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河南省商丘市第一高级中学2011届高三第一次考试(数学文)


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河南省商丘市第一高级中学 2011 届高三第一次考试 (数学文)
一、选择题(本题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)

1.若复数

2i ? 1 的实部与虚部分别为 a, b ,则 ab 等于 i
B. 2 C. ? 2 ) C. (?1, ??) D. (??, ?1) ? (0, ??) D. ?2i





A. 2i 2.函数 y ?
x

1 的值域是( 2 ?1

A. (??, ?1)

B. (??,0) ? (0, ??)

3. 已知平面向量 a ? (2, 4), b ? (?2, 2) ,若 c ? a ? (a ? b)b ,则 c 等于 ( A. 6 5 4.设函数 B. 6 3 C. 6 2 D. 6

?

?

?

?

? ? ?

?



f ( x) ? loga x 在 (??,0) 上单调递增,则 f (a ? 1) 与 f (2) 的大小关系(
B、 f (a ? 1) ? f (2) C、 f (a ? 1) ? f (2) D、不确定



A、 f (a ? 1) ? f (2)

2 5.已知 f ( x ) 在 R 上是奇函数,且满足 f ( x ? 4) ? f ( x), 当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (7) 等于 (

)

A. ?2

B. 2

C. ?98

D. 98

6. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 A.

S3 S 2 ? ? 1 ,则数列 {an } 的公差是( 3 2
D.3



1 2

B.1

C.2

7.在同一坐标系中画出函数 y ? loga x, y ? a x , y ? x ? a 的图象, 可能正确的是 (
y 1 y y y



O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

1 O 1

x

A

B

C

D

8.如图所示的算法流程图中输出的最后一个数为 ?55 ,则判断框中的条件为
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(

)

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A. n ? 11? C. n ? 10 ? B. n ? 11? D. n ? 10 ?

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开始 S=1 n=1

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9.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是
S=S+(-1)n+1n2

边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那 么这个几何体的全面积为 A. ( ) D. 4π
结束
2 3 cos x 的图象的一个对称中心是
是 否

n=n+1

3 π 2

输出S

B. 2π

C. 3π

10.函数 y ? sin x cosx ?





A. (

?
3

,?

3 ) 2

B. (

2? 3 ,? ) 3 2

C. (

2? 3 , ) 3 2

D. (

?
3

,

3 ) 2

11.直线 y ? kx ? b与曲线y ? x3 ? ax ? 1相切于点(2,3) ,则 b 的值为 A. ?3 C. ?15 ( B.9 D. ?7 )

12.直线 2ax ? by ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1相交于 A,B 两点(其中 a, b 是实数) ,且 ?AOB 是直角三角形(O 是 坐标原点),则点 P ( a, b) 与点 (0,1) 之间距离的最大值为( A )

2 ?1

B. 2

C.

2

D.

2 ?1

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分.) 13.某校为了解高三同学寒假期间学习情况,抽查了 100 名同学,统计他们每天平均学习时间,绘成频率分 布直方图(如图).则这 100 名同学中学习时间在 6~8 小时内 的同学为 _______人. 频率/组距

x
0.14 0.12 0.05 0.04 2 4 6 8 10 12 小时

14. 设 点 P 为 ?ABC 的 重 心 , 若 AB=2 , AC=4 , 则

AP? BC =
2

.

15.已知抛物线 y ? ? x ? 3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相 异两点 A、B,则|AB|= .

?x ? y ? 2 ? 0 x 2 ? xy ? y 2 ? 16.已知实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 z ? 的取值范围是________________. xy ?y ? 2 ? 0 ?
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三、解答题(共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分)已知点 A?1,0?, B?0,1?, C ?2 sin ? , cos? ?. (Ⅰ)若 AC ? BC ,求 tan ? 的值; (Ⅱ)若 OA ? 2OB ? OC ? 1 ,其中 O 为坐标原点,求 sin 2? 的值

?

?

