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解析版北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末高二数学(文)试卷及答案


北京市西城区 2014—2015 学年度第一学期期末试卷

高二数学 2015.1
(文科)
试卷满分:150 分考试时间:120 分钟

三 题号 分数 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的. 1.圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 1的圆心为() A. (0,1) 答案:B
2 解析:圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 1的标准方程是 x ? ? y ? 1? ? 2 ,∴圆心是 (0, ?1) 2



二 17 18 19 20 21 22

本卷总分

B. (0, ?1)

C. (0, 2)

D. (0, ?2)

2.椭圆 x ?
2

y2 ? 1的离心率为() 4
B.

A. 答案:B

5 2

3 2

C. 5

D. 3

解析:根据椭圆方程可知其 a ? 2, b ? 1 ? c ? 3 所以 e ?

c 3 ? a 2

3.双曲线

x2 ? y 2 ? 1的渐近线方程为() 2
B. y ? ?

A. y ? ?2 x 答案:D 解析:双曲线

1 x 2

C. y ? ? 2 x

D. y ? ?

2 x 2

b x2 y 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程是 y ? ? x 故选 D 2 a a b

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4.已知 m, n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是() A.若 m // ? , n // ? , 则 m // n C.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n B.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? D.若 m // ? , m ? n ,则 n ? ?

答案:C 解析:A 中直线 m, n 可以异面;B 中直线 n 可以在平面 ? 上;D 中直线 n 不一定垂直平 面 ? 。C 满足线面垂直的性质
2 5.命题“ ?a, b ? R ,如果 a ? b ,则 a ? ab ”的否命题为() 2 A. ?a, b ? R ,如果 a ? ab ,则 a ? b 2 B. ?a, b ? R ,如果 a ? ab ,则 a ? b
2 C. ?a, b ? R ,如果 a ? ab ,则 a ? b 2 D. ?a, b ? R ,如果 a ? b ,则 a ? ab

答案:D 解析:考查否命题的概念,注意条件与结论均要进行否定。 6.圆 x2 ? y 2 ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 的位置关系是() A.相离 答案:D 解析:.圆 x ? y ? 2 半径为 2 圆心为原点;圆 x ? y ? 4 y ? 3 ? 0 半径为 1,圆心
2 2 2 2

B.外切

C.内切

D.相交

为 ? 0, ?2? 圆心距为 2,因为 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 故两圆相交 7.“四边形 ABCD 为菱形”是“四边形 ABCD 中 AC ? BD ”的() A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案:A 解析:如果四边形 ABCD 为菱形,则对角线 AC , BD 必然垂直;反之不然。故选 A 8.已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? (a ? 1) y ? a2 ? 1 ? 0 平行,则实数 a 的值 为() A. ? 1 答案:A 解析:因为两直线平行,故有 a ? a ?1? ? 2 ? 0 ? a ? 2or ?1 。当 a ? 2 时,两直线方 程均为 x ? y ? 3 ? 0 ,不满足题意,故选 A 9.如图所示,汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反
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B. 2

C. ? 1 和 2

D.

2 3

光镜的轴垂直,灯泡位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径是 24cm,灯深 10cm,那么灯 泡与反光镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离为()

24cm

10cm

A.10cm

B.7.2cm

C.3.6cm

D.2.4cm

答案:C 解析:由题,以反光镜顶点,灯口中心,灯口上顶点所在平面为截面,如 图所示

易知抛物线方程为 y ?
2

72 ? 18 ? x 焦点坐标为 ? , 0 ? 故那 5 ?5 ?

