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12013届高三第一次高考模拟考试+文科数学


哈师大附中,东北师大附中,辽宁省实验中学 2013 届高三第一次联合模拟考试

数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域 内。 2.选择题必须使用

2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 o.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工 整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试 题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.设全集 U=R,集合 A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},则集合(CuA) ? B= ( ) A.{x|0<x<2} C.{x|0≤x<2} 2.命题“若 x>1,则 x>0”的否命题是 A.若 x>l,则 x≤0 C.若 x≤1,则 x≤0 3.在复平面内复数 z= B.{x |0<x≤2} D.{x| 0≤x≤2} ( B.若 x≤l,则 x>0 D.若 x<l,则 x<0 ( ) )

?3 对应的点在 1? i

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 x-1 4.函数 f(x)=a (a>0,a≠1)的图象恒过点 A,下列函数中图象不经过点 A 的是 A.y= 1 ? x B.y=|x-2| C.y=2x-1





D.y=log2(2x) ( )

5.与椭圆 C:

y 2 x2 ? =l 共焦点且过点(1, 3 )的双曲线的标准方程为 16 12
B.y —2x =1
2 2

y2 A.x 一 =1 3
2

y2 x2 C. 一 =1 2 2

y2 D. 一 x2 =1 3

6.已知向量 a,b 是夹角为 60o 的两个单位向量,向量 a+ ? b( ? ∈R)与向量 a-2b 垂直,则实数 ( ) ? 的值为 A.1 B.-1 C.2 D.0

7.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值是(
1



A.5 B.6 C.7 D.8 8.已知函数 y=sin( ? x ? ? )的最小正周期为

? ? ,直线 x= 是其图象 2 3


的一条对称轴,则下面各式中符合条件的函数解析式为(

? A.y= sin(4x 十 ) 6 ? C.y= sin(4x— ) 3

? B.y =sin(2x+ ) 3 1 5? D.y=sin({ x + ) 4 12

9.点 A、B、C、D 在同一个球的球面上,AB=BC= 2 ,AC =2,若四面体 ABCD 体积的最大值为

25? 25? D. 4 16 1 10.已知函数 f(x)= x +l,g(x)=alnx,若在 x ? 处函数 f(x)与 g(x)的图象的切线平行, 4
C. 则实数 a 的值为 A. ( B. )

2 ,则这个球的表面积为 3 125? A. B.8 ? 6





1 4

1 2

C.1

D.4 )

11. 若点 P 在抛物线 y2= 4x 上, 则点 P 到点 A (2, 3) 的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之差 ( A.有最小值,但无最大值 B.有最大值,但无最小值 C.既无最小值,又无最大值 D.既有最小值,又有最大值

? a ? 2 x , x ? 0, ? 12.已知函数 f(x)= ?1og x, x ? 0. 若关于 x 的方程 f(f(x) )=0 有且仅有一个实数解,则实数 a 1 ? ? 2
的取值范围是 A. (-∞,0) C. (0,1) ( B. (-∞,0) ? (0,1) D. (0,1) ? (1,+∞) )

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

?3 x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 13.设 x、y 满足约束条件 ? ,则目标函数 z=2x+y 的最大值为 ?x ? 0 ? ?y ? 0



14.已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆直径为 2,则该 几何体的体积为 。
2

x ,若 f(a)+f(b)=0,且 0<a<b<l,则 ab 的取值范围是 1? x A AC 16.在△ ABC 中,2sin2 2 = 3 sinA,sin(B-C)=2cosBsinC,则 的值为 AB
15.已知函数 f(x)=ln 三、解答题(本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知等比数列{an}的所有项均为正数,首项 a1=1,且 a4,3a3,a5 成等差数列。 (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)数列{an+1- ? an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2n-l(n∈N*) ,求实数 ? 的值。

