当前位置:首页 >> 数学 >>

正弦定理、余弦定理的应用教师版


一、知识梳理
1.内角和定理: 在 ? ABC 中, A ? B ? C ?

? ; sin( A ? B) ? sin C ; cos( A ? B) ? ? cos C

面积公式:

S?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2

2

在三角形中大边对大角,反之亦然. 2.正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

a b c ? ? ? 2R 形式一: sin A sin B sin C

(解三角形的重要工具)

形式二:

?a ? 2 R sin A ? ?b ? 2 R sin B ?c ? 2 R sin C ?

(边角转化的重要工具)

形式三: a : b : c ? sin A : sin B : sin C

sin A ?
形式四:

a b c ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R

3.余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍.. 形式一: a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B (解三角形的重要工具)

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C
形式二:

cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 2bc a 2 ? c2 ? b2 2ac a 2 ? b2 ? c2 2ab

cos B ?

cos C ?

二、方法归纳
a b c ? ? (1)已知两角A、B与一边 a ,由A+B+C=π及 sin A sin B sin C ,可求出角C,再求 b 、

c.
(2)已知两边 b 、 c 与其夹角A,由 a = b + c -2 b c cosA,求出 a ,再由余弦定理,求出角
2 2 2

B、C. (3)已知三边 a 、 b 、 c ,由余弦定理可求出角A、B、C.

a b ? (4)已知两边 a 、 b 及其中一边的对角A,由正弦定理 sin A sin B ,求出另一边 b 的对角
a c a b ? ? B,由C=π-(A+B),求出 c ,再由 sin A sin C 求出C,而通过 sin A sin B 求B时,可
能出一解,两解或无解的情况,其判断方法,如下表: A>90° A=90° 一解 无解 a>bsinA A<90° 一解 一解 两解 一解 无解

a>b

一解 无解

a=b

a<b

无解

无解

a=bsinA a<bsinA

(见图示) .

a = b sinA 有一解
一解

b > a > b sinA 有两解

a ≥ b 有一解

a >b 有

三、课堂精讲例题
问题一:利用正弦定理解三角形 【例 1】在 ?ABC 中,若 b ? 5 , ?B ?

? 1 , sin A ? ,则 a ? 4 3

.

5 2 3

【例 2】在△ABC中,已知 a = 3 , b = 2 ,B=45°,求A、C和 c . 【解析】 ∵B=45°<90°且 a sinB<b< a ,∴△ABC有两解. 由正弦定理得sinA=
a sin B 3 3 sin 45? = = , b 2 2

则A为60°或120°. ①当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°, c=
b sin C 2 sin 75? = = sin B sin 45?

6? 2 2 sin( 45? ? 30?) = . 2 sin 45?

②当A=120°时,C=180°-(A+B)=15°, c=
b sin C 2 sin 15? = = sin B sin 45?

6? 2 2 sin( 45? ? 30?) = . 2 sin 45?

故在△ABC中,A=60°,C=75°,c= A=120°,C=15°, c =
6? 2 . 2

6? 2 或 2

问题二:利用余弦定理解三角形 【例 3】设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .已知 a ? 1 , b ? 2 ,

cosC ?

1 . 4

(Ⅰ)求 ?ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos? A ? C ? 的值. 【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理,同时考查基本运算能力 【解析】 (Ⅰ)∵ c ? a ? b ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
2 2 2

1 ?4 4

∴c ? 2 ∴ ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5 .

15 1 ?1? 2 (Ⅱ)∵ cosC ? ,∴ sin C ? 1 ? cos C ? 1 ? ? ? ? , 4 4 ?4?

2

a sin C ? ∴ sin A ? c

15 4 ? 15 2 8

∵ a ? c ,∴ A ? C ,故 A 为锐角,

? 15 ? 7 ? ? ∴ cos A ? 1 ? sin A ? 1 ? ? ? 8 ? 8 ? ?
2

2

∴ cos? A ? C ? ? cos A cos C ? sin A sin C ?

7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 4 16
2 2 2

【例 4】 设 ?ABC 的内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、b 、c ,且 3 b +3 c -3 a =4 2 b c . (Ⅰ) 求 sinA 的值;

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 的值. (Ⅱ)求 1 ? cos 2 A

?

?