么灯泡与反光镜的顶点的距离为 3.6cm

P 为棱 AB 的中点, M 为面 10. 如图,在边长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
, BCC1B1 上的点.一质点从点 P 射向点 M ,遇正方体的面反射(反射服从光的反射原理) 反射到点 D1 .则线段 PM 与线段 MD1 的长度和为() D1 A1 B1 M D A P A. 15 答案:C 解 析 : 以 BCC1B1 为 镜 面 , 做 出 点 P 的 镜 像 P? , 如 图 所 示 , B B. 4 C. 17 D. 3 2 C C1

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则所求长度之和相当于 D1P ? 17 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 11.抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程为. 答案: x ? ?1 解析:考查准线的概念,抛物线 y 2 ? 2 px 的准线为 x ? ? 12.命题“ ?x ? R, x ? 2x ? 0 ”的否定是.
2

p 2

答案: ?x ? R, x2 ? 2 x ? 0 解析:考查命题的否定的概念 13.右图是一个四棱锥的三视图,则该四棱锥的体积为.
2 2 2

正 (主) 视图
2

侧(左)视图

俯视图

答案:

8 3 8 3

解析:由三视图可知此四棱锥高为 2,底面积为 4,故体积为

14.圆心在直线 y ? x 上,且与 x 轴相切于点 (2, 0) 的圆的方程为. 答案: ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 解析:因为圆与 x 轴相切于点 (2, 0) ,故过点 (2, 0) 做 x 轴垂线,交直线 y ? x 于 (2, 2) 可 知圆心为 (2, 2) ,半径为 2,故所求方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4

y2 ? 1 的一个焦点,则点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距 15.已知 F 为双曲线 C : x ? 4
2

离为. 答案:2
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解析:双曲线 C : x ?
2

y2 ? 1 的焦点为 4

?

5 , 0 渐近线为 y ? ?2 x 故所求距离为 2

?

16.“降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态(经融化后)降水,未经蒸发、渗 透、流失而在水平面上积聚的深度.降水量以 mm 为单位.为了测量一次降雨的降水量, 一个同学使用了如图所示的简易装置:倒置的圆锥.雨后,用倒置的圆锥接到的雨水的数 据如图所示,则这一场雨的降水量为 1 mm .

24mm

12mm

答案:1 解析:由图可知,降雨收集的截面为圆锥底面 S,则降水量 V ? S ? h ,又因为现有雨水 量是 ?

1? 1 ? S ? ?12 ? S 故降水量为 1mm 3? 4 ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 13 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形, AD? 平面 ABE , ?AEB? 90 , F 为 CE 上的点.
o

(Ⅰ)求证: AD // 平面 BCE ; (Ⅱ)求证: AE ? BF . D C

F A E 答案:证明略 B

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D

C

F A E B

解析:

(Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 为矩形,

所以 AD // BC .??????2 分 又因为 BC ? 平面 BCE ,

AD ? 平面 BCE ,??????4 分
所以 AD // 平面 BCE .??????5 分 (Ⅱ)证明:因为 AD ? 平面 ABE , AD // BC , 所以 BC ? 平面 ABE ,则 AE ? BC .??????7 分 又因为 ?AEB ? 90 ,
o

所以 AE ? BE .??????9 分 所以 AE ? 平面 BCE .??????11 分 又 BF ? 平面 BCE ,??????12 分 所以 AE ? BF .??????13 分

18.(本小题满分 13 分) 已知△ ABC 三个顶点的坐标分别为 A(0, 0) , B(4, 0) , C (3,1) . (Ⅰ)求△ ABC 中 AC 边上的高线所在直线的方程; (Ⅱ)求△ ABC 外接圆的方程.

答案: (Ⅰ) 3x ? y ? 12 ? 0 (Ⅱ) x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0
2 2

解析: (Ⅰ)因为 A(0, 0) , C (3,1) ,所以直线 AC 的斜率为 k ?

1 ,??????2 分 3

又 AC 边上的高所在的直线经过点 B(4, 0) ,且与 AC 垂直, 所以所求直线斜率为 ?3 ,??????4 分 所求方程为 y ? 0 ? ?3( x ? 4) ,
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即 3x ? y ? 12 ? 0 .??????5 分 (Ⅱ)设△ ABC 外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,??????6 分 因为点 A(0, 0) , B(4, 0) , C (3,1) 在圆 M 上,则

?F ? 0 , ? 2 ??????9 分 ?4 ? 4 D ? F ? 0, ?32 ? 12 ? 3D ? E ? F ? 0. ? 解得 D ? ?4 , E ? 2 , F ? 0 .??????12 分 所以△ ?ABC 外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 .??????13 分

