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【名师金典】(教师用书)2016版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语


第一章

集合与常用逻辑用语
集合的概念与运算

第一节

[考情展望] 1.给定集合,直接考查集合的交、并、补集的运算.2.与方程、不等式等 知识相结合,考查集合的交、并、补集的运算.3.利用集合运算的结果,考查集合间的基本 关系.4.以新概念或新背景为载体,考查对新情境的应变能力.

、集合的基本概念 1.集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性; 2.元素与集合的关系:属于或不属于,表示符号分别为∈和?. 3.常见数集的符号表示: 集合 表示 自然数集 N 正整数集 N+(N )
*

整数集 Z

有理数集 Q

实数集 R

4.集合的三种表示方法:列举法、描述法、Venn 图法.

描述法的一般形式的结构特征 在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中,“x”是集合中元素的代表形式,I 是 x 的范围, “p(x)”是集合中元素 x 的共同特征,竖线不可省略. 二、集合间的基本关系 1.子集:若对? x∈A,都有 x∈B,则 A? B 或 B? A. 2.真子集:若 A? B,但? x∈B,且 x?A,则 A?B 或 B?A. 3.相等:若 A? B,且 B? A,则 A=B. 4.空集的性质:?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

子集与真子集的快速求解法 一个含有 n 个元素的集合有 2 个子集,有 2 -1 个真子集,有 2 -2 个非空真子集. 三、集合的基本运算
n n n

1

并集 符号 表示

交集

补集 若全集为 U,则集合 A 的补集为?UA

A∪B

A∩B

图形 表示

意义

{x|x∈A,或 x∈B}

{x|x∈A,且 x∈B}

?UA={x|x∈U,且 x?A}

1.集合间的两个等价转换关系 (1)A∩B=A?A? B; (2)A∪B=A?B? A 2.集合间运算的两个常用结论: (1)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB); (2)?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

1.已知集合 A={0,1},则下列式子错误的是( A.0∈A C.??A 【答案】 B

) B.{1}∈A D.{0,1}? A

2.已知集合 A={x|x>1},B={x|-1<x<2},则 A∩B=( A.{x|-1<x<2} C.{x|-1<x<1} 【答案】 D 3.已知集合 M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4},则( A.M? N C.M∩N={2,3} 【答案】 C )

) B.{x|x>-1} D.{x|1<x<2}

B.N=M D.M∪N=(1,4)

4.集合 A={0,2,a},B={1,a },若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为(

2

)
2

A.0 C.2 【答案】 D

B.1 D.4

5.(2014·广东高考)已知集合 M={-1,0,1},N={0,1,2},则 M∪N=( A.{0,1} C.{-1,0,1,2} 【答案】 C B.{-1,0,2} D.{-1,0,1}

)

6. (2014·湖北高考)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7}, 集合 A={1,3,5,6}, 则?UA=( A.{1,3,5,6} C.{2,4,7} 【答案】 C B.{2,3,7} D.{2,5,7}

)

考向一 [001] 集合的基本概念 (1)(2013·山东高考)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y ∈A}中元素的个数是( A.1 B.3
2

) C.5 D.9

(2)已知集合 A={m+2,2m +m,-3},若 3∈A,则 m 的值为________. 3 【答案】 (1)C (2)- 2 规律方法 1 1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限 制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合. 2.对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性. 对点训练 (1)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为( A.3 B.6 ) C.8
2

D.10

(2)已知集合 A={x|ax -3x+2=0},若 A=?,则实数 a 的取值范围为________.

3

?9 ? 【答案】 (1)D (2)? ,+∞? ?8 ?
考向二 [002] 集合间的基本关系
2 2 014 2 014 (1)已知 a∈R,b∈R,若?a, ,1?={a ,a+b,0},则 a +b =

? ?

b a

? ?

