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6.4 基本不等式及其应用


6.4 基本不等式及其应用 一、选择题 1 1 1.设 a>0,b>0.若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为( ) a b A.8 B.4 1 C.1 D. 4 1 1 1 1 b 解析:由题意有( 3)2=3a· 3b?a+b=1,又 a>0,b>0,∴ + =( + )(a+b)=1+ a b a b a a ba 1 1 + +1≥2+2 · =4,∴

+ 的最小值为 4. b ab a b 答案:B 1 2.若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( ) x-2 A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4 1 1 解析:当 x>2 时,x-2>0,f(x)=(x-2)+ +2≥2 ?x-2?× +2=4,当且 x-2 x-2 1 仅当 x-2= (x>2),即 x=3 时取等号,即当 f(x)取得最小值时,x=3,即 a=3,选 C. x-2 答案:C 1 1 3.设 x,y∈R,a>1,b>1.若 ax=by=3,a+b=2 3,则 + 的最大值为( x y 3 A.2 B. 2 1 C.1 D. 2 )

a+b 2 1 1 解析:由 ax=by=3,得 x=loga3,y=logb3,∴ + =log3(ab)≤log3( ) =1,故选 x y 2 C. 答案:C 4 4.当 x>2 时,不等式 x+ ≥a 恒成立,则实数 a 的( x-2 A.最小值是 8 B.最小值是 6 C.最大值是 8 D.最大值是 6 4 4 解析:x+ =(x-2)+ +2≥4+2=6, x-2 x-2 4 又 x+ ≥a 恒成立, x-2 )

(

故 a≤6,所以 a 的最大值为 6. 答案:D 2 1 5.已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y ) A.m≥4,或 m≤-2 B.m≥2,或 m≤-4 C.-2<m<4 D.-4<m<2 2 1 解析:∵x>0,y>0,且 + =1, x y

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2 1 4y x ∴x+2y=(x+2y)( + )=4+ + ≥4+2 x y x y 2 1 2y 时取等号,又 + =1,此时 x=4,y=2. x y

4y x 4y x ·=8,当且仅当 = ,即 4y2=x2,x= x y x y

∴(x+2y)min=8,要使 x+2y>m2+2m 恒成立,只需(x+2y)min>m2+2m 成立,即 8> m2+2m,解得-4<m<2. 答案:D 6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平 x 均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元,为使平均到每件产品的生产准备费 8 用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( ) A.60 件 B.80 件 C.100 件 D.120 件 800 x 解析:若每批生产 x 件产品,则每件产品的生产准备费用是 ,存储费用是 ,总的 x 8 800 x 800 x 800 x 费用是 + ≥2 · =20,当且仅当 = 时取等号,即 x=80. x 8 x 8 x 8 答案:B 二、填空题 7.已知 log2a+log2b≥1,则 3a+9b 的最小值为__________. 解析:log2a+log2b=log2(ab).∵log2a+log2b≥1,∴ab≥2 且 a>0,b>0.3a+9b=3a+ 32b≥2 3a· 32b=2 3a+2b≥2 32
2ab

≥2 32 2=18,当且仅当 a=2b,即 a=2,b=1 时等号
×

成立.∴3a+9b 的最小值为 18. 答案:18 8.若实数 x、y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是__________. 1 1 3 解析:∵xy≤ (x+y)2,∴1=x2+y2+xy=(x+y)2-xy≥(x+y)2- (x+y)2= (x+y)2, 4 4 4 4 2 3 2 3 3 2 3 ∴(x+y)2≤ ,∴- ≤x+y≤ ,当 x=y= 时,x+y 取得最大值 . 3 3 3 3 3 2 3 答案: 3 2 9.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的图象交于 P,Q x 两点,则线段 PQ 长的最小值是__________. 解析:由题意知:P、Q 两点关于原点 O 对称,不妨设 P(m,n)为第一象限中的点,则 2 4 4 m>0,n>0,n= ,所以|PQ|2=4|OP|2=4(m2+n2)=4(m2+ 2)≥16(当且仅当 m2= 2),即 m m m m= 2时,取等号),故线段 PQ 长的最小值是 4. 答案:4 三、解答题 → → → 10.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b, 0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 1 2 A、B、C 三点共线,求 + 的最小值. a b → → → → → → 解析:AB=OB-OA=(a-1,1),AC=OC-OA=(-b-1,2), → → ∵AB与AC共线, ∴2(a-1)+b+1=0,即 2a+b=1. ∵a>0,b>0,

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1 2 1 2 b 4a ∴ + =( + )(2a+b)=4+ + ≥4+4=8, a b a b a b b 4a 当且仅当 = ,即 b=2a 时等号成立. a b 1 2 ∴ + 的最小值为 8. a b 11.如图所示,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图 中阴影部分),这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝 空白的宽度为 5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm)能使矩形广告面积最小?

解析:方法一:设矩形栏目的高为 acm,宽为 bcm,则 ab=9000.① 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20)(2b+25) =2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b ≥18500+2 25a· 40b=18500+2 1000ab =24500. 5 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b= a,代入①式得 a=120,从而 b=75,即当 8 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500, 故广告的高为 140cm,宽为 175cm 时,可使广告的面积最小. 方法二:设广告的高和宽分别为 xcm,ycm,则每栏的高和宽分别为 x-20, 中 x>20,y>25. y-25 18000 两栏面积之和为 2(x-20) =18000,由此得 y= +25, 2 x-20 18000 18000x 广告的面积 S=xy=x( +25)= +25x, x-20 x-20 360000 整理得 S= +25(x-20)+18500. x-20 因为 x-20>0,所以 S≥2 360000 ×25?x-20?+18500=24500. x-20 y-25 .其 2

360000 当且仅当 =25(x-20)时等号成立, x-20 18000 此时有 (x-20)2=14400(x>20),解得 x=140,代入 y= +25,得 y=175. x-20 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500, 故当广告的高为 140cm,宽为 175cm 时,可使广告的面积最小. 12.在锐角△ABC 中,已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,向量 m=(2sin(A B cos2B,2cos2 -1?,且向量 m、n 共线. +C), 3),n=? 2 ? ? (1)求角 B 的大小;
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(2)如果 b=1,求△ABC 的面积 S△ABC 的最大值. 解析:(1)∵m∥n, 2B ? ∴2sin(A+C)? ?2cos 2 -1?- 3cos2B=0. 又∵A+C=π-B, ∴2sinBcosB= 3cos2B, 即 sin2B= 3cos2B. ∴tan2B= 3,又∵△ABC 是锐角三角形, π π π ∴0<B< ,∴0<2B<π,∴2B= ,故 B= . 2 3 6 π (2)由(1)知:B= ,且 b=1,由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB,即 a2+c2- 3ac=1. 6 ∴1+ 3ac=a2+c2≥2ac, 1 即(2- 3)ac≤1,∴ac≤ =2+ 3, 2- 3 当且仅当 a=c= 6+ 2 时,等号成立. 2

2+ 3 1 1 ∴S△ABC= acsinB= ac≤ . 2 4 4 2+ 3 ∴△ABC 的面积最大值为 . 4

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