问题三:正弦定理余弦定理综合应用 【例 5】 (2011 山东文数) 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a , b ,c.已知

cos A-2cos C 2c-a . = cos B b

sin C 的值; sin A 1 (II)若 cosB= , ? ABC 的周长为 5,求 b 的长。 4
(I)求

【解题思路】通过正弦定理将边化成正弦,在通过和角公式进行化简。 【解析】 (I)由正弦定理,设

a b c ? ? ? k, sin A sin B sin C 2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? , 则 b k sin B sin B cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? . 所以 cos B sin B
即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ). 又 A? B ?C ?? , 所以 sin C ? 2sin A

sin C ? 2. sin A sin C (II)由 ? 2得 sin A
因此

c ? 2a.
由余弦定得及 cos B ?

1 得 4

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 1 ? a 2 ? 4 a 2 ? 4a 2 ? 4 2 ? 4a .
所以 b ? 2 a. 又 a ? b ? c ? 5, 从而 a ? 1, 因此 b=2。 【思考】到底“具体什么情况下边化角,什么情况下角化边” 【例 6】 (2012 全国卷Ⅰ理)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知

a 2 ? c 2 ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b
【解题思路】对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理;
2 2

而对已知条件(2) sin A cos C ? 3cos A sin C, 化角化边都可以。

【解析】解法一:在 ?ABC 中

sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理

有: a

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 c, 化简并整理得: 2(a2 ? c2 ) ? b2 .又由已知 2ab 2bc

a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b 2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 .
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2



又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4 cos A sin C
由正弦定理得 sin B ? 由①,②解得 b ? 4 . 【思考】面对解三角形,可以考虑正弦定理,也可以考虑余弦定理,两种方法只是计算量上 的差别。 问题四:三角恒等变形 【例 7】 设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a ,b,c,且 A= 60 ,c=3b.求:

b sin C ,故 b ? 4c cos A c



a (Ⅰ) c 的值; (Ⅱ)cotB +cot C 的值. a b; 【解题思路】求 c 的值需要消去角和 三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系
2 2 2 1 1 7 ?1 ? 【解析】 (Ⅰ) 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A = ? c ? ? c 2 ? 2 ? c ? c ? ? c 2 3 2 9 ?3 ?

2

a 7 ? . 3 故c
cos B sin C ? cos C sin B sin( B ? C ) sin A ? , sin B sin C (Ⅱ)解法一: cot B ? cot C = = sin B sin C sin B sin C

7 2 c sin A 1 a2 2 9 14 14 3 ? · ? · ? ? . sin B sin C sin A bc 9 3 1 c· 3 3 c 3 由正弦定理和(Ⅰ)的结论得

cot B ? cot C ?


14 3 . 9

7 2 1 c ? c 2 ? ( c) 2 a ?c ?b 5 3 ? 9 ? 解法二: 由余弦定理及 (Ⅰ) 的结论有 cos B ? 2ac 7 2 7 2? c?c 3
2 2 2

sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ?


25 3 ? . 28 2 7

7 2 1 2 c ? c ? c2 a ?b ?c 1 9 9 ? ?? 同理可得 cosC ? 2ab 7 1 2 7 2? c? c 3 3
2 2 2

sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ?

1 3 3 ? . 28 2 7

cot B ? cot C ?
从而

cos B cos C 5 1 14 3 ? ? 3? 3? . sin B sin C 3 9 9

【思考】在解三角形的背景下一般见“切割化弦” 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin
2

? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec2 ?,1 ? cot 2 ? ? csc2 ?
sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

(2)倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1, (3)商数关系: tan ? ? 问题五:判断三角形形状 【例 8】在△ABC 中,在 ?ABC 中, a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,bcosA= a cosB, 试判断 ?ABC 三角形的形状. 【解题思路】判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形: (1)一个方向是边,走代数 变形之路,通常是正、余弦定理结合使用; (2)另一个方向是角,走三角变形之路.通常是 运用正弦定理 【解析】方法 1:利用余弦定理将角化为边.

∵bcosA= a cosB
2 2 2

b?

2 2

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 ? a? 2bc 2ac
2

∴b ? c ? a ? a ? c ?b 故此三角形是等腰三角形.

