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李炜


等比数列的前n项和(1)

人几粒麦就 什么样的 搞定. 赏赐?

每个格子里放 的麦粒数都是 前一个格子里 陛下赏小 放的的2倍, 你想得到 直到第64个格 子



OK

?
请问:国王需准备多少麦粒才能满足发明者的要求? 他能兑现自己的诺言吗?

上述问题实际上是求1,2,4,8‥‥263 这个等比数列的和.
令S64=1 +2+4+8+ ‥‥ ‥+263, 2S64= 2+4+8+ ‥‥ ‥+263
② -① 得S64= 264-1. ①

+ 264 ,



错位相减

当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时, 国王才发现:就是把全印度甚至全世界的麦粒 全拿来,也满足不了那位宰相的要求. 那么,宰相要求得到的麦粒到底有多少呢?

1? 2 ? 2 ? 2
1 2
64

3

?2

63

1? (1 ? 2 ) 64 ? ? 2 ?1 1? 2
= 18446744073709551615(粒).

等比数列的前n项和

想一想
设等比数列 ?an ? 公比为 q ,它的前n项 和 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ,如何用 a1 , q, n 或 an 来表示 S ?
n

问题探究
qq nn aa } 等比数列 , 公比为 ,它的前 项和 等比数列{{ , 公比为 ,它的前 项和 n} n

错位相减法1

2 n?2 n?1 a q ? S ? a a q a q ? ? ? ? a q ? 1 ?1 1a Snn ? a 1 a2 ? 3 ???1 an ?1 ?1an,

错位相减法2

? ? n ? ( 1 ? q ) S ? a ? a q ?(1 ? q)S n? a 1 ?a 1 q.
2

qS qSnn ? ?

2 n?1 n?2 n a1 q a q a q a q ? ? a q ? ? ? ? 1 q, a ?1 a ? 1 a 1 a a

3

n ?1

?

n

?

n

当 时 11 当qq? 时, ?

n

1

n a1a (1 ? q )q ? a s ? 当 时 1 n 1 n 当qq? 时 , ?1 Sn ? 1 . ?q

s 1 , Snn ? ?na na 1

n

1? q

? 判断是非

5(1 ? 1 ) 5 ? 5 ? 5 ??? 5 ? ?0 1 ?1
n

1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ??? (?2)

n个

n?1

?

1 ? (1 ? 2 2 ) 1 ? (?2)
n n+1

n n

n (? 2)

1 ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2
2 3

n

1 ? (1 ? 2 ) ? 1? 2

? 试一试:

? 类比等差数列前n项和的性质,推 导等比数列前n项和具有的性质.

? 等差数列{an}中,Sn为其前n项和 ,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…仍 成等差数列. ? 在等比数列中,Sn为其前n项和 ,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…也 n 成等比数列,其公比为q (q≠- 1).

? 想一想:等比数列前n项和Sn与函 数有何关系?
n

a1?1-q ? (3)当 q≠1 时, 前 n 项和公式 Sn= 变为 1-q

a1 n a1 Sn=- q + , 式子是由一个指数式与一 1-q 1-q
n

个常数的和构成,且指数式的系数与常数项互

为相反数,公式写成 Sn=aq -a(a≠0,q≠0,n 是否是等比数列.

∈N+),由此可以根据前 n 项和公式判断某数列

1 n 练习3:在等比数列{an}中,Sn=k-( ) ,则实数k的值 2 为( B ) 3 1 (A) (B)1 (C) ( D)任意实数 4 2

合作探究

a1 (1 ? q n ) a1 a1 解法2:易知q ? 1, Sn ? ? ? ? q n, 1? q 1? q 1? q a1 令 ? A,则Sn ? A ? A ? q n . 1? q

1 1 1 解法1:a1 ? S1 ? k ? , a2 ? S 2 ? S1 ? , a3 ? S3 ? S 2 ? , 2 4 8 1 1 1 2 1 2 又a1 ? a3 ? a2 ,即(k ? ) ? ? ( ) ,解得k ? . 2 8 4 2

? 想一想:等比数列前n项和Sn 与函数有何关系?
提示 a1-a1qn 在等比数列的前 n 项和公式中 Sn= ,令 1-q

- a1 =A,则 Sn=Aqn-A,从函数角度看 Sn 的图象过原点, 1-q 可将指数函数 qn 的图象纵坐标变为原来的 A 倍, 再上下平移 |A|个单位(A>0 时向下,A<0 时向上)得到.