19.(本小题满分 14 分) 如图,已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? BC , E 为 AC 中点. (Ⅰ)求证: AB1 // 平面 BC1 E ; (Ⅱ)求证:平面 BC1 E ? 平面 ACC1 A1 . A E C

B

A1

C1 B1

答案:证明略 解析: (Ⅰ)证明:连结 CB1 ,与 BC1 交于点 F ,连结 EF .??????1 分 A E C

B F A1 C1 B1 所以四边形 BCC1 B1 是矩形, 点 F 是 B1C 中点.??????3 分 又 E 为 AC 中点,所以 EF // AB1 .????5 分 因为 EF ? 平面 BC1 E ,
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因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,

AB1 ? 平面 BC1 E ,
所以 AB1 // 平面 BC1 E .??????7 分 (Ⅱ)证明:因为 AB ? BC , E 为 AC 中点, 所以 BE ? AC .??????9 分 又因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1 ? 底面 ABC ,从而 CC1 ? BE .??????11 分 所以 BE ? 平面 ACC1 A1 .??????12 分 因为 BE ? 平面 BC1E ,??????13 分 所以平面 BC1 E ? 平面 ACC1 A1 .??????14 分 20.(本小题满分 13 分) 如图, A, B 是椭圆 W : 点C . (Ⅰ)当 AC 的斜率为

x2 ? y 2 ? 1 的两个顶点,过点 A 的直线与椭圆 W 交于另一 3

? 时,求线段 AC 的长; 3

(Ⅱ)设 D 是 AC 的中点,且以 AB 为直径的圆恰过点 D .求直线 AC 的斜率. y B C x

O A

D

10 3 (Ⅱ) k ? ? 2 3 解析: (Ⅰ)由已知 A(0, ?1) , ? 直线 AC 的方程为 y ? x ? 1 .??????1 分 3 ? ? y ? x ? 1, ? ? 3 2 由? 2 得 2 x ? 3x ? 0 ,??????2 分 ? x ? y2 ? 1 ? ?3 3 解得 x ? 或 x ? 0 (舍) ,??????3 分 2 3 1 所以点 C 的坐标为 ( , ? ) ,??????4 分 2 2 3 2 1 10 2 所以 AC ? ( ) ? (? ? 1) ? .??????5 分 2 2 2 (Ⅱ)依题意,设直线 AC 的方程为 y ? kx ? 1 , k ? 0 .
答案: (Ⅰ) AC ?
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? y ? kx ? 1, ? 由 ? x2 得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kx ? 0 ,??????7 分 2 ? ? y ?1 ?3 6k 解得 x ? 2 或 x ? 0 (舍) ,??????8 分 3k ? 1 6k 所以点 C 的横坐标为 2 , 3k ? 1 3k 设点 D 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? ,??????9 分 3k 2 ? 1 ?1 y0 ? kx0 ? 1 ? 2 ,??????10 分 3k ? 1 因为以 AB 为直径的圆恰过点 D ,所以 OD ? 1 , 3k 2 ?1 ) ? ( 2 ) 2 ? 1 .??????11 分 即( 2 3k ? 1 3k ? 1 ? 2 整理得 k ? ,??????12 分 3 3 所以 k ? ? .??????13 分 3
21.(本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PCD ? 平面 ABCD ,且

PD ? PC ? BC ? 3 , CD ? 3 2 , E 为 PB 中点.
P

D A

E

· M
B

C

(Ⅰ)求三棱锥 P ? BCD 的体积; (Ⅱ)求证: CE ? 平面 PBD ; (Ⅲ)设 M 是线段 CD 上一点,且满足 DM ? 2 MC ,试在线段 PB 上确定一点 N ,使 得 MN // 平面 PAD ,并求出 BN 的长. 答案(Ⅰ) :V ?