18. (本小题满分 12 分) 随机抽取某中学甲、乙两班 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm) ,获得身高数 据的茎叶图如右图. (I)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (II)计算甲班的样本方差; (Ⅲ)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高 为 176cm 的同学被抽中的概率.
第 18 题(文)图

19. 如图, 正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD ,AE ? 平面 CDE , AE ? 3 , 且

AB ? 6 .
(1)求证: AB ? 平面 ADE ; (2)求凸多面体 ABCDE 的体积. B A

C D 19 题

E

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20.设 F1 、 F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点. a 2 b2

(1)设椭圆 C 上点 ( 3,

3 ) 到两点 F1 、 F2 距离和等于 4 ,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; 2

(2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程; (3) 设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M ,N 两点, 当直线 PM ,PN 的 斜率都存在,并记为 k PM , k PN ,试探究 kPM ? KPN 的值是否与点 P 及直线 L 有关,不必证明你的结论.

21.已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? ax)e x

(a ? R)

(1)当 a ? 2 时,求函数 f (x) 的单调递减区间. (2)若函数 f (x) 在 ?? 1,1? 上单调递减,求 a 的取值范围. (3)函数 f (x) 可否为 R 上的单调函数,若是,求出 a 的取值范围,若不是,请说明理由.

22.(本小题满分 10 分)从⊙ O 外一点 P 引圆的两条切线 PA , PB 及一条割线 PCD , A 、 B 为切点.求 证:

AC AD ? . BC BD
D

A

O C
B P

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文科数学试卷答案 1.解析:

2i ? 1 ? ?i (2i ? 1) ? 2 ? i,? a ? 2, b ? 1,? ab ? 2. 答案为 B. i

2x ?
2.解析:思路一:“逆求”:

1? y ?0 y 得: y >0 或 y <-1,选 D.

1 x 思路二: 2 ? 1 ? ?1,“取倒数”要特别注意不等式两边同号,若-1< 2 ? 1 <0,则 2 ? 1 <-1;若 2 ? 1 >0,
x

x

x

1 则 2 ? 1 >0,综上,选 D.
x

3. A 解析:?c ? a ? (a ? b)b,?c ? (2,4) ? (?4 ? 8) ? (?2,2) ? (?6,12) ,

?

?

? ??

?

? ? c ? (?6)2 ? 122 ? 6 5 .
0 ?? 4. 解析: A 由题意知, ? a ? 1 , 1 ? a 1 2 则

? . f ( x) ? loga x 在 (0, ??) 上单调递减, f (a ? 1) ? f (2).

5.解析:易知 T ? 4, ? f (7) ? f (2 ? 4 ?1) ? f (?1) ? ? f (1) ? ?2 6.C 解析:利用等差数列 n 项和公式 Sn ? na1 ?

n(n ? 1)d ,可以算出公差为 2. 2

7.D 解析:当 0 ? a ? 1 时, y ? log a x , y ? a x 单调递减, y ? x ? a 单调递增, y ? a x 过点(0,1) y ? a , x ? 过点(0, a ) ,可判断 B,C 错误, 当 a ? 1 时,三个函数都是单调递增的, y ? a x 过点(0,1) y ? a , x ? 过点(0, a ) ,可判断为 D. 8.C 解析: S ? 1 ? 22 ? 32 ? 42 ? ??? ? (?1)n?1 n2 ,当 n ? 10 时, S ? ?55. 则判断框中的条件为“ n ? 10 ? ”. 9.A 解析:由三视图知空间几何体为圆柱,∴全面积为 π ? ( ) ? 2 ? 2π ?
2

1 2

1 3 ? 1 ? π ,∴选 A. 2 2

10.D 解析: y ? sin x cos x ? 3 cos x ?
2

sin 2 x 3 (cos2 x ? 1) sin 2 x 3 cos 2 x 3 ? ? ? ? 2 2 2 2 2

= sin(2 x ?

?
3

)?