2.等比数列前 n 项和的性质 (1)等比数列{an}前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n -Sn,S3n-S2n 成等比数列(当 q=-1,n 为偶 数时,上述性质不成立).

? 题型二 等比数列前n项和性质的应用 ? 【例2】 各项均为正数的等比数列{an}中,若 S10=10,S20=30,求S30. ? [思路探索] 利用等比数列前n项和公式或性质 求解.



法一

设{an}的公比为 q,显然 q≠1.

10 a ? 1 - q ? ? ?10= 1 1-q ? 由已知条件可列出方程组? 20 a ? 1 - q ? 1 ? 30= ? 1-q ?

,两式作商得 1

+q10=3, ∴q10=2, a1?1-q30? a1?1-q10? ∴S30= = (1+q10+q20) 1- q 1-q =10×(1+2+4)=70.

? 题型二 等比数列前n项和性质的应用 ? 【例2】 各项均为正数的等比数列{an}中,若 S10=10,S20=30,求S30..

? 法二 ∵S10,S20-S10,S30-S20成等 比数列, ? 而S10=10,S20=30, ? ∴(S20-S10)2=S10·(S30-S20),
? 即(30-10)2=10×(S30-30),∴S30= 70.

S6 S9 【变式 2】 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 S3 S6 =( ). A.2 7 B. 3 8 C. 3 D.3

解析 S9=7S3,

:S3,S6-S3,S9-S6 仍成等比

数列, 于是, S6=3S3, 可推出 S9-S6=4S3, S9 7 ∴ = .故选 B. S6 3

? 3.等比数列前n项和公式的推导与 错位相减法
? 对于形如{xn· yn}的数列的和,其中{xn}是 等差数列,{yn}是等比数列,都可以用错 位相减法求和.

题型三

错位相减法求和
2

【例 3】 已知等差数列{an}的通项公式为 an=4n-2,等 an 比数列{bn}的通项公式为 bn= n-1,设 cn=b ,求数列{cn}的 4 n 前 n 项和 Tn.

? 审题指导 本题主要考查错位相减法求和的基 本做法及运算.
【解题流程】 写出数列Cn的通项 → 和式Tn= C1+C2+…+Cn

→ 乘公比q,错位相减 → 化简整理Tn

2n-1 【变式 3】 求数列{ n }的前 n 项和 Sn. 2



2n-1 1 3 5 ∵Sn= + 2+ 3+…+ n ,① 2 2 2 2

2n-3 2n-1 1 1 3 ∴ Sn= 2+ 3+…+ n + n+1 ,② 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2n-1 ∴①-②得 Sn= + 2+ 3+…+ n- n+1 . 2 2 2 2 2 2
? 1 1 1 ? ? ? 2n-1 ∴Sn=1+?1+2+22+…+2n-2?- n 2 ? ?

1 n-1 1×[1-? ? ] 2n-1 2n+3 2 =1+ - n =3- n . 1 2 2 1- 2

题型一 等比数列基本量的运算 【例 1】 在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求 Sn; 5 (2)a1+a3=10,a4+a6= ,求 S5; 4 (3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求 q.

题型一

等比数列基本量的运算

【例 1】 在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求 Sn;

?a ?1+q?=30, ? 1 (1)由题意知? 2 ? a ? 1 + q + q ?=155, ? 1

?a =5, ? 1 解得? ? ?q=5

?a1=180, ? 或? 5 ?q=-6, ?

1 5 n+1 从而 Sn= ×5 - 或 Sn= 4 4

1

? ? 5? ? ? ?n? - 080×?1-? ? 6? ? ? ? ? ?

11

.

题型一

等比数列基本量的运算

【例 1】 在等比数列{an}中, 5 (2)a1+a3=10,a4+a6= ,求 S5; 4
2 ? ?a1+a1q =10, ? 由题意知? 5 ?a q3+a q5= , 1 1 ? 4 ?

(2)法一

? ?a1=8, ? 解得? 1 ?q= , ? 2 ?

a1?1-q ? 31 从而 S5= = . 2 1-q

5

题型一

等比数列基本量的运算

【例 1】 在等比数列{an}中, 5 (2)a1+a3=10,a4+a6= ,求 S5; 4
法二 1 从而 q= . 2 又 a1+a3=a1(1+q2)=10,所以 a1=8, a1?1-q5? 31 从而 S5= = . 2 1- q 1 由(a1+a3)q =a4+a6,得 q = , 8
3 3

【例 1】 在等比数列{an}中, (3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求 q.