∴a ? b
2

2

∴a ? b

方法 2:利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA= a cosB 又 b=2RsinB, a =2RsinA

∴2RsinBcosA=2RsinAcosB ∴sinAcosB-cosAsinB=0 ∴sin(A-B)=0 ∵0<A,B<π,∴-π<A-B<π ∴A-B=0,即 A=B 故三角形是等腰三角形. 【思考】判断三角形形状时一般从角入手,利用三角形内角和定理,实施关于三角形内角的 一些变形公式. cosA b 【例 9】. 在△ABC 中,在 ?ABC 中, a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,若cosB =a , 试判断 ?ABC 三角形的形状. 【解析】 :方法 1:利用余弦定理将角化为边 cosA b cosA sinB 由已知cosB =a 及正弦定理得cosB =sinA ∴sin2A=sin2B π ∴2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B 或 A+B= 2 , 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 方法 2:利用正弦定理将边转化为角. ∵acosA=bcosB

b2 ? c2 ? a 2 a2 ? c2 ? b2 ?b 2bc 2ac ∴ a
∴ (a ? b )(a ? b ? c ) ? 0
2 2 2 2 2

∴a=b 或者 a ? b ? c ? 0
2 2 2

故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

问题六:与其他知识综合 【例 10】已知向量 m ? (a ? c, b), n ? (a ? c, b ? a), 且m ? n ? 0 ,其中 A,B,C 是△ABC 的内角, a , b ,c 分别是角 A,B,C 的对边 . (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的取值范围. 【解题思路】向量的数量积运算法则。向量垂直的判定。 【解析】 (1)由 m ? n ? 0 得 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? a) ? 0 ? a2 ? b2 ? c2 ? ab

a 2 ? b2 ? c 2 ab 1 ? ? 由余弦定理得 cos C ? 2ab 2ab 2
0?C ?π
(2)

?C ?

π 3 2π 3

C?

π 3

?A? B ?

? sin A ? sin B ? sin A ? sin(

2π 2π 2π ? A) ? sin A ? sin cos A ? cos sin A 3 3 3

3 3 3 1 ? sin A ? cos A ? 3( sin A ? cos A) 2 2 2 2

π ? 3 sin( A ? ) 6 0? A? 2π 3 π π 5π ? ? A? ? 6 6 6
? 3 π ? 3 sin( A ? ) ? 3 2 6

1 π ? ? sin( A ? ) ? 1 2 6


3 ? sin A ? sin B ? 3 . 2

【思考】坐标运算:设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则: 向量的加减法运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。 实数与向量的积: ? a ? ? ? x1 , y1 ? ? ? ? x1 , ? y1 ? 。 平面向量数量积: a ? b ? x1x2 ? y1 y2 = a b cos ?

问题 7:三角实际应用 【例11】 要测量对岸A、B两点之间的距离,选取相距
3

km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B之间的距离. 【解题思路】找到三角形,利用正弦定理和余弦定理。 【解析】如图所示在△ACD中, ∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°, ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD中,∠BCD=45°, ∠BDC=75°,∠CBD=60°.∴BC=
2

6? 2 3 sin 75? = . 2 sin 60?
6? 2 2 6? 2 ) -2× 3 × ×cos75° 2 2

2 ( 3) + ( △ABC中,由余弦定理,得AB =

=3+2+ 3 - 3 =5,∴AB= 5 (km).∴A、B之间的距离为 5 km. 【例 12】 . (2007 山东)如图,甲船以每小时 30 2 海里 的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处 时,乙船位于甲船的北偏西 105 的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲 船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方 向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 【解析】如图所示,连结 A1B2,由已知 A2B2= 10 2 , A1A2= 30 2 ?
? ?

20 ? 10 2 ,∴A1A2=A2B2, 60

又∠A1A2B2=180°-120°=60° ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2= 10 2 . 由已知,A1B1=20,∠B1A1B2=105°-60°=45°, 在△A1B2B1 中,由余弦定理,
2 2 2 B1B2 = A1B1 + A1B2 - A1B1·A1B2·cos45°

=20 +( 10 2 ) -2×20× 10 2 ×
2 2

2 =200. 2

∴B1B2= 10 2 . 因此,乙船的速度的大小为

10 2 ×60= 30 2 (海里/小时). 20
答 乙船每小时航行 30 2 海里.