________. (2)已知集合 A={x|x -3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 A∪B=A,则实数 m 的取值范围是________. 【答案】 (1)1 (2)(-∞,3] 规律方法 2 1.解答本例(2)时应注意两点:一是 A∪B=A? B? A;二是 B? A 时,应分
2

B=?和 B≠?两种情况讨论.
2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间 的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为 直观. 对点训练 (1)已知集合 A={x|x -3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条 件 A? C? B 的集合 C 的个数为( A.1 B.2
2 2

) D.4

C.3

(2)若集合 M={x|x +x-6=0},N={x|ax+2=0,a∈R},且 M∩N=N,则实数 a 的取 值集合是________.
? 2? 【答案】 (1)D (2)?-1,0, ? 3? ?

考向三 [003] 集合的基本运算 (1)(2014·课标全国卷Ⅰ)已知集合 A={x|x -2x-3≥0},B={x|- 2≤x<2},则 A∩B=( A.[-2,-1] C.[-1,1] ) B.[-1,2) D.[1,2)
2

(2)(2014·辽宁高考)已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)= ( ) A.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} 【答案】 (1)A (2)D 规律方法 3 1.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解. B.{x|x≤1} D.{x|0<x<1}

4

2.求交、并、补的混合运算时,先算括号里面的,再按运算顺序求解. 3.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集 合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的 取舍. 4.在解决有关 A∩B=?,A? B 等集合问题时,往往忽视空集的情况,一定先考虑?是否 成立,以防漏解. 对点训练 (1)(2014·江西高考)设全集为 R,集合 A={x|x -9<0},B={x|-1< ) B.(-3,-1) D.(-3,3)
2

x≤5},则 A∩(?RB)=(
A.(-3,0) C.(-3,-1]

(2)如图 1-1-1,已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合 A= {2,3,4,5,6,8},B={1,3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9},用列举法写出图中阴影部 分表示的集合为______. 【答案】 (1)C (2){2,8}

思想方法之一 数形结合思想在集合中的妙用 数形结合思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 使抽象思维与形象 思维相结合,使问题化难为易、化抽象为具体. 数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面: (1)利用 Venn 图,直观地判断集合的包含或相等关系. (2)利用 Venn 图,求解有限集合的交、并、补运算. (3)借助数轴,分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所 含参变量的取值范围问题. —————————— [1 个示范例] —————— 已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}, 且 A∩B=(-1,n),则 m=________,n=________. 【解析】 ∵A={x|-5<x<1}, B={x|(x-m)(x-2)<0}, 且 A∩B={x|-1<x<n}. 如图所示

5

由图可知 A∩B={x|-1<x<1}, 故 n=1,m=-1. 【答案】 -1 1 ———————— [1 个对点练] ——————— 设 A={x|-2<x<-1,或 x>1},B={x|x +ax+b≤0}.已知 A∪B={x|x>-2},
2

A∩B={x|1<x≤3},则 a=________,b=________.
【解析】 如图所示.

设想集合 B 所表示的范围在数轴上移动,显然当且仅当 B 覆盖住集合{x|-1≤x≤3}时 符合题意. 根据一元二次不等式与一元二次方程的关系, 可知-1 与 3 是方程 x +ax+b=0 的两根, ∴a=-(-1+3)=-2,b=(-1)×3=-3. 【答案】 -2 -3 课时限时检测(一) (时间:60 分钟 满分:80 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.(2013·北京高考)已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B= ( A.{0} C.{0,1} 【答案】 B 2.设集合 A={1,2,3},B={4,5},C={x|x=b-a,a∈A,b∈B},则 C 中元素的个数 是( ) A.3 C.5 【答案】 B
6
2

集合的概念与运算

)

B.{-1,0} D.{-1,0,1}

B.4 D.6

3.(2013·江西高考)若集合 A={x∈R|ax +ax+1=0}中只有一个元素,则 a=( A.4 C.0 B.2 D.0 或 4

2

)

【答案】 A 4.已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图 1-1-2 中阴影部分 所表示的集合为( )

图 1-1-2 A.{0,1} C.{1,2} 【答案】 B 5. (2013·课标全国卷Ⅰ)已知集合 A={x|x -2x>0}, B={x|- 5<x< 5}, 则( A.A∩B=? C.B? A 【答案】 B 6.设 A,B,I 均为非空集合,且满足 A? B? I,则下列各式中错误的是( A.(?IA)∪B=I C.A∩(?IB)=? 【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x +mx=0},若?UA={1,2},则实数 m=________. 【答案】 -3 8.已知集合 A={0,2,3},B={x|x=ab,a,b∈A 且 a≠b},则 B 的子集有________个. 【答案】 4 9.已知集合 A={x|f(x)=lg(x -2x-3)},B={y|y=2 -a,x≤2},若 A∪B=A,则
2 2 2

