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苏北四市2014届高三第一次质量检测数学试题(理)试题


(本部分满分 160 分,时间 120 分钟) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
1.设复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? m ? i (m ? R ,i 为虚数单位 ) ,若 z1 ? z2 为实数,则 m 的值为 .

2.已知集合 A ? {2 ? a , a} , B ? {?1,1, 3} ,且 A ?

B ,则实数 a 的值是



3.某林场有树苗 3000 棵,其中松树苗 400 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方 法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的棵数为 .

4.在 ?ABC 的边 AB 上随机取一点 P , 记 ?CAP 和 ?CBP 的面积分别为 S1 和 S 2 ,则 S1 ? 2S2 的概率是 【答案】 【解析】
1



1 3

5.已知双曲线

x2 y 2 则该双曲线的离心率为 ? ? 1 的一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 , a 2 b2



6.右图是一个算法流程图,则输出 S 的值是



考点:流程图和循环结构.

2

7.函数 f ( x) ? lg(2x ? 3x ) 的定义域为



8.若正三棱锥的底面边长为 2 ,侧棱长为 1,则此三棱锥的体积为 【答案】 【解析】



1 6

试 题 分 析 : 记 正 三 棱 锥 为 P ? ABC , 点 P 在 底 面 ABC 内 的 射 影 为 点 H , 则

2 3 AH ? ? ( ? 3 2

2 )?

6 3 2 2 , 在 R? 中 , PH ? AP ? AH ? , 所以 t APH 3 3

1 1 3 3 1 VP ? ABC ? S?ABC ? PH ? ? ? ? . 3 3 2 3 6
考点:正三棱锥的性质和体积的计算.

9. 在 △ ABC 中 , 已 知 AB ? 3 , A ? 120o , 且 ?ABC 的 面 积 为 为 .

15 3 , 则 BC 边 长 4

10.已知函数 f ( x) ? x x ? 2 ,则不等式 f ( 2 ? x) ≤ f (1) 的解集为



3

? 11.已知函数 f ( x) ? 2sin(2? x ? ) (? ? 0) 的最大值与最小正周期相同, 则函数 f ( x) 在 [?1, 1] 4

上的单调增区间为 【答案】 [ ? 【解析】



1 3 , ] 4 4

12.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a4 , a3 , a5 成等差数列,且 Sk ? 33 , Sk ?1 ? ?63 ,其 中 k ? N ? ,则 Sk ? 2 的值为 .

4

13. 在平面四边形 ABCD 中,已知 AB ? 3 , DC ? 2 ,点 E , F 分别在边 AD, BC 上,且

???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ? ? ?? ? ? ?? AD ? 3 AE , BC ? 3BF , 若 向 量 AD 与 DC 的 夹 角 为 600 , 则 A B? E F的 值
为 .

14.在平面直角坐标系 xOy 中,若动点 P(a, b) 到两直线 l1 : y ? x 和 l2 : y ? ? x ? 1 的距离之 和为 2 2 ,则 a ? b 的最大值是________.
2 2

二、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
15.(本小题满分 14 分)已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (2 , ? 1) . (1)若 a ? b ,求

sin ? ? cos ? 的值; sin ? ? cos ?
5

? ? (2)若 a ? b ? 2 , ? ? (0 , ) ,求 sin(? ? ) 的值. 2 4

16.(本小题满分 14 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中,点 E , F 分别是棱 PC, AC 的中点. (1)求证: PA //平面 BEF ; (2)若平面 PAB ? 平面 ABC , PB ? BC ,求证: BC ? PA .

6

又 PB ? BC , PD ? PB ? P , PD ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 BC ? 平面 PAB , ……………………………………………………………12 分

17.(本小题满分 14 分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以 点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成. 按设计要求扇环面的周 长为 30 米, 其中大圆弧所在圆的半径为 10 米. 设小圆弧所在圆的半径为 x 米, 圆心角为 ?
7

(弧度) . (1)求 ? 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米,弧线部 分的装饰费用为 9 元/米. 设花坛的面积与装饰总费用的比为 y , 求 y 关于 x 的函数关系式, 并求出 x 为何值时, y 取得最大值?