(3) a2an-1=a1an=128, a1,an 是方程 x -66x+128=0 的两根.
? ?a1=2, 从而? ? ?an=64 ? ?an=2, 或? ? ?a1=64.
2

a1-anq 又 Sn= =126, 1-q
?q=2, ? ? ? ?n=6

? 1 ?q= , 2 或? ?n=6, ?

1 所以 q 为 2 或 . 2

1 1 1 例2 求等比数列 2 , 4 , 8 ,? 的第5项到第10项的和.

【解法1】此等比数列的第5项到第10项构成 1 一个 首项是 a ? 15 公比为 q ? 5
2

2

,项数 n ? 6 的等比数列
1 1 (1 ? 6 ) 5 1 1 2 2 S? ? 4 ? 10 1 2 2 1? 2

63 ? 1024

【解法2】 a5 ? ?? a9 ? a10

? S10 ? S4
1 1 1 1 (1 ? 10 ) (1 ? 4 ) 2 ?2 2 ?2 1 1 1? 1? 2 2

1 1 63 ? 4 ? 10 ? 1024 2 2

? 误区警示 忽视对公比q=1的情况讨论 ? 【示例】 已知等比数列{an}中,a3=4,S3= 12,求数列{an}的通项公式.
[错解] 设等比数列的公比为 q, ?a3=a1q2=4, ? a1?1-q3? 则? S3 = =12, ? 1 - q ? 所以 an=a3q
n-3

1 解得 q=-2.

? 1? - ? 1? - n 3 ?- ? ?- ? n 5 . =4· = ? 2? ? 2?

求解等比数列问题中漏掉了 q=1 这一情况, 直接把 q 当作非常数列.

[正解] 当 q=1 时,a3=4,a1=a2=a3=4, S3=a1+a2+a3=12,∴q=1 符合题意.an=4. ?a3=a1q2=4, ? a1?1-q3? 当 q≠1 时,? S3= =12, ? 1 - q ?
? 1? - 1 n-3 解得:q=-2,an=a3q =?-2?n 5 ? ?

故数列通项公式为 an=4 或

a1?1-qn? 等比数列前 n 项和公式 Sn= , 应用的前提 1-q 条件是 q≠1,若 q=1 则 Sn=na1,在应用前 n 项和公式时,要分 q=1 和 q≠1 两种情况讨论.

? 1? - an=?-2?n 5. ? ?

小结
q≠1,q=1 分类讨论

有了这样一个公式, 我们可以解决哪些问题? 需注意什么?



? a1 (1 ? q n ) ,q ? 1, ? 或 Sn ? ? 1 ? q ?na ,q ? 1. ? 1

? a1 ? an q ,q ? 1, ? Sn ? ? 1 ? q ?na ,q ? 1. ? 1

知三求二

思考

你还有其他方法去推导等比 数列前n项和公式吗

方法拓展
等比数列 {an },公比为 q ,它的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? an?1 ? an,

累加法

? a2 ? a1q, a3 ? a2 q,

?

a4 ? a3q, ? an ? an?1q,

?a 2 ?a3 ? ?? an ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ).
? Sn ? a1 ? q(Sn ? an ). ? (1 ? q)Sn ? a1 ? an q.

??

方法拓展1
提取公比法1
等比数列 {an },公比为 q ,它的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? an?1 ? an
2 n ?2 n?1 Sn ? a1 ? a1 q ? a q ? ? a q ? a q ? ? ? a q ? a q 2 n? n?11 1 1 12
n?3 n ?2 ? a ? q ( a ? a q ? ? ? a q ? a q )?1 ) ?1 a1 ? q1(a1 1? a2 ? ? 1 ? an?21? an

提取公比法2

n?1 a? ? ?? a1 S ?)a (q , ) Sn(? a q 1q n 1n

n ? ( 1 ? q ) S ? a ? a q ?(1 ? q) an n Sn ? 1 a1 1 ?.

? ? ??

方法拓展2
an a2 a3 ? ? ??? ? q, a1 a2 an?1
利用等 比定理

n为奇数,q 为-1时此 法不适用

a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ? ? q. a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ?1 S n ? a1 ? q. 即 S n ? an

?(1 ? q)Sn ? a1 ? an q.

??

课后思考

已知在等比数列?an ?中,S30 ? 13S10 ,
S10 ? S30 ? 140, 则S20 ? ______.


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