【思考】正弦定理和余弦定理所需条件。 【适时导练】 8.如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上 的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为

750 ,30 0 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 0 ,AC=0.1km。
试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离 (计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449) 【解析】在 ?ACD 中, ?DAC =30°, ?ADC =60°- ?DAC = 30°, 所以 CD=AC=0.1 又 ?BCD =180°-60°-60°=60°, 故 CB 是 ?CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA 在 ?ABC 中, 5分

AB AC ? , sin?BCA sin?ABC

即 AB=

AC sin 60? 3 2 ? 6 ? sin15? 20 3 2? 6 ? 0.33km 20

因此, BD ?

故 B、D 的距离约为 0.33km。

9 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知

AB ? 50m , BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深 BE ? 200m ,
于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值。 【解析】作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ?1702 ? 10 198 , DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ?1202 ? 130 ,
EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 .
在 ?DEF 中,由余弦定理,

cos ?DEF ?

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 ? ? . 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65

课后自我检测 A
1.已知△ABC 中, cot A ? ? ( )



12 ,则 cos A ? 5

【答案】

?

12 13

2.在 ?ABC 中。若 b ? 1 , c ? 3 , ?c ? 【答案】 1

2? ,则 a= 3



3.已知 a , b , c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a =1, b = 3 , A+C=2B,则 sinC= 【答案】 . 1.

【解析】由 A+C=2B 及 A+ B+ C=180°知,B =60°.由正弦定理知,

1 3 ? ,即 sin A sin 60

sin A ?

1 .由 a ? b 知, A ? B ? 60 ,则 A ? 30 , 2

C ? 180 ? A ? B ? 180 ? 30 ? 60 ? 90 , sin C ? sin 90 ? 1
3.在 ?ABC 中, a =15, b =10,A=60°,则 cos B = A -

2 2 3

B

2 2 6 C - D 3 3

6 3

【答案】D 【解析】根据正弦定理

a b 15 10 3 可得 解得 sin B ? ,又因为 b ? a ,则 ? ? sin A sin B sin 60 sin B 3

B ? A ,故 B 为锐角,所以 cos B ? 1 ? sin 2 B ?
o

6 ,故 D 正确. 3

4.某人朝正东方向走 x 千米后,向右转 150 并走 3 千米,结果他离出发点恰好 3 千米, 那么 x 的值为 A. 3 【答案】C B. 2 3 C. 3 或 2 3 D.3 ( )

5.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若( a + c -b )tanB= 3ac ,
2 2 2

则角 B 的值为 A.

( B.



? 6

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

【答案】 D 6.已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. 【解析】 (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 , BC ? AC ? 两式相减,得 AB ? 1. (II)由 △ ABC 的面积

1 6

2 AB ,

1 1 1 BC ? AC ? sin C ? sin C , ,得 BC ? AC ? , 3 2 6

AC 2 ? BC 2 ? AB2 由余弦定理,得 cosC= 2 AC ? BC

=

( AC ? BC) 2 ? 2 AC ? BC ? AB2 1 ? , 2 AC ? BC 2

所以 C ? 60 . 7.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ,且满足 b sin A ? 3a cos B . (I)求角 B 的值; (II)若 cos

A 2 5 ? , 求 sinC 的值. 2 5

【解析】 (I)由正弦定理得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ,

因 为 sin A ? 0 ,即 tan B ? 3 ,
由于 0 ? B ? ? ,所以 B ? (II) cos A ? 2 cos
2

?
3



A 3 ?1 ? , 2 5
4 , 5

因为 sin A ? 0 ,故 sin A ?

所以 sin C ? sin? A ?

? ?

??

1 3 4?3 3 . cos A ? ? ? sin A ? 3? 2 2 10
[来源:Zxxk.Com]

8 在 ?ABC中, a , b , c 分别为内角 A, B , C 的对边,且 2 cos(B ? C ) ? 4 sin B sin C ? 1 . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 3 , sin

B 1 ? ,求 b . 2 3

[来源:学科网 ZXXK]

【解析】 (Ⅰ)由 2 cos(B ? C ) ? 4 sin B sin C ? 1 , 得 2(cos B cos C ? sin B sinC ) ? 4 sin B sinC ? ?1 , 即 2(cos B cos C ? sin B sinC ) ? ?1 . 从而 2 cos(B ? C ) ? ?1 ,得 cos(B ? C ) ? ? ∴B?C ?