9 (Ⅱ)略(Ⅲ) BN ? 2 2
o

解析: (Ⅰ)解:由已知 PD ? PC ? 3 , CD ? 3 2 可知, △ PCD 是等腰直角三角形, ?CPD ? 90 .??????1 分 因为平面 PCD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为矩形, BC ? CD , 所以 BC ? 平面 PCD .??????2 分 三棱锥 P ? BCD 的体积

1 1 1 9 V ? S?PCD ? BC ? ? ( PC ? PD) ? BC ? .??????4 分 3 3 2 2
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(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, BC ? 平面 PCD ,所以 BC ? PD . 因为 ?CPD ? 90 ,即 PD ? PC , 所以 PD ? 平面 PBC .??????5 分
o

因为 CE ? 平面 PBC , 所以 PD ? CE .??????6 分 因为 PC ? BC , E 为 PB 中点, 所以 CE ? PB ,??????7 分 因为 PD I PB ? P , 所以 CE ? 平面 PBD .??????8 分 ( Ⅲ ) 解 : 在 面 PCD 上 , 过 P F

M



MF // PD 交 PC



D A

E N

· M
B

C

F.

在面 PBC 上,过 F 作 FN // BC 交 PB 于 N ,连结 MN .??????9 分 因为 MF // PD , MF ? 平面 PAD , PD ? 平面 PAD , 所以 MF // 平面 PAD . 因为 FN // BC // AD , FN ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD , 所以 FN // 平面 PAD . 所以平面 MNF // 平面 PAD .??????10 分 从而, MN // 平面 PAD .??????11 分 由所作可知,△ CMF 为等腰直角三角形, CM ? 2 , 所以 CF ? 1 , PF ? 2 .??????12 分 △ PNF ,△ PBC 均为等腰直角三角形,所以 PN ? 2 2 , PB ? 3 2 . 所以 N 为线段 PB 上靠近点 B 的三等分点,且 BN ?

2 .??????13 分

22.(本小题满分 14 分) 已知 A, B 是抛物线 y ? 4 x 上的不同两点,弦 AB (不平行于 y 轴)的垂直平分线
2

与 x 轴交于点 P . (Ⅰ)若直线 AB 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,求 A, B 两点的纵坐标之积;
2

(Ⅱ)若点 P 的坐标为 (4, 0) ,弦 AB 的长度是否存在最大值?若存在,求出其最大值; 若不存在,请说明理由 答案: (Ⅰ)-4(Ⅱ) AB 的最大值为 6
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解析: (Ⅰ)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F (1, 0) ,??????1 分 依题意,设直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) ,其中 k ? 0 .??????2 分 将x ?

y2 y2 ? 1) , 代入直线方程,得 y ? k ( 4 4

整理得 ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0 ,??????4 分 所以 y A yB ? ?4 ,即 A, B 两点的纵坐标之积为 ?4 .??????5 分 (Ⅱ)设 AB : y ? kx ? b(k ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 由?

? y 2 ? 4 x, ? y ? kx ? b
2 2

得 k 2 x2 ? (2kb ? 4) x ? b2 ? 0 .??????6 分

由 ? ? 4k b ? 16 ? 16kb ? 4k b ? 16 ? 16kb ? 0 ,得 kb ? 1 .??????7 分
2 2

所以 x1 ? x2 ?

4 ? 2kb b2 x x ? , .??????8 分 1 2 k2 k2

设 AB 中点坐标为 ( x0 , y0 ) ,

x1 ? x2 2 ? kb 2 ? , y0 ? kx0 ? b ? ,??????9 分 2 2 k k 2 1 2 ? kb ), 所以弦 AB 的垂直平分线方程为 y ? ? ? ( x ? k k k2 2 ? kb 令 y ? 0 ,得 x ? 2 ? .??????10 分 k2 2 ? kb ? 4 ,即 2k 2 ? 2 ? kb .??????11 分 由已知 2 ? k2
则 x0 ?

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 (
? 4 1? k 1 ? kb 2k 2 ? 1 2 ? 4 1? k k4 k4

4 ? 2kb 2 4b2 ) ? 2 k2 k

2

?4

1 1 2k 4 ? k 2 ? 1 ? 4 ?( 2 )2 ? 2 ? 2 ?????12 分 4 k k k


1 1 ? ,即 k ? ? 2 时, AB 的最大值为 6 .??????13 分 k2 2

当k ?

2 时, b ? ? 2 ;当 k ? ? 2 时, b ? 2 .均符合题意.