B.{1} D.{0,1,2}

)

B.A∪B=R D.A? B

)

B.(?IA)∪(?IB)=I D.(?IA)∩(?IB)=?IB

x

a 的取值范围是________.
【答案】 (-∞,-3]∪(5,+∞) 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知集合 A={1,3,a},B={1,a -a+1}且 B? A,求 a 的值.
2

7

【解】 ∵B? A,∴a -a+1=3 或 a -a+1=a. ①由 a -a+1=3 得 a -a-2=0 解得 a=-1 或 a=2. 当 a=-1 时,A={1,3,-1},B={1,3},满足 B? A, 当 a=2 时,A={1,3,2},B={1,3},满足 B? A. ②由 a -a+1=a 得 a -2a+1=0,解得 a=1, 当 a=1 时,A={1,3,1}不满足集合元素的互异性. 综上,若 B? A,则 a=-1 或 a=2. 11.(12 分)已知集合 A={x|x -2x-3≤0},B={x|m-2≤x≤m+2,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A? ?RB,求实数 m 的取值范围. 【解】 由已知得 A={x|-1≤x≤3}, (1)∵A∩B=[0,3],B={x|m-2≤x≤m+2}. ∴?
?m-2=0, ? ? ?m+2≥3.
2 2 2 2 2

2

2

∴m=2.

(2)?RB={x|x<m-2 或 x>m+2}, ∵A? ?RB, ∴m-2>3 或 m+2<-1, 即 m>5 或 m<-3. 因此实数 m 的取值范围是{m|m>5 或 m<-3}. 12.(13 分)已知函数 f(x)= x -x-2的定义域集合是 A,函数 g(x)=lg[(x-a)(x-
2

a-1)]的定义域集合是 B.
(1)求集合 A、B; (2)若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围. 【解】 (1)由 x -x-2≥0?x≤-1 或 x≥2, 所以 A={x|x≤-1 或 x≥2}. 由(x-a)(x-a-1)>0 得 x<a 或 x>a+1,所以 B={x|x<a 或 x>a+1}. (2)由 A∩B=A 知 A? B,得? 所以-1<a<1, 所以实数 a 的取值范围是(-1,1). 第二节 命题及其关系、充分条件 与必要条件 [考情展望] 1.直接考查“若 p,则 q”形式的四种命题及其真假性的判定.2.以函数、
8 ? ?a>-1, ?a+1<2, ?
2

方程、不等式等知识为载体,考查充分必要条件的判定方式.3.借助充要条件探索命题成立 的依据.

一、四种命题及其关系 1.四种命题间的相互关系

2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 二、充分条件与必要条件 1.如果 p? q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. 2.如果 p?q,那么 p 与 q 互为充要条件. 3.如果 pD/? q,且 qD/? p,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件.

充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性:若 p 是 q 的充分条件,则 q 是 p 的必要条件,即“p? q”?“q?p”; (2)传递性: 若 p 是 q 的充分(必要)条件, q 是 r 的充分(必要)条件, 则 p 是 r 的充分(必 要)条件. 注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的不同,

9

前者是“p? q”而后者是“q? p”.

1.已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a +b +c ≥3”的否命题是( A.若 a+b+c≠3,则 a +b +c <3 B.若 a+b+c=3,则 a +b +c <3 C.若 a+b+c≠3,则 a +b +c ≥3 D.若 a +b +c ≥3,则 a+b+c=3 【答案】 A π 2.命题“若 α = ,则 tan α =1”的逆否命题是( 4 π A.若 α ≠ ,则 tan α ≠1 4 α ≠1 π C.若 tan α ≠1,则 α ≠ 4 π = 4 【答案】 C ) B .若 α =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

)

