ? x ?



3 ( x ? 2) 取得最小值时相应的 x 的值是 x?2

.

14. 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 KB,然后每 2 分 钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机_____分钟, 该病毒占据内存 64 MB(1 MB=2
10

KB).

-2 -

15. 在高为 200 米的气球(Q)上测得山下一塔(AB)的塔顶(A)和塔底 (B)的俯角分别是 30?,60? ,则塔高为 米.

Q

A

200

B

15 题图

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16 (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, cos 2 A ? 2cos 2 A ? 2cos A 。 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3, b ? 2c ,求 S ?ABC .

17 (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c 且满足 4a cos B ? b cos C ? c cos B (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)若 ac ? 12 ,b=3 2 ,求 a , c

-3-

18 (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 为等比数列且公比 q ? 2 , a2 ? 9 , 6a1 ? a3 ? 45 . (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? log 3 an ,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和. ? bn ?

19

(本小题满分 12 分)

解关于 x 的不等式 mx2 ? (m ? 3) x ? 1 ? 0 ( m ? 0 ) 。

20

(本小题满分 13 分)
n

数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, 且an ? 2 ? an ? 1 ? ? ?1?

? n ? N? ? .

(Ⅰ)令 bn ? a2n ,求证 ?bn ? 是等差数列,并求 ?bn ? 的通项公式 (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式. (Ⅲ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn

21 (本小题满分 14 分) 已知定义域为 [0,1] 的函数 f ( x) 是增函数,且 f (1) ? 1 . (Ⅰ) 若对于任意 x ? [0,1] , 总有 4 f ( x) ? 4(2 ? a ) f ( x) ? 5 ? 4a ? 0 , 求实数 a 的取值范围;
2

-4-

(Ⅱ) 证明 f (

1 2 n ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? 1 2 2 2 2

-5-

高二数学(理科)答案及评分标准 一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 D 5 B 6 B 7 B 8 D 9 A 10 A

二. 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11

?x ? R, x2 ? x ? 0

12

4

13

2? 3

14

30

15

400 3

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16 解: (Ⅰ)由已知得 2cos 2 A ? 1 ? 2cos 2 A ? 2cos A , (1 分)

1 ? ,(3 分)∵0<A< ? ,所以 A ? (6 分) 2 3 2 2 2 2 b ?c ?a 4c ? c 2 ? 9 1 ? ? , (Ⅱ)∵ b ? 2c .所以 cos A ? (7 分)解得 2bc 4c 2 2 1 1 3 3 3 ? c ? 3, b ? 2 3 , (9 分)所以 S?ABC ? bc sin A ? ? 2 3 ? 3 ? 。 (12 分) 2 2 2 2 17 解∵ 4a cos B ? b cos C ? c cos B 及正弦定理得 4sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B (2 分)
则 cos A ? ∴ 4sin A cos B ? sin( B ? C ) ,即 4sin A cos B ? sin A ∵ sin A ? 0 ,∴ cos B ? (4 分)

1 4

(6 分)
2 2 2

(Ⅱ)∵ ac ? 12 ,b=3 2 及余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B

(7 分)得 (12 分)

a 2 ? c 2 ? 24

(9 分)由 a ? c ? 24 及 ac ? 12 解得 a ? c ? 2 3
2 2

18.解: (Ⅰ)由题意 ?

?a1q ? 9
2 ?6a1 ? a1q ? 45

, (1 分)解得 q ? 3 或 q ? 2 (舍去) (3 分)

∴ an ? 3 ? 3n?1 ? 3n ,即 an ? 3n

(5 分)

(Ⅱ)∵ log3 3n ? n , (6 分) ,∴ bn ? 1 ? 2 ? ? n ?

n(n ? 1) 2

(8 分)

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1
数列 ?

(10 分)

?1? 1 1 1 1 1 2n )? ? 的前 n 项和为 2(1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 ? bn ?
1 3
(1 分) (2 分) (5 分)

(12 分)

19 解;若 m ? 0 ,则有 3x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?
2 2

若 m ? 0 ,∵ ? ? (m ? 3) ? 4m ? m ? 10m ? 9 (ⅰ) ? ? 0 ,即 ?9 ? m ? ?1 ,解集为空集

-6-

(ⅱ) ? ? 0 ,即 m ? ?9 ,解集为 ? x | x ? ?