3 ? ? 3 ? , 2 x ? ? k? , 依题意, x ? , y ? . 2 3 3 2

?k ? 3 ? 22 ? a ?a ? ?3 ? ? ,? ?b ? ?15 . 11.C 解析:由题意得, ?3 ? 2k ? b ?3 ? 23 ? 2a ? 1 ?k ? 9 ? ?
12.A 解析:根据题意,令 A( x1 , y1 ), B( x1 , y1 ) ,利用 ?AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),直线与圆方
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程联立可求出 a , b 满足的关系式为 a ?
2

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b2 ? 1,再利用换元法可求出点 P ( a, b) 与点 (0,1) 之间距离的最大 2

值为 2 ? 1 . 13.30 解析:由题意可知, (0.04+0.12+0.14+0.05+x) ? 2=1,所以 x=0.15,所以这 100 名同学中学习时间 在 6~8 小时内的人数为 100 ? 2 ? 0.15=30. 14 . 4 解 析 : 连 结 AP 并 延 长 交 BC 于 点 D , 则

??? ??? 2 ???? ??? 2 1 ??? ???? ???? ??? ? ? ? ? ? 1 ???? 2 ??? 2 1 ? AP ? BC ? AD ? BC ? ? ( AB ? AC ) ? ( AC ? AB ) ? ( AC ? AB ) ? (16 ? 4) ? 4. 3 3 2 3 3
15.解:设直线 AB 的方程为 y ? x ? b ,由 ? 出 AB 的中点 M ( ?

? y ? ? x2 ? 3 ?y ? x ?b

? x 2 ? x ? b ? 3 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?1 ,进而可求

1 1 1 1 , ? ? b) ,又由 M ( ? , ? ? b) 在直线 x ? y ? 0 上可求出 b ? 1 , 2 2 2 2
2

2 ∴ x ? x ? 2 ? 0 ,由弦长公式可求出 AB ? 1 ? 1

12 ? 4 ? (?2) ? 3 2 .

7 x 2 ? xy ? y 2 x y [1, ] 解析: Z ? 16. ? ? ?1 , 3 xy y x
根据不等式组所围成的区域为 ?ABC , 有图形可得 令t ?

y y?0 1 ? ? [kOC , kOA ] ? [ , 2] , x x?0 3

y 1 ?1 ? ,则 Z ? t ? ? 1(t ? ? , 2 ? ) , x t ?3 ?

1 7 ? Z (1) ? Z ? Z ( )即1 ? Z ? . 3 3
17 解: (Ⅰ)? A(1,0), B(0,1), C (2 sin ? , cos? )

? AC ? (2 sin ? ? 1, cos? ), BC ? (2 sin ? , cos? ? 1) ? AC ? BC ? (2 sin ? ? 1) 2 ? cos2 ? ? 4 sin 2 ? ? (cos? ? 1) 2 ? 2 sin ? ? cos? ? cos? ? 0 ? tan? ? 1 2

(II)?OA ? (1,0),OB ? (0,1),OC ? (2 sin ? , cos? )

??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ?OA ? 2OB ? (1,2), (OA ? 2OB) ? OC ? 1, 2sin ? ? 2cos? ? 1, ? ? 1 1 3 ?sin ? ? cos? ? , (sin ? ? cos? ) 2 ? , sin 2? ? ? 。 ? ? 2 4 4
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18.解: (I)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160~179 之间,而乙班身高集中于 170~180 之间.因此乙班 平均身高高于甲班. (II) x ? 158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170
10

甲班的样本方差为 1 [(158 ? 170)2 ?(162 ? 170) 2 ?(163 ? 170)2 ?(168 ? 170) 2 + 10
(168 ? 170) 2 ? (170 ? 170) 2 ? (171 ? 170) 2 ? (179 ? 170) 2 ? (179 ? 170) 2 ? (182 ? 170)2 ] =57.

(3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A, 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有:(181,173),(181,176),(181,178), (181,179),(179,173),(179,176),(179,178),(178,173),(178,176),(176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件,? P( A) ?

4 2 ? 。 10 5

19. (1) 证明: AE ? 平面 CDE ,CD ? 平面 CDE , AE ? CD . 在正方形 ABCD 中,CD ? AD , ∵ ∴ ∵ AD ? AE ? A ,∴ CD ? 平面 ADE .∵ AB ? CD ,∴ AB ? 平面 ADE . (2)解:在 Rt △ ADE 中, AE ? 3 , AD ? 6 ,∴ DE ? 连接 BD ,则凸多面体 ABCDE 分割为三棱锥 B ? CDE 和三棱锥 B ? ADE . 由(1)知, CD ? DE . ∴ S ?CDE ?

AD2 ? AE 2 ? 3 3 .