所以弦 AB 的长度存在最大值,其最大值为 6 .??????14 分

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高二数学(文科)参考答案及评分标准 2015.1
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1.B2.B3.D4.C5.D6.D7.A8.A9.C10.C 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 11. x ? ?1 12. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 0 13. 14. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 15. 2 16. 1

8 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 17.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 为矩形, 所以 AD // BC .??????2 分 又因为 BC ? 平面 BCE , F A E B D C

AD ? 平面 BCE ,??????4 分
所以 AD // 平面 BCE .??????5 分 (Ⅱ)证明:因为 AD ? 平面 ABE , AD // BC ,

所以 BC ? 平面 ABE ,则 AE ? BC .??????7 分 又因为 ?AEB ? 90 ,
o

所以 AE ? BE .??????9 分 所以 AE ? 平面 BCE .??????11 分 又 BF ? 平面 BCE ,??????12 分 所以 AE ? BF .??????13 分 18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 A(0, 0) , C (3,1) ,所以直线 AC 的斜率为 k ?
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1 ,??????2 分 3
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又 AC 边上的高所在的直线经过点 B(4, 0) ,且与 AC 垂直, 所以所求直线斜率为 ?3 ,??????4 分 所求方程为 y ? 0 ? ?3( x ? 4) , 即 3x ? y ? 12 ? 0 .??????5 分 (Ⅱ)设△ ABC 外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,??????6 分 因为点 A(0, 0) , B(4, 0) , C (3,1) 在圆 M 上,则

?F ? 0 , ? 2 ??????9 分 ?4 ? 4 D ? F ? 0, ?32 ? 12 ? 3D ? E ? F ? 0. ? 解得 D ? ?4 , E ? 2 , F ? 0 .??????12 分
所以△ ?ABC 外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 .??????13 分

19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连结 CB1 ,与 BC1 交于点 F ,连结 EF .??????1 分 因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, 所以四边形 BCC1 B1 是矩形, 点 F 是 B1C 中点.??????3 分 又 E 为 AC 中点,所以 EF // AB1 .????5 分 因为 EF ? 平面 BC1 E , B F A1 C1 B1 A E C

AB1 ? 平面 BC1 E ,
所以 AB1 // 平面 BC1 E .??????7 分 (Ⅱ)证明:因为 AB ? BC , E 为 AC 中点, 所以 BE ? AC .??????9 分 又因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,

所以 CC1 ? 底面 ABC ,从而 CC1 ? BE .??????11 分 所以 BE ? 平面 ACC1 A1 .??????12 分 因为 BE ? 平面 BC1E ,??????13 分 所以平面 BC1 E ? 平面 ACC1 A1 .??????14 分 20.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知 A(0, ?1) , 直线 AC 的方程为 y ?

? x ? 1 .??????1 分 3

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? ? y ? x ? 1, ? ? 3 2 由? 2 得 2 x ? 3x ? 0 ,??????2 分 ? x ? y2 ? 1 ? ?3 3 解得 x ? 或 x ? 0 (舍) ,??????3 分 2 3 1 所以点 C 的坐标为 ( , ? ) ,??????4 分 2 2 3 2 1 10 2 所以 AC ? ( ) ? (? ? 1) ? .??????5 分 2 2 2 (Ⅱ)依题意,设直线 AC 的方程为 y ? kx ? 1 , k ? 0 . ? y ? kx ? 1, ? 由 ? x2 得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kx ? 0 ,??????7 分 2 ? ? y ?1 ?3 6k 解得 x ? 2 或 x ? 0 (舍) ,??????8 分 3k ? 1 6k 所以点 C 的横坐标为 2 , 3k ? 1 3k 设点 D 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? ,??????9 分 3k 2 ? 1 ?1 y0 ? kx0 ? 1 ? 2 ,??????10 分 3k ? 1 因为以 AB 为直径的圆恰过点 D ,所以 OD ? 1 ,
3k 2 ?1 ) ? ( 2 ) 2 ? 1 .??????11 分 2 3k ? 1 3k ? 1 ? 2 整理得 k ? ,??????12 分 3 3 所以 k ? ? .??????13 分 3
即( 21.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由已知 PD ? PC ? 3 , CD ? 3 2 可知, △ PCD 是等腰直角三角形, ?CPD ? 90 .??????1 分
o