π ,则 tan 4

D.若 tan α ≠1,则 α

3.命题“若 a>-3,则 a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数 为( ) A.1 C.3 【答案】 B 4.下列命题正确的有________. ①“a>b”是“a >b ”的充分条件; ②“|a|>|b|”是“a >b ”的充要条件; ③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件; ④“a>b”是“ac >bc ”的充要条件. 【答案】 ②③
2 2 2 2 2 2

B.2 D.4

5. (2014·浙江高考)设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC, BD, 则“四边形 ABCD 为菱形” 是“AC⊥BD”的( )

10

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】 A

B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6.(2014·陕西高考)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命 题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A.真,假,真 C.真,真,假 【答案】 B ) B.假,假,真 D.假,假,假

考向一 [004] 四种命题的关系及真假判断 (1)命题“若 x、y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是( A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 (2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①“若 log2a>0, 则函数 f(x)=logax(a>0, a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0”; ③命题“正多边形都相似”的逆命题为真命题; ④命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M,则 a?M”等价. 【答案】 (1)C (2)②④ 规律方法 1 1.(1)在判断四种命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再 考查每个命题的条件与结论之间的关系. (2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时, 必须保留大前提不变. 2.判定命题为真,必须推理证明;若说明为假,只需举出一个反例.互为逆否命题是 等价命题,根据需要,可相互转化. 对点训练 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). )

11

①命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题是真命题; ②命题“若 x=1,则 x +x-2=0”的否命题是真命题; ③命题“若 x +y =0,则 x=y=0”的逆否命题为“若 x≠0 或 y≠0,则 x +y ≠0”; ④命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M,则 a?M”等价. 【答案】 ①③④
2 2 2 2 2

考向二 [005] 充分条件与必要条件的判定 (1)(2014·湖北高考)设 U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C 使得

A? C,B? ?UC”是“A∩B=?”的
( A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 (2)(2013·山东高考)给定两个命题 p, q.若綈 p 是 q 的必要而不充分条件, 则 p 是綈 q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 (1)C (2)A 规律方法 2 充分、必要条件的三种判断方法. 1.定义法:直接判断“若 p 则 q”、“若 q 则 p”的真假.并注意和图示相结合,例如 “p? q”为真,则 p 是 q 的充分条件. 2.等价法:利用 p? q 与綈 q? 綈 p,q? p 与綈 p? 綈 q,p?q 与綈 q?綈 p 的等价关 系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. 3.集合法:若 A? B,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件. 对点训练 (1)(2014·安徽高考)“x<0”是“ln(x+1)<0”的 ( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ) )

(2)(2015·长沙模拟)设 A,B 为两个互不相同的集合,命题 p:x∈A∩B,命题 q:x∈A

12

或 x∈B,则綈 q 是綈 p 的( A.充分且必要条件 C.必要非充分条件 【答案】 (1)B (2)B

) B.充分非必要条件 D.非充分且非必要条件

考向三 [006] 充分条件与必要条件的应用 设命题 p:2x -3x+1≤0; 命题 q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取 值范围是________.
2 2

? 1? 【答案】 ?0, ? ? 2?
规律方法 3 1.借助命题间的等价关系直接建立参数 a 的不等关系, 避免了繁琐转换计 算,将失误降到最低. 2.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然 后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解. 3.注意利用转化的方法理解充分必要条件:若綈 p 是綈 q 的充分不必要(必要不充分、 充要)条件,则 p 是 q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件. 对点训练 已知命题 p:?
? ?x+2≥0, ?x-10≤0, ?

命题 q:1-m≤x≤1+m,m>0,若 q 是 p 的必

要而不充分条件,则 m 的取值范围为________. 【答案】 [9,+∞)

易错易误之一 “条件”与“结论”颠倒黑白酿失误 —————————— [1 个示范例] —————— 下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是( A.a>b+1 C.a >b
2 2

)

B.a>b-1 D.a >b
3 3

【解析】 要求 a>b 成立的充分不必要条件,必须满足 由选项能推出 a>b,而由 a>b 推不出选项. 此处在求解中, 常误认为“由 a>b 推出选项, 而由选项推不出 a>b”而错选 B.出错的
13