1 . 2

? 2? ,故 A ? . 3 3
B 2 2 B 1 , ? ,得 cos ? 2 3 2 3

(Ⅱ)由 sin

∴ sin B ? 2 sin ∵ ∴

B B 4 2 . cos ? 2 2 9

b a , ? sin B sin A
b ? 3 3 2

4 2 9



解得 b ?

8 6 . 9

课后自我检测 B
(A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形. 【答案】C 【解析】由 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 及正弦定理得 a: b : c =5:11:13 由余弦定理得 cosc ?


( )

1.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC (B)一定是直角三角形.

(D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

5 2 ? 112 ? 132 ? 0 ,所以角 C 为钝角 2 ? 5 ? 11

2.要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°,在 D 点测得塔 顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的∠ BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为
A





A.10 2 m C.20 3 m 【答案】 D

B.20m D.40m
B C D

【解析】 本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ?

12 知 A 为钝角,cosA<0 排 5 cos A 12 12 ? ? , 和 sin 2 A ? cos 2 A ? 1求得 cos A ? ? . 除 A 和 B,再由 cot A ? sin A 5 13

2 2 sin C ? 2 3 sin B , 3.在△ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别是 a , b , c , 若 a ? b ? 3bc ,

则 A= (A) 30 【答案】A
0

( (B) 60
0



(C) 120

0

(D) 150

0

【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题。 由由正弦定理得

c 2 3b ? ? c ? 2 3b , 2R 2R
3 b2 +c2 -a 2 ? 3bc ? c 2 ? 3bc ? 2 3bc 0 ? ? 所以 cosA= = ,所以 A=30 2bc 2 2bc 2bc

4.在△ ABC 中,三个角 A, B, C 的对边边长分别为 a ? 3, b ? 4, c ? 6 ,则

bc cos A ? ca cos B ? ab cos C 的值为
【答案】

.

61 2

5.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

【解题思路】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公 式等基础知识,主要考查基本运算能力. 【解析】 (Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ? ∴C ?

?
3

, cos A ?

2? 3 ? A,sin A ? , 3 5

4 , 5

∴ sin C ? sin ?

3 1 3? 4 3 ? 2? ? . ? A? ? cos A ? sin A ? 2 10 ? 3 ? 2
3 3? 4 3 , ,sin C ? 5 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? 又∵ B ?

, b ? 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得 3 b sin A 6 ? . ∴a ? sin B 5
∴△ABC 的面积 S ?

?

1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 ab sin C ? ? ? 3 ? ? 2 2 5 10 50

6.在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。 AB BC ? ,于是 sin C sin A

【解析】 (1)在 ?ABC 中,根据正弦定理,

AB ? sin C

BC ? 2 BC ? 2 5 sin A

(2)在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

于是 sin A ? 1 ? cos2 A =

5 , 5
4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 5 5

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

? ? ? 2 sin(2 A ? ) ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 4 4 4 10
7. 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 【解析】 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,

由余弦定理得 cos ?

1 AD 2 ? DC 2 ? AC 2 100 ? 36 ? 196 ?? , = 2 ? 10 ? 6 2 2 AD DC

? ? ADC=120°, ? ADB=60°
在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°, 由正弦定理得

AB AD ? , sin ?ADB sin B

AD sin ?ADB 10sin 60? ? ? ? AB= sin B sin 45?

10 ? 2 2

3 2 ?5 6 .

8.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围. 【解析】 (1)由 a cos C ?

1 c ? b. 2

1 1 c ? b 得 sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2

又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C

1 1 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? , 2 2


0? A?? ? A ?

?

3

(2)由正弦定理得: b ?

a sin B 2 2 ? sin B , c ? sin C sin A 3 3

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ?sin B ? sin ? A ? B ? ? 3 3

? 3 ? 1 ?? ? ? 1? 2? sin B ? cos B ? 1 ? 2 sin ? B ? ? ? ? 2 ? 2 6? ? ? ?
A?

?

? 2? , ? B ? ? 0, 3 ? 3

? ? ? 5? ? ?? ?1 ? ? ? ? , ? B ? ? ? , ? ? sin ? B ? ? ? ? ,1? 6 ?6 6 ? 6? ?2 ? ? ?