因为平面 PCD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为矩形, BC ? CD , 所以 BC ? 平面 PCD .??????2 分 三棱锥 P ? BCD 的体积

1 1 1 9 V ? S?PCD ? BC ? ? ( PC ? PD) ? BC ? .??????4 分 3 3 2 2
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, BC ? 平面 PCD ,所以 BC ? PD .
o 因为 ?CPD ? 90 ,即 PD ? PC ,

所以 PD ? 平面 PBC .??????5 分
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P
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D

E N

F

· M

C

因为 CE ? 平面 PBC , 所以 PD ? CE .??????6 分 因为 PC ? BC , E 为 PB 中点, 所以 CE ? PB ,??????7 分 因为 PD I PB ? P , 所以 CE ? 平面 PBD .??????8 分 (Ⅲ)解:在面 PCD 上,过 M 作 MF // PD 交 PC 于 F . 在面 PBC 上,过 F 作 FN // BC 交 PB 于 N ,连结 MN .??????9 分 因为 MF // PD , MF ? 平面 PAD , PD ? 平面 PAD , 所以 MF // 平面 PAD . 因为 FN // BC // AD , FN ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD , 所以 FN // 平面 PAD . 所以平面 MNF // 平面 PAD .??????10 分 从而, MN // 平面 PAD .??????11 分 由所作可知,△ CMF 为等腰直角三角形, CM ? 2 , 所以 CF ? 1 , PF ? 2 .??????12 分 △ PNF ,△ PBC 均为等腰直角三角形,所以 PN ? 2 2 , PB ? 3 2 . 所以 N 为线段 PB 上靠近点 B 的三等分点,且 BN ? 22.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F (1, 0) ,??????1 分
2

2 .??????13 分

依题意,设直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) ,其中 k ? 0 .??????2 分 将x ?

y2 y2 ? 1) , 代入直线方程,得 y ? k ( 4 4
2

整理得 ky ? 4 y ? 4k ? 0 ,??????4 分 所以 y A yB ? ?4 ,即 A, B 两点的纵坐标之积为 ?4 .??????5 分 (Ⅱ)设 AB : y ? kx ? b(k ? 0) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

? y 2 ? 4 x, 2 2 2 由? 得 k x ? (2kb ? 4) x ? b ? 0 .??????6 分 ? y ? kx ? b
由 ? ? 4k b ? 16 ? 16kb ? 4k b ? 16 ? 16kb ? 0 ,得 kb ? 1 .??????7 分
2 2 2 2

4 ? 2kb b2 所以 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 .??????8 分 k2 k

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设 AB 中点坐标为 ( x0 , y0 ) ,

x1 ? x2 2 ? kb 2 ? , y0 ? kx0 ? b ? ,??????9 分 2 2 k k 2 1 2 ? kb ), 所以弦 AB 的垂直平分线方程为 y ? ? ? ( x ? k k k2 2 ? kb 令 y ? 0 ,得 x ? 2 ? .??????10 分 k2 2 ? kb ? 4 ,即 2k 2 ? 2 ? kb .??????11 分 由已知 2 ? 2 k
则 x0 ?

AB ? 1 ? k

2

( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 1 ? k
2

2

4 ? 2kb 2 4b2 ( ) ? 2 k2 k

? 4 1? k 2

1 ? kb 2k 2 ? 1 2 ? 4 1 ? k k4 k4

1 1 2k 4 ? k 2 ? 1 ? 4 ?( 2 )2 ? 2 ? 2 ?????12 分 ?4 4 k k k


1 1 ? ,即 k ? ? 2 时, AB 的最大值为 6 .??????13 分 k2 2

当k ?

2 时, b ? ? 2 ;当 k ? ? 2 时, b ? 2 .均符合题意.

所以弦 AB 的长度存在最大值,其最大值为 6 .??????14 分

北京市西城区高二数学(文科)试卷

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