原因是“分不清哪个是条件,哪个是结论”.在选项 A 中,a>b+1 能使 a>b 成立,而 a >b 时 a>b+1 不一定成立,故 A 正确;在选项 B 中 a>b-1 时 a>b 不一定成立,故 B 错 误;在选项 C 中,a >b 时 a>b 也不一定成立,因为 a,b 不一定均为正值,故 C 错误;在 选项 D 中,a >b 是 a>b 成立的充要条件,故 D 也错误. 【防范措施】 充分条件、 必要条件是相对的概念, 在进行判断时一定要注意哪个是“条 件”,哪个是“结论”,如“A 是 B 成立的??条件”,其中 A 是条件;“A 成立的??条 件是 B”,其中 B 是条件. ——————— [1 个防错练] ——————— 设集合 A={x|x +x-6=0},B={x|mx+1=0},则 B 是 A 的真子集的一个充分不必要 条件是________. 【解析】 A={-3,2},当 B=?时,B?A,此时 m=0,
? 1? 1 1 1 1 当 B≠?时,B=?- ?,则- =-3 或- =2,∴m= 或 m=- . m m 3 2 ? m?
2 3 3 2 2

故 B 是 A 的真子集的一个充分不必要条件是 m=0(答案不唯一). 【答案】 m=0(答案不唯一) 课时限时检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件 (时间:60 分钟 满分:80 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 【答案】 B 2.(2014·广州市培正中学模拟)“a=1”是“(a-1)(a-2)=0”成立的( A.充分非必要条件 C.充要条件 【答案】 A 3.有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆否命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤1,则 x +2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.
2

)

)

B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

14

其中的真命题为( A.①② 【答案】 C

) C.①③ D.③④

B.②③

4. (2013·福建高考)已知集合 A={1, a}, B={1,2,3}, 则“a=3”是“A? B”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】 A 5.“关于 x 的不等式 x -2ax+a>0 的解集为 R”是“0≤a≤1”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】 A B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

6.已知集合 A={x|x>5},集合 B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分 不必要条件,则实数 a 的取值范围是( A.a<5 C.a>5 【答案】 A 二、填空题(每小题共 5 分,共 15 分) 7.命题“若 m>0,则关于 x 的方程 x +x-m=0 有实数根”与它的逆命题、否命题、 逆否命题中,真命题的个数为________. 【答案】 2 8.设 n∈N+,一元二次方程 x -4x+n=0 有整数根的充要条件是 n=________. 【答案】 3 或 4 9. 若 p: x(x-3)<0 是 q: 2x-3<m 的充分不必要条件, 则实数 m 的取值范围是________. 【答案】 [3,+∞) 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,对命题“若 a+b≥0, 则 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论. 【解】 (1)否命题:已知函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若 a+b<0, 则 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 该命题是真命题,证明如下: ∵a+b<0,∴a<-b,b<-a. 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
15
2 2

) B.a≤5 D.a≥5

∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), 因此 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b), ∴否命题为真命题. (2)逆否命题:已知函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若 f(a)+f(b)<

f(-a)+f(-b),则 a+b<0.
真命题,可证明原命题为真来证明它. 因为 a+b≥0,所以 a≥-b,b≥-a, ∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a), ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b), 故原命题为真命题,所以逆否命题为真命题. 11.(12 分)设函数 f(x)=lg(x -x-2)的定义域为集合 A,函数 g(x)=
2

3

x

-1的定义

域为集合 B.已知 α :x∈A∩B,β :x 满足 2x+p≤0.且 α 是 β 的充分条件,求实数 p 的 取值范围. 【解】 依题意,得 A={x|x -x-2>0}=(-∞,-1)∪(2,+∞),
2

B=?x? -1≥0 ? ? ?x
∴A∩B=(2,3].

? ?

?3

? ? ?=(0,3], ? ?