。 。

18. (本小题满分 12 分) PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可人 肺颗粒物。根据现行国家标准 GB3095-2012,PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质 量为一级;在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以 上空气质量为超标。 从某自然保护区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测值数据中随机地抽取 12 天的数据作为样本, 监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) : (I)求空气质量为超标的数据的平均数与方差; (Ⅱ)从空气质量为二级的数据中任取 2 个,求这 2 个数据的和小于 100 的概率; (Ⅲ)以这 12 天的 PM2.5 日均值来估计 2012 年的空气质量情况,估计 2012 年(366 天)大 约有多少天的空气质量达到一级或二级。

19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1⊥底面 ABC,∠ACB=90o,E 是棱 CC1 中点,F 是 AB 中点,AC=BC=1,AAl=2。 (I)求证:CF//平面 AB1E; (Ⅱ)求三棱锥 C-AB1E 在底面 AB1E 上的高。

20. (本小题满分 12 分) 已知点 E(m,0) (m>0)为抛物线 y2=4x 内一个定点,过 E 作斜率分别为 k1、k2 的两条直线交 抛物线于点 A、B、C、D,且 M、N 分别是 AB、CD 的中点。 (I)若 m=l,klk2 =-1,求三角形 EMN 面积的最小值; (Ⅱ)若 k1 +k2=1,求证:直线 MN 过定点。
3

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 数为 g ? (x) 。 (I)求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)若 a=e, (i)求函数 g(x)的单调区间; (ii)求证:x>0 时,不等式 g ? (x)≥l+1nx 恒成立。

1 2 1 3 x 一 ax (a>0) ,函数 g(x)=f(x)+ex(x 一 1) ,函数 g(x)的导函 2 3

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清 题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆 O 的半径 OC 垂直于直径 AB,弦 CD 交半径 OA 于 E,过 D 的切线与 BA 的延长线交 于 M。 (I)求证:MD=ME; (Ⅱ)设圆 O 的半径为 1,MD= 3 ,求 MA 及 CE 的长。

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 圆 C1 和 C2 的 参 数 方 程 分 别 是 ?

? x ? 2 ? 2 cos ? , (? 为 参 数 ) 和 ? y ? 2sin ?

4

? x ? cos ? , (? 为参数) 。以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 ? ? y ? 1 ? sin ?
(I)求圆 Cl 和 C2 的极坐标方程; (Ⅱ)射线 OM:? ? ? 与圆 Cl 的交点为 O、P,与圆 C2 的交点为 O、Q,求|OP|· |OQ|的最大值。

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x-a| +2x,其中 a>0. (I)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥2x+1 的解集; (Ⅱ)若 x ?(-2,+∞)时,恒有 f(x)>0,求 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.C 2.C 3.B 4.A 7.B 8.A 9.C 10.A 5.C 11.D
5

6.D 12.B

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 14 14. 24 ?

3? 2

15. ? 0, ?

? ?

1? 4?

16.

1 ? 13 2

三、解答题 17.(本小题满分 12 分)
2 3 4 解: (Ⅰ)设数列 ?an ?的公比为 q ,由条件, q 3 ,3q 2 , q 4 成等差数列,? 6q ? q ? q ……2 分

解解得 q ? ?3, 或q ? 2 ? q ? 0 ,? q ? 2 网数列 ?an ?的通项公式为 a n ? 2 n ?1 (n ? N *)

……4 分 ……6 分 ……7 分

(Ⅱ)记 bn ? an?1 ? ?an ,则 bn ? 2 n ? ? ? 2 n ?1 ? (2 ? ? )2 n ?1 若 ? ? 2, bn ? 0, S n ? 0 不符合条件; 若? ? 2, 则 此时 S n ? ……8 分

bn ?1 ? 2 ,数列 ?bn ?为等比数列,首项为 2 ? ? ,公比为 2 bn

(2 ? ? ) (1 ? 2 n ) ? (2 ? ? )(2 n ? 1) 1? 2

……10 分 ……12 分

? S n ? 2 n ? 1(n ? N *) ? ? ? 1

18.(本小题满分 12 分) 解: (I)空气质量为超标的数据有四个:77,79,84,88 平均数为 x ? 方差为 s 2 ?
77 ? 79 ? 84 ? 88 ? 82 4

