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双曲线的标准方程1


复习回顾:

双曲线的定义:
平面内与两定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数2a (小于 F1F2 ) 点的轨迹叫做双曲线。
F1,F2 -----焦点 |F1F2| -----焦距 ||MF1| - |MF2|| = 2a

注意:对于双曲线定义须 M 抓住三点: 一、平面内的动点到两定点的 距离之差的绝对值是一个常数;F1 o 二、这个常数要小于|F1F2|

y

M

.

. F

2

x

三、这个常数要是非零常数。

相关结论:
M点轨迹是双曲线 1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时,

其中当|MF1|-|MF2|= 2a时,M点轨迹是与F2对应 的双曲线的一支; 当|MF2| - |MF1|= 2a时,M点 轨迹是与F1对应的双曲线的一支.
2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时,M点轨迹是在直 线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。

3、当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时,M点的轨迹不存在
4、当||MF1|-|MF2||= 2a=0时,M点的轨迹是线段F1F2 的垂直平分线 。

二、双曲线的标准方程:
设双曲线的焦距为 2c ,双曲线上任意一点 p 到焦点
F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a (c ? a ? 0) y P 以 F1 , F2 所在的直线为 x 轴,线段 F1 , F2 的垂直平分线为 y轴,建立直角坐标 系 则 F1 , F2 的坐标分别是(-c,0) ,(c,0)

F1

0

F2

x

设P( x, y), 则 | PF1 ? PF2 |? 2a

即:(x ? c) 2 ? y 2 ? (x ? c) 2 ? y 2 |? 2a |
2 ( 化简: c 2 ? a 2)x 2 ? a 2 y 2 ? a(c 2 ? a 2)

? c ? a ? 0,? c 2 ? a 2 ? 0故令:b 2 ? c 2 ? a 2 (b ? 0) x2 y 2 ? 方程可化为: 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) a b

表示焦点在x轴上的双曲线。

思考:我们还可以怎么建立坐标系? y 以F1F2所在的直线为y轴,以线段 F2
F1F2的垂直平分线为x轴建立坐标系
0
F1
P
x

则F1 ,F2的坐标分别是(0,-c),(0,c)
设P( x, y), 则 | PF1 ? PF2 |? 2a
2 即: x 2 ? y ? c) ? x 2 ? y ? c ) 2 |? 2a | ( (

| (x ? c) ? y ? (x ? c ) ? y |? 2a
2 2 2 2

对比两个方程可发现,仅互换了x, y 2 2 y x ? 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) a b 表示焦点在y轴上的双曲线。

定义 图象

MF1 ? MF2 ? 2a,0 ? 2a ? F1 F2 ?

?

方程

x y ? 2 ?1 2 a b
F ? ? c, 0 ?

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
F ? 0, ?c ?

2

2

焦点 a.b.c 的关系

c ? a ?b
2 2

2

谁正谁对应 a

双曲线与椭圆之间的区别与联系: 椭 定义 方程 圆

双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

x2
a2 y2 a2 焦点

+
+

y2
b2 x2

=1 =1

x2 a2 y2 a2

-

y2

b2

b2 x2 = 1 2 b

=1

F(±c,0) F(0,±c)

F(±c,0) F(0,±c) a>0,b>0,a,b大小 不确定,c2=a2+b2

a.b.c 的关系 a>b>0,a2=b2+c2

例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于8,求双曲线 的标准方程.

解:根据双曲线的焦点在 x 轴上,设它的标准方程为:
x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 2 a b
∵ 2a = 8, c=5
2 2




a = 4, c = 5
b2 = 52-42 =9
2 2

x y ? ?1 所以所求双曲线的标准方程为: 16 9

例 2: 求 适 合 下 列 条 件 的 双 线 的 标 准 方 程 : 曲 (1)a ? 3, b ? 4, 焦 点 在x轴 上 ; (2 a ? 2 5 , 经 过 点A( 2,?5), 焦 点 在y轴 上 ; )

解: )由题意a ? 3, b ? 4且焦点在 轴上, (1 x x2 y2 所以双曲线的方程为: ? ?1 9 16 ( 2) ? 焦点在y轴上. 2 2 y x ? 可设所求双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 a b
?a ? 2 5 ? 由题意得:25 4 ? ? 2 ? 2 ?1 b ?a

解得b 2 ? 16
2 2

y x ? 所求双曲线方程为 ? ?1 20 16

x2 y2 例3:如果方程 2 ? m ? m ? 1 ? 1 表示双曲线,

求m的取值范围.

分析:由 (2 ? m)(m ? 1) ? 0 得 ?1 ? m ? 2
变式一:
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线时,则m的取值范围 方程 2 ? m m ?1

变式二:

m ? ?1 或 m ? 2

x2 y2 ? ? 1表示焦点在y轴的双曲线时,求m的范围。 2 ? m m ?1

?m ? 1 ? 0 ?m?2 ? ?2 ? m ? 0

练习4: 1. 方程mx2-my2=n中mn<0,则其表示焦点在 y 双曲线. 2、 若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的 双曲线,则k? (-1, 1)
2

轴上的

.
(0, ? 4 ? k )

x ? y ?1 3. 双曲线 的焦点坐标是 k 4

2

.

4. 双曲线 2 x 2 ? y 2 ? k 的焦距是6,则k= ?6 .

y2 x ? 5. 若方程 | k | ?2 5 ? k ? 1 表示双曲线,求实数k的
2

取值范围. -2<k<2或k>5

小结:
()推导双曲线的标准方程 1

(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程
(3)类比法

y2 x2 ? 2 ?1 2 __________ ?焦点在y轴上的双曲线的方程是 a b _____. ?椭圆的焦点由 x2与y2的系数的大小 __________ __________ _____决定,

其中b2=c2-a2

? x2与y2的系数的正负 __________ __________ 决定. __ ?双曲线的焦点则由 ?在双曲线的标准方程中、b、c的关系是_______. c2=a2+b2 a ? 方程Ax 2 ? By 2 ? 1表示双曲线的充要条件 _____ 是 AB<0 ?

设P( x, y), 则 | PF1 ? PF2 |? 2a
即:(x ? c) 2 ? y 2 ? (x ? c ) 2 ? y 2 |? 2a |

去绝对值符号得: x ? c) 2 ? y 2 ? (x ? c ) 2 ? y 2 ? ?2a (

移项得: x ? c ) 2 ? y 2 ? (x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a (

平方:x ? y ? c ? 2cx ? x ? y ? c ? 2cx ? 4a ? 4a ( x ? c) ? y
2 2 2 2 2 2 2 2

2

cx ? a 2 ? ? a ( x ? c)2 ? y 2 再平方:c 2 x 2 ? 2ca 2 x ? a 4 ? a 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2c 2 ? 2a 2cx
2 (c 2 ? a 2)x 2 ? a 2 y 2 ? a(c 2 ? a 2)

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