设集合 C={x|2x+p≤0}, 则 x∈?-∞,- ?. 2? ? ∵α 是 β 的充分条件,∴(A∩B)? C. 则需满足 3≤- ? p≤-6. 2 ∴实数 p 的取值范围是(-∞,-6]. 12.(13 分)求证:关于 x 的方程 ax +bx+c=0 有一个根为 1 的充要条件是 a+b+c= 0. 【证明】 必要性: 若方程 ax +bx+c=0 有一个根为 1, 则 x=1 满足方程 ax +bx+c=0, ∴a+b+c=0. 充分性: 若 a+b+c=0,则 b=-a-c, ∴ax +bx+c=0 可化为 ax -(a+c)x+c=0,
16
2 2 2 2 2

?

p?

p

∴(ax-c)(x-1)=0, ∴当 x=1 时,ax +bx+c=0, ∴x=1 是方程 ax +bx+c=0 的一个根. 综上, 关于 x 的方程 ax +bx+c=0 有一个根为 1 的充要条件是 a+b+c=0.第三节 单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词 与存在量词 [考情展望] 1.以选择题的形式考查含有逻辑联结词的命题的真假.2.以选择题或填空 题的形式考查含有一个量词的命题的否定.3.与函数、方程、不等式等知识相结合,考查全 称命题或特称命题的真假.
2 2 2



一、命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p∧q
真 假 假 假

p∨q
真 真 真 假

綈p 假 假 真 真

常见词语的否定形式 = ≠ > ≤ < ≥ 是 不是 都是 不都是 至多有一个 至少两个 至少有一个 一个也没有 任意 某个 所有的 某些

正面词语 否定

二、全称量词与存在量词 1.全称量词与全称命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“? ”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称命题. (3)全称命题“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为? x∈M,p(x). 2.存在量词与特称命题

17

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“? ”表 示. (2)含有存在量词的命题,叫做特称命题. (3)特称命题“存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立”可用符号简记为? x0∈M,p(x0). 三、含有一个量词的命题的否定 命题 ? x∈M,p(x) ? x0∈M,p(x0) 命题的否定 ? x0∈M,綈 p(x0) ? x∈M,綈 p(x)

1.已知命题 p:? x∈R,sin x≤1,则( A.綈 p:? x0∈R,sin x0≥1 B.綈 p:? x∈R,sin x≥1 C.綈 p:? x0∈R,sin x0>1 D.綈 p:? x∈R,sin x>1 【答案】 C 2.若 p 是真命题,q 是假命题,则( A.p∧q 是真命题 C.綈 p 是真命题 【答案】 D 3.下列命题中为真命题的是( A.? x∈R,x +2x+1=0 B.? x0∈R,- x0-1≥0 C.? x∈N ,log2x>0 D.? x0∈R,cos x0>x0+2x0+3 【答案】 B
2 * 2 2

)

)

B.p∨q 是假命题 D.綈 q 是真命题

)

4.命题“? x0∈R,2x0-3ax0+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围为________. 【答案】 [-2 2,2 2]

2

5.(2014·安徽高考)命题“? x∈R,|x|+x ≥0”的否定是 ( A.? x∈R,|x|+x <0 C.? x0∈R,|x0|+x0<0 【答案】 C
18
2 2

2

)

B.? x∈R,|x|+x ≤0 D.? x0∈R,|x0|+x0≥0
2

2

6.(2014·重庆高考)已知命题 p:对任意 x∈R,总有|x|≥0;

q:x=1 是方程 x+2=0 的根.
则下列命题为真命题的是( A.p∧綈 q C.綈 p∧綈 q 【答案】 A ) B.綈 p∧q D.p∧q

考向一 [007] 含有逻辑联结词的命题的真假判断 (1)(2014·湖南高考)已知命题 p:若 x>y,则-x<-y;命题 q:若 x>y, 则 x >y .在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈 q);④(綈 p)∨q 中,真命题是( A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ )
2 2

)

(2)(2015·潍坊模拟)已知命题 p,q,“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】 (1)C (2)A 规律方法 1 1.“p∨q”、“p∧q”、“綈 p”形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式; (2)判断其中命题 p、q 的真假; (3)确定“p∨q”、“p∧q”、“綈 p”形式命题的真假.