……2 分 ……4 分

1 ? [(77 ? 82) 2 ? (79 ? 82) 2 ? (84 ? 82) 2 ? (88 ? 82) 2 ] ? 18.5 4

(II)空气质量为二级的数据有五个:47,50,53,57,68 任取两个有十种可能结果: {47,50} , {47,53} , {47,57} , {47,68} , {50,53} , {50,57} , {50, 68} , {53,57} , {53,68} , {57,68} , 两个数据和小于 100 的结果有一种: {47,50} 记“两个数据和小于 100”为事件 A,则 P(A)=
1 10 1 10

即从空气质量为二级的数据中任取 2 个,这 2 个数据和小于 100 的概率为

……8 分
8 2 ? 12 3

(III)空气质量为一级或二级的数据共 8 个,所以空气质量为一级或二级的频率为 分
366?

……10

2 ? 244 ,所以,2012 年的 366 天中空气质量达到一级或二级的天数估计为 244 天. 3

……12

分 19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:取 AB1 的中点 G,联结 EG,FG,

?F、G 分别是 AB、AB1 中点,? FG / / BB1 , FG ?
? E 为侧棱 CC1 的中点, ? FG∥EC,FG=EC,

1 BB1 2

所以四边形 FGEC 是平行四边形

……4 分
6

?CF // EG ,?CF ? 平面 AB1E, EG ? 平面 AB1E ? CF / / 平面 AB1E.

……6 分

(Ⅱ)?三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱 AA1 ? 底面ABC ,? BB1 ? 面 ABC. 又?AC ? 平面 ABC, ? AC ? BB1 , , ? AC ? BC , ?∠ACB=90°

? BB1 ? BC ? B.
……8 分

? AC ? 平面 EB1C, ? AC ?

CB1

1 1 1 1 ?VA?EB1C ? S?EB1C AC ? ? ( ? 1 ? 1) ? 1 ? 3 3 2 6
……10 分
? AE ? EB1 ? 2 , AB1 ? 6 ,? S ?AB1E ? 3 2

G

?VC ? AB1E ? V A? EB1C ? 三棱锥 C ? AB1E 的高为
……12 分 20.(本小题满分 12 分)

3VC ? AB1E S ?AB1E

?

3 3

解: (Ⅰ)当 m ? 1时,E 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,
2

∵ k1k2 ? ?1 ,∴AB⊥CD 设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? 1) ? y ? 4x
2

,得 k1 y ? 4 y ? 4k1 ? 0 , y1 ? y2 ?
2

4 , y1 y2 ? ?4 k1

AB 中点 M ( ……2 分 ∴ S ?EMN ? ……4 分

2 2 x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ,∴ M ( 2 ? 1, ) ,同理,点 N (2k12 ? 1, ?2k1 ) k1 k1 2 2

1 1 2 2 1 | EM | ? | EN |? ( 2 ) 2 ? ( ) 2 ? (2k12 ) 2 ? ( ?2k1 ) 2 ? 2 k12 ? 2 ? 2 2 2 k1 k1 k1

? 2 2?2 ? 4
当且仅当 k1 ?
2

1 ,即 k1 ? ?1 时,△EMN 的面积取最小值 4. k12

……6 分

(Ⅱ)证明:设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? m) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? m) ? y ? 4x
2

,得 k1 y ? 4 y ? 4k1m ? 0 , y1 ? y2 ?
2

4 , y1 y2 ? ?4m k1

7

AB 中点 M (

2 2 2 2 x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ,∴ M ( 2 ? m, ) ,同理,点 N ( 2 ? m, ) k1 k1 k2 k2 2 2
……10 分

……8 分

∴ kMN ?

yM ? y N kk ? 1 2 ? k1k2 xM ? xN k1 ? k2

∴MN: y ?