? ?

1? 3?
(7 分)

(6 分)

m ? ?1 ,解集为 ?x | x ? ?1?
(ⅲ) ? ? 0 ,即 ?1 ? m ? 0 或 m ? ?9 ,

m ? 3 ? m2 ? 10m ? 9 m ? 3 ? m2 ? 10m ? 9 ?x? 2m 2m
总之有 m ? 0 ,解集为 [? , ??)

(10 分)

1 3

m ? 3 ? m2 ? 10m ? 9 m ? 3 ? m2 ? 10m ? 9 ?1 ? m ? 0 或 m ? ?9 解集为 [ , ] 2m 2m
m ? ?1 ,解集为 ?x | x ? ?1?

1? ? m ? ?9 ,解集为 ? x | x ? ? 3? ?
(12 分) 注意总结没写解集不扣分,但没总结要扣分 20.解: (Ⅰ) n ? 2 时 bn ? bn?1 ? a2n ? a2n?2 ? 2 ,∴ ?bn ? 是等差数列 且 b1 ? a2 ? 2 ,∴ bn ? 2n (Ⅱ)? an ? 2 ? an ? 1 ? ? ?1?
n

?9 ? m ? ?1 ,解集为空集

(2 分)

(3 分)

? n ? N? ?

当 n 为奇数时, an?2 ? an ? 0 ? n ? N? ? ,即 an? 2 ? an 因为 a1 ? 1 ,∴ a1 ? a3 ? ? ? a2k ?1 ? 1 (k ? N * ) 故当 n 为奇数时, an ? 1 ; (4 分) 当 n 为偶数时, an ? bn ? n (6 分)
2

所以 an 的通项公式为 an ? ?

?1, n为奇数 ?n, n为偶数

(7 分)

n (2 ? n) n 2 n2 ? 4n (Ⅲ) 当 n 为偶数时, Sn ? 1 ? 2 ? 1 ? 4 ? ? ? 1 ? n ? ? ? 2 2 4
当 n 为奇数时, Sn ? Sn ?1 ? 1 ?

(10 分)

(n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) (n ? 1) 2 ?1 ? 4 4

(12 分)

-7-

? ? n ? 1?2 , n为奇数 ? ? 故 Sn ? ? 4 2 ? n ? 4n , n为偶数 ? ? 4

(13 分)

21. 解: (Ⅰ) f ( x ) 在 ?0,1? 上是增函数,则 f ( x) ? f (1) ? 1 ,故 1 ? f ( x) ? 0 (1 分) 当 f ( x) ? 1 时,不等式化为 0 ? a ? 1 ? 0 ,显然 a ? R ; (2 分) 当 f ( x) ? 1 时,不等式化为 a ?

4 f 2 ( x) ? 8 f ( x) ? 5 对于 x ??0,1? 恒成立. 4 ? 4 f ( x)
(4 分) ? 1

(3 分)

设y?

4 f 2 ( x ) ? 8 f ( x) ? 5 1 ? 1 ? f ( x) ? 4 ? 4 f ( x) 4 ?1 ? f ( x)?
1 取等号,∴ ymin ? 1 2
(7 分)

当且仅当 f ( x) ?

(5 分)从而 a ? 1

(6 分)

综上所述, a ? ? ??,1? (II)令 Tn ?

1 2 n ? 3 ? ? ? n ?1 ① 2 2 2 2 1 1 2 n? 1 n ? 4? ? ? n ? ? 则 Tn ? ② (8 分) 3 2 2 2 2 1 n? 2 2 1 1 1 1 ①-②得 Tn ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 (11 分) 2 2 2 2 1 n = 1 ? n ? n ?1 ? 1 (12 分)又由①知 Tn ? 0 ,∵ f ( x ) 在 ?0,1? 上是增函数, 2 2 1 2 n ∴ f ( 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? f (1) ? 1 (14 分) 2 2 2

-8-


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