B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

2.p 且 q 形式是“一假必假,全真才真”,p 或 q 形式是“一真必真,全假才假”,非

p 则是“与 p 的真假相反”.
对点训练 (1)已知命题 p: ??{0}, q: {1}∈{1,2}, 由它们构成的“p∨q”, “p∧q”, “綈 p”形式的命题中,真命题有( A.0 个 B.1 个
2

) D.3 个
2

C.2 个

(2)已知命题 p: 方程 x -mx+1=0 有实数解, 命题 q: x -2x+m>0 对任意 x 恒成立. 若 命题 q∨(p∧q)真、綈 p 真,则实数 m 的取值范围是________. 【答案】 (1)B (2)1<m<2

19

考向二 [008] 全称命题、特称命题的真假判断 下列命题中是假命题的是( )

? π? A.? x∈?0, ?,x>sin x 2? ?
B.? x0∈R,sin x0+cos x0=2 C.? x∈R,3 >0 D.? x0∈R,lg x0=0 【答案】 B 规律方法 2 1.(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合 M 中的每一个元
x

素 x,证明 p(x)成立.(2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合 M 中的一个特殊 值 x=x0,使 p(x0)不成立即可. 2.要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合 M 中,找到一个 x=x0,使 p(x0) 成立即可,否则这一特称命题就是假命题. 对点训练 (2015·潍坊模拟)下列命题中的假命题是 ( A.? x∈R,e >0 C.? x0∈R,ln x0<1 【答案】 B
x

)

B.? x∈N,x >0 π * D.? x0∈N ,sin x0=1 2

2

考向三 [009] 含有一个量词的命题的否定 写出下列命题的“否定”,并判断其真假. 1 2 (1)p:? x∈R,x -x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:? x0∈R,x0+2x0+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x0,使 x0+1=0. 1 1 2 2 【尝试解答】 (1)綈 p:? x0∈R,x0-x0+ <0,假命题,这是因为? x∈R,x -x+ = 4 4 ?x-1?2≥0 恒成立. ? 2? ? ? (2)綈 q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)綈 r: ? x∈R, x2+2x+2>0, 真命题, 这是由于? x∈R, x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0 成立. 3 3 (4)綈 s:? x∈R,x +1≠0,假命题.这是由于 x=-1 时,x +1=0.
20
3 2

规律方法 3 1.弄清命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题否定的前提. 2.要判断“綈 p”命题的真假,可以直接判断,也可以判断 p 的真假,因为 p 与綈 p 的真假相反. x 对点训练 (2014·天津高考)已知命题 p:? x>0,总有(x+1)e >1,则綈 p 为( ) A.? x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1 B.? x0>0,使得(x0+1)ex0≤1 C.? x>0,总有(x+1)e ≤1 D.? x≤0,总有(x+1)e ≤1 【答案】 B
x x

易错易误之二 命题的否定≠否命题 —————————— [1 个示范例] —————— (2013·四川高考)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题

p:? x∈A,2x∈B,则(
A.綈 p:? x∈A,2x?B C.綈 p:? x?A,2x∈B

) B.綈 p:? x?A,2x?B D.綈 p:? x∈A,2x?B

【解析】 由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得. 命题 p 是全称命题: ? x∈A,2x∈B,则綈 p 是 特称命题:? x∈A,2x?B.故选 D. 该处在求解时易出现错选 A 或 B 的情形,出错的原因有两点: (1)把命题的否定与否命题相混淆致误. (2)没有改写量词或未对结论进行否定. 【防范措施】 1.命题的否定是只否定这个命题的结论;而对于“若 p,则 q”形式的 否命题为“若綈 p,则綈 q”. 2.对于全(特)称命题的否定,书写时应从两方面着手:一是对量词或对量词符号进行 改写;二是对命题的结论进行否定.两者缺一不可. ——————— [1 个防错练] ——————— (2014·湖北高考)命题“? x∈R,x ≠x”的否定是( A.? x?R,x ≠x
2 2