B A

1 1 ? CD ? DE ? ? 6 ? 3 3 ? 9 3 . 2 2

C D

E

又 AB ? CD , AB ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE , ∴ AB ? 平面 CDE . ∴点 B 到平面 CDE 的距离为 AE 的长度. ∴ VB ?CDE ?

1 1 S ?CDE ? AE ? ? 9 3 ? 3 ? 9 3 . 3 3

∵ AB ? 平面 ADE ,∴ VB ? ADE ?

1 1 9 3 S?ADE ? AB ? ? ?6 ? 9 3 . 3 3 2

∴ VABCDE ? VB?CDE ? VB? ADE ? 9 3 ? 9 3 ? 18 3 . 故所求凸多面体 ABCDE 的体积为 18 3 .

( 3) 2 3 ) 在椭圆上, 2 ? 20.解: (1)由于点 ( 3, a 2

(

3 2 ) 2 ?1 b2

得 2 a =4, ????2 分

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椭圆 C 的方程为

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??4 分

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x y ? ?1 4 3

2

2

,焦点坐标分别为 (?1, 0), (1, 0)

(2)设 KF1 的中点为 B(x, y)则点 K (2 x ? 1, 2 y) 把 K 的坐标代入椭圆

?????????5 分 ?????7 分

x2 y 2 ? ?1 4 3

中得

(2 x ? 1) 2 (2 y ) 2 ? ?1 4 3
2

线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ? ) ?

1 2

y2 ?1 3 4

?????????8 分

(3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称 设 M ( x0 , y0 ) N ( ? x0 , ? y0 ),

p( x, y) ,
x0 2 y0 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,2 ? 2 ? 1 a2 b a b
??9 分

M , N , P 在椭圆上,应满足椭圆方程,得

kPM ? KPN =

b2 y ? y0 y ? y0 y 2 ? y02 =? 2 ? ? 2 a x ? x0 x ? x0 x ? x02

???????????11 分 ??????12 分

故: kPM ? KPN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关. 21.解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? ( x 2 ? 2 x)e x ,

∴ f ?( x) ? (2 x ? 2)e x ? ( x 2 ? 2x)e x ? ( x 2 ? 2)e x ,令 f ?( x) ? 0, 即 ( x 2 ? 2)e x ? 0 , ∴ x ? 2 ? 0 ,∴ ? 2 ? x ?
2

2 ,∴函数 f (x) 的单调递减区间是 ? 2 , 2 .

?

?

(2) f ?( x) ? (2x ? a)e x ? ( x 2 ? ax)e x ? [ x 2 ? (2 ? a) x ? a]e x , ∵ f (x) 在 ?? 1,1? 上单调递减,∴ x ? ?? 1,1? 时, f ?( x) ? 0 恒成立,

x 2 ? 2x 1 ? x ?1? 即 x ? ?? 1,1? 时, ? (2 ? a) x ? a ? 0 恒成立.即 a ? 对一切 x ? ?? 1,1? 恒成立, x x ?1 x ?1
2

令 g ( x) ? x ? 1 ?

1 1 ?0 , g ?( x) ? 1 ? x ?1 ( x ? 1) 2
3 1 3 ? ,a ? , 2 1?1 2

∴ g (x) 在 ?? 1,1? 上是增函数. ∴ g (x) ? 1 ? 1 ? 即 a 的取值范围是 [ ,?? ) .

3 2

(3)∵ f ?( x) ? [ x ? (2 ? a) x ? a]e ,设 t ? x ? (2 ? a) x ? a ,
2 x 2

? ? (2 ? a) 2 ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ,∴ x ? R 时, t 不恒为正值,也不恒为负值.
即 f ?(x) 的值不恒正,也不恒负 ,故 f (x) 在 R 上不可能单调.
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22.证明:

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?CAP ? ?ADP? AC AP ? ,① ? ? △ CAP ∽△ ADP ? AD DP ?CPA ? ?APD?

?CBP ? ?BDP? BC BP ? ,② ? ? △ CBP ∽△ BDP ? DB DP ?CPB ? ?BPD?
又 AP ? BP ,③ 由①②③知:

AC BC AC AD ? ? ,故 . AD BD BC BD

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