2 2 ? k1k2 [ x ? ( 2 ? m)] ,即 y ? k1k2 ( x ? m) ? 2 k1 k1

∴直线 MN 恒过定点 (m, 2) .……12 分 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? a ? 0,? f ' ( x) ? x ? ax2 ? ?ax( x ? )
? f ' ( x) ? 0 ? x ? 0, 或x ? 1 a 1 a

1 1 ? ( ??,0) 上, f ' ( x) ? 0 ; (0, ) 上 f ' ( x) ? 0 ; ( ,??) 上 f ' ( x) ? 0 a a

……2 分 ……4 分

1 1 ? f ( x) 的极小值为 f (0) ? 0 ;函数 f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? 2 a 6a

(Ⅱ)?a ? e ? g ( x) ?

1 2 1 3 x ? ex ? e x ( x ? 1) , g ' ( x) ? x(e x ? ex ? 1) 2 3

(ⅰ)记 h( x) ? e x ? ex ? 1, h' ( x) ? e x ? e ,
(??,1) 上, h' ( x) ? 0 , h( x) 是减函数; (1,??) 上, h' ( x ) ? 0 , h( x) 是增函数, ? h( x) ? h(1) ? 1 ? 0 ,

……6 分 ……8 分

则在 (0,??) 上, g ' ( x) ? 0 ;在 (??,0) 上, g ' ( x) ? 0 , 故函数 g( x) 的单调递增区间是 (0,??) ,单调递减区间是 (??,0) (ⅱ) x ? 0 时, g ' ( x) ? x(e x ? ex ? 1) ? 1 ? ln x ? e x ? ex ? 1 ? 由(ⅰ)知, h( x) ? e x ? ex ? 1 ? 1 记 ? ( x) ? 1 ? ln x ? x( x ? 0) ,则 ? ' ( x) ?
1? x , x 1 ? ln x x

在区间 (0,1) 上, ? ' ( x) ? 0 , ? ( x) 是增函数;在区间 (1,??) 上, ? ' ( x) ? 0 , ? ( x) 是减函数,
?? ( x) ? ? (1) ? 0 , ?1 ? ln x ? x ? 0,?

1 ? ln x ?1 x

……10 分 ……12 分

? e x ? ex ? 1 ? 1 ?

1 ? ln x ,即 g' ( x) ? 1 ? ln x 成立。 x

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:

?CEO ? ?OCE ? 90o , ?MDE ? ?EDO ? 90o , 又?EDO ? ?ECO ??CEO ? ?MDE ? ?MED ? MD ? ME
(Ⅱ)解:由(1) MD ? MA ? MB ? 3 ? MA ? ( MA ? 2) ? MA ? 1
2

……5 分

C

8

M

A E D

O

B

在 Rt ?MDO 中, MO ? 2, MD ? 3 ,

??MOD ? 60? ,??COD ? 150? ??ECO ? 15?
CE ? OC 1 ? ? 6? 2 cos ?ECO cos15 o

……10 分

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)圆 C1 和 C2 的的普通方程分别是 ( x ? 2) ? y ? 4 和 x ? ( y ? 1) ? 1 ,
2 2 2 2

所以圆 C1 和 C2 的的极坐标方程分别是 ? ? 4 cos? 和 ? ? 2 sin ? . (Ⅱ)依题意得,点 P, Q 的极坐标分别为 ? 所以 | OP |?| 4 cos? | , | OQ |?| 2 sin ? | . 从而 | OP | ? | OQ |?| 4sin 2? |? 4 ( ? ? 即 | OP | ? | OQ | 的最大值是 4 . 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (1) a ? 2 时, x ? 2 ? 2 x ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 1,? x ? 3 或 x ? 1,

……5 分

? ? ? 4 cos? , ? ? ? 2 sin ? , 和? ?? ? ? , ?? ? ? .

?
4

时即可取等). ……10 分

?解集为 ? ??,1? ? ?3, ?? ?
(2) f ( x) ? ?

……5 分

?3x ? a,x ? a ? x ? a, x ? a

? a ? 0? [a,??) 上 f ( x) ? f (a) ? 2a ? 0 , (?2, a) 上 f ( x) ? f (?2) ? ?2 ? a
? 若 x ? (?2, ??) ,当且仅当 ?2 ? a ? 0 时 f ( x) ? 0 恒成立,

?a ? 2

……10 分

9


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