18. (本小题满分 16 分) 已知 ?ABC 的三个顶点 A(?1 , 0) , 其外接圆为 ? H . B(1, 0) , C(3 , 2) ,

8

(1)若直线 l 过点 C ,且被 ? H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (2)对于线段 BH 上的任意一点 P , 若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M , N , 使得点
M 是线段 PN 的中点,求 ? C 的半径 r 的取值范围.

9

19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x3 ?

5 2 ,其图象是曲线 C . x ? ax ? b ( a, b 为常数) 2

(1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调减区间; (2)设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,若存在唯一的实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 与 f ?( x0 ) ? 0 同时 成立,求实数 b 的取值范围; (3)已知点 A 为曲线 C 上的动点,在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B ,在 点 B 处作曲线 C 的切线 l2 ,设切线 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 .问:是否存在常数 ? ,使得
k2 ? ? k1 ?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

10

故当 a ? 分

25 25 时,存在常数 ? ? 4 ,使 k2 ? 4k1 ;当 a ? 时,不存在常数 ? ,使 k2 ? ? k1 .16 12 12

考点:函数与方程、导数的综合应用.

11

20. ( 本 小 题 满 分

16

分 ) 已 知 数 列 {a n } 满 足 a1 ? x , a2 ? 3x ,

Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1 ? 3n2 ? 2 (n ≥ 2 , n ? N* ) , S n 是数列 {an } 的前 n 项和.

(1)若数列 {a n } 为等差数列. (ⅰ)求数列的通项 an ; (ⅱ) 若数列 {b n } 满足 bn ? 2an , 数列 {c n } 满足 cn ? t 2bn ? 2 ? tbn ?1 ? bn , 试比较数列 {bn } 前 n 项 和 Bn 与 {c n } 前 n 项和 Cn 的大小; (2)若对任意 n ? N* , an ? an ?1 恒成立,求实数 x 的取值范围.

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数学Ⅱ

附加题部分

21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答 ....... ...... 题区域内作答 .若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证 ...... 明过程或演算步骤.
A.(选修 4—1:几何证明选讲)(本小题满分 10 分)如图,点 D 为锐角 ?ABC 的内切圆圆 心, 过点 A 作直线 BD 的垂线, 垂足为 F , 圆 D 与边 AC 相切于点 E . 若 ?C ? 50? , 求 ?D E F 的度数.
13

?a 0? B.(选修 4—2:矩阵与变换)(本小题满分 10 分)设矩阵 M ? ? , b>0 ) ? (其中 a > 0 , ?0 b ?

x2 若曲线 C : x2 + y 2 = 1 在矩阵 M 所对应的变换作用下得到曲线 C ? : ? y 2 ? 1 ,求 a +b 的 4

值.

14

C.(选修 4—4:坐标系与参数方程)(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知
? ?x ? ? 直线 l 的参数方程是 ? ? y? ? ? 2 t, 2 ( t 为参数) ;以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐 2 t?4 2 2

? 标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos(? ? ) .由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的 4

最小值.

考点:直线的参数方程和圆的极坐标方程,圆的切线长.

15

D.(选修 4—5:不等式证明选讲)(本小题满分 10 分)
1 1 1 已知 a , b , c 均为正数,证明: a 2 ? b2 ? c2 ? ( ? ? )2 ≥ 6 3 . a b c

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解 ....... 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 某品牌汽车 4 S 店经销 A, B, C 三种排量的汽车,其中 A, B, C 三种排量的汽车依次有5,4,3 款不同车型.某单位计划购买 3 辆不同车型的汽车,且购买每款车型等可能. (1)求该单位购买的 3 辆汽车均为 B 种排量汽车的概率; (2)记该单位购买的 3 辆汽车的排量种数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.

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??? ? ??? ? ??? ? 23. (本小题满分 10 分)已知点 A(?1 , 0) , F (1, 0) ,动点 P 满足 AP ? AF ? 2 | FP | .

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)在直线 l : y ? 2 x ? 2 上取一点 Q ,过点 Q 作轨迹 C 的两条切线,切点分别为 M , N .问: 是否存在点 Q ,使得直线 MN // l ?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
1 【答案】 (1) y 2 ? 4 x ; (2) Q(? ,1) . 2

【解析】 试题分析:(1)设动点 P( x, y) ,利用条件列式化简可得动点轨迹方程 C; (2) Q( x0 , y0 ) ,再 求出切点弦的方程,利用其斜率为 2,看方程是否有解即可.

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