故 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ? 2,3? .
2 2 2 (2)另解:周长 l ? a ? b ? c ? 1 ? b ? c 由(1)及余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A

? b2 ? c 2 ? bc ? 1

? (b ? c) 2 ? 1 ? 3bc ? 1 ? 3(
b?c ? 2

b?c 2 ) 2

又 b ? c ? a ? 1? l ? a ? b ? c ? 2 即 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ? 2,3? . 【能力提高】 1.如图所示,在△ABC,已知 AB ? 求: (1)BC 的长度; (2) sin A 的值。 【解析】

4 6 6 , cos B ? ,AC 边上的中线 BD ? 5 , 3 6

B C 的对边,且满足 b ? c ? a ? bc . 2.在 ?ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、、
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y ? f ( x) 的最大值. 【解析】 (Ⅰ)在 ?ABC 中,由 b ? c ? a ? bc 及余弦定理得 cos A ?
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2

而 0 ? A ? ? ,则 A ? (Ⅱ)由 a ?

?
3



3, A ?

?
3

及正弦定理得

b c a ? ? ? sin B sin C sin A

3 ? 2, 3 2

2? ?x, 3 2? 2? ? x)(0 ? x ? ) 则 b ? 2sin x, c ? 2sin( 3 3 2? ? ? x) ? 2 3 sin( x ? ) ? 3 , 于是 y ? a ? b ? c ? 3 ? 2sin x ? 2sin( 3 6 2? 由0 ? x ? 3 ? ? 5? 得 ? x? ? , 6 6 6
而 B ? x, C ? 当x?

?

6

?

?

2

即x?

?

3

时, ymax ? 3 3

3.已知向量 a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边, 其中 A 为锐角, a ? 2 3, c ? 4 , 且 f ( A) ? 1 ,求 A, b 和 ?ABC 的面积 S . 【解析】

1 2


相关文章:
正弦定理、余弦定理应用举例(教师版)
正弦定理余弦定理应用举例(教师版) 第7讲【2013 年高考会这样考】 正弦定理余弦定理应用举例 考查利用正弦定理余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测...
第15讲-正弦定理、余弦定理及其应用专题(教师版)
(3)边与角关系:正弦定理 、余弦定理 正、余弦定理的五大命题热点正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具, 其主要作用是将已知条件中的边、 ...
经典正弦定理和余弦定理(教师版)
正弦定理余弦定理 [知识回顾] 1.正弦定理:___=___=___=2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正 弦定理可以变形为: (1)a∶b∶c=___; (2)a=___...
第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例(教师版)
(3)根据题意选择正弦定理余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 解三角形应用题常有以下两种情形 (...
正弦定理、余弦定理知识点教师版
正弦定理余弦定理知识点教师版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。必修五第一...【分析】在解斜三角形应用过程中,注意要灵活地选择正弦定和余弦定理,解得其它...
苏教版数学必修五:1.3正弦定理、余弦定理的应用【教师版】
苏教版数学必修五:1.3正弦定理余弦定理的应用教师版】_数学_高中教育_教育专区。课题:§1.3 正弦定理余弦定理的应用 总第___课时 班级___ 姓名___ ...
正弦定理、余弦定理的应用学生版
2.正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. a b c ?...? 3 问题三:正弦定理余弦定理综合应用 【例 5】在 ? ABC 中,内角 A,B,C...
正弦定理、余弦定理练习题(教师版)
正弦定理余弦定理应用... 9页 1下载券 高中数学专题训练(教师版... 7页 ...正弦定理余弦定理练习题一、选择题 1.在△ABC 中,A=60°,B=75°,a=10...
正弦定理、余弦定理的实际应用
正弦定理余弦定理的实际应用一、教学目标: 应用正余弦定理解决三角形中常见的有关:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问 题、航海问题、物理问题等。 二、教学...
正余弦定理的应用教学设计(终极版)
本节课是第 5 课时,内容主要是正弦定理余弦定理在解三角形中的简 单应用。...教学流程图 教学内容和 教师的活动 媒体的 应用 学生的 活动 教师进行 逻辑...
更多相关标签:
正弦余弦定理的应用 | 正弦定理和余弦定理 | 正弦余弦定理 | 正弦定理余弦定理公式 | 正弦余弦定理公式变形 | 正弦定理余弦定理解题 | 正弦定理与余弦定理 | 高中数学正弦余弦定理 |