) B.? x∈R,x =x
21
2

C.? x?R,x ≠x
2

2

D.? x∈R,x =x

2

【解析】 因为命题为真命题,故其否定为:? x∈R,x =x. 【答案】 D 课时限时检测(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (时间:60 分钟 满分:80 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.已知命题 p:? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则綈 p 是( A.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 【答案】 C 2.已知命题 p:? x∈R,sin x=1;命题 q:? x∈R,x +1<0,则下列结论正确的是 ( ) A.p 是假命题 C.q 是真命题 【答案】 B 3.下列命题既是全称命题,又是真命题的个数是( (1)对数函数都是单调函数; (2)至少有一个整数,它既能被 2 整除,又能被 5 整除; (3)对于任意的无理数 x,x 是无理数; (4)存在一整数 x,使得 log2x>0. A.1 【答案】 A 4.下列命题中,真命题是( A.? x0∈R,ex0≤0 B.? x∈R,2 >x
x
2 2 2

)

B.綈 p 是假命题 D.綈 q 是假命题

)

B.2

C.3

D.4

)

C.a+b=0 的充要条件是 =-1 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 【答案】 D 5.(2013·课标全国卷Ⅰ)已知命题 p:? x∈R,2 <3 ;命题 q:? x∈R,x =1-x , 则下列命题中为真命题的是( )
x x
3 2

a b

22

A.p∧q C.p∧綈 q 【答案】 B

B.綈 p∧q D.綈 p∧綈 q

6.已知 a>0,函数 f(x)=ax +bx+c,若 x1 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选 项的命题中为假命题的是( A.? x0∈R,f(x0)≤f(x1) B.? x0∈R,f(x0)≥f(x1) C.? x∈R,f(x)≤f(x1) D.? x∈R,f(x)≥f(x1) 【答案】 C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.命题:“对任意 k>0,方程 x +x-k=0 有实根”的否定是________. 【答案】 存在 k>0,方程 x +x-k=0 无实根 8.若命题“? x∈R,ax -ax-2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 【答案】 [-8,0] 9.已知命题 p:? m∈R,m+1≤0,命题 q:? x∈R,x +mx+1>0 恒成立.若 p∧q 为假命题,则实数 m 的取值范围为________. 【答案】 (-∞,-2]∪(-1,+∞) 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知命题 p:关于 x 的方程 x +2x+a=0 有实数解,命题 q:关于 x 的不等 式 x +ax+a>0 的解集为 R,若(綈 p)∧q 是真命题,求实数 a 的取值范围. 【解】 因为(綈 p)∧q 是真命题. 所以綈 p 和 q 都为真命题, 即 p 为假命题且 q 为真命题. ①若 p 为假命题,则 Δ 1=4-4a<0,即 a>1. ②若 q 为真命题,则 Δ 2=a -4a<0, 所以 0<a<4. 由①②知,实数 a 的取值范围是{a|1<a<4}. 11.(12 分)已知命题 p:方程 a x +ax-2=0 上[-1,1]有解;命题 q:只有一个实数 x 满足不等式 x +2ax+2a≤0.若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围. 【解】 ∵方程 a x +ax-2=(ax+2)(ax-1)=0 有解, 2 1 显然 a≠0,∴x=- 或 x= .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

)

a

a

?2? ?1? ∵x∈[-1,1],故? ?≤1 或? ?≤1,∴|a|≥1, ?a? ?a?
23

只有一个实数满足 x +2ax+2a≤0,即抛物线 y=x +2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ =4a -8a=0, ∴a=0 或 a=2. ∴命题 p 或 q 为真命题时,|a|≥1 或 a=0, ∵命题 p 或 q 为假命题,∴a 的取值范围为{a|-1<a<0 或 0<a<1}. 1 ?1 ? x 12.(13 分)已知 c>0,设命题 p:函数 y=c 为减函数.命题 q:? x∈? ,2?,x+ > x ?2 ?
2

2

2

c.如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 c 的取值范围.

? 1? 【解】 若命题 p 为真,则 0<c<1.若命题 q 为真,则 c<?x+ ?min, ?
x?
1 5 ?1 ? 又当 x∈? ,2?时,2≤x+ ≤ , x 2 ?2 ? 则必须且只需 2>c,即 c<2. 因为 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题, 所以 p、q 必有一真一假.
? ?0<c<1, 当 p 为真,q 为假时,? ?c≥2, ?

无解;

当 p 为假,q 为真时,?

?c≥1, ? ?c<2, ?

所以 1≤c<2.

综上,c 的取值范围为[1,2).

24


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