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2017届全国各地高三文科数学模拟试卷精彩试题汇编(14)


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M ,奇函数 g ( x ) 的图象如字母 N ,若方程 f ( g ( x )) ? 0 , g ( f ( x )) ? 0 的实根个数分别为 m 、 n ,则 m?n ?( )

A.12 解:A.

B.18

C.16

D.14

2. ( 江 西 省 赣 州 市 十 三 县 ( 市 ) 2017 届 高 三 上 学 期 期 中 联 考 数 学 ( 文 ) 试 题 第 12 题 ) 已 知 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1 , E 、 F 分别是边 AA1 、 CC1 上的中点,点 M 是 BB1 上的动点,过点 E 、

M 、 F 的平面与棱 DD1 交于点 N ,设 BM ? x ,平行四边形 EMFN 的面积为 S ,设 y ? S 2 ,则 y 关于 x 的函数 y ? f ( x) 的图像大致是( )
y
3 2 3 2

y
3 2

y
3 2

y
A1

D1
N

C1 B1

1

1

1

1 E D

F

C O
1 2

1

x

O

1 2

1

x

O

解:A. 3. (数学(文)卷·2017 届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试第 10 题)如图所示,两个不共线向量

A

B

1 2

1

x

O

1 2

1

x
A

M

C

D

B

第 2 题图

??? ? ??? ? OA, OB 的夹角为 ? , M , N 分别为 OA, OB 的中点,点 C 在直线 MN 上, ???? ??? ? ??? ? 且 OC ? xOA ? yOB ( x, y ? R ) ,则 x 2 ? y 2 的最小值为( )
A.

B M O C N A

2 4

B.

1 8

C.

2 2

D.

1 2

解:B.

4. (数学(文)卷·2017 届甘肃省民乐县第一中学高三 10 月月考试题第 11 题)函数 f(x)=ex+x2+x+1 与

g(x)的图象关于直线 2x-y-3=0 对称,P,Q 分别是函数 f(x),g(x)图象上的动点,则|PQ|的最小值为
( )A.

5 5

B. 5

2 5 C. 5

D.2 5

解:D.

5. (数学(文)卷·2017 届广东省梅州市蕉岭中学高三上学期第二次质检第 12 题) 定义在 R 上的可导函数

? 3? ? f 2 cos x ? ? f ? x ? 满足 f ?1? ? 1 ,且 2 f ??x ? ? 1 ,当 x ? ? ? ? , ? 时,不等式 ?
? 2 2 ?
为( )A. ?

3 x ? 2sin 2 的解集 2 2

? ? 4? ? , ? ?3 3 ?

B. ? ?

? ? 4? ? , ? ? 3 3 ?
??? ?

C . ? 0,

? ?? ? ? 3?
??? ? ??? ?

D. ? ?

? ? ?? , ? ? 3 3?

解:D. 6. (数学(文)卷·2017 届广东省清远市第三中学高三上学期第五次周考试题第 12 题) 在平面直角坐标 系中, O 是坐标原点,两定点 A, B 满足 | OA |?| OB |? OA?OB ? 2 ,则点集

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? {P | OP ? ? OA ? ? OB,| ? | ? | ? |? 1, ? ? R} 所表示的区域的面积是(



A. 2 2 B. 4 2 C. 2 3 D. 4 3 解:D. 7. (数学(文)卷·2017 届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次(10 月)月考试题第 12 题) 已知

f ? x ? 是定义在 ? 0, ?? ? 上的可导函数,其导数为 f ? ? x ? ,且当 x ? 0 时,恒有 f ? ? x ? x ln x ? f ? x ? ? 0 ,则使得 f ? x ? ? 0 成立的 x 的取值范围是(
A. ? 0,1? B. ?1, ?? ? C. ? 0,1? ? ?1, ?? ? D. ?


解:D. 8. (数学(文)卷·2017 届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期期中考试试题第 12 题)已知 O 是锐角

?ABC 的外接圆的圆心,且 ?A ?
A.

1 2

B.

2 2

? cos C ???? ???? ? cos B ??? ,若 AB ? AC ? 2m AO ,则 m =( 4 sin C sin B 1 3 C. D. 3 3



解:B. 9. (数学卷·2017 届海南省国兴中学高三上学期第二次月考第 12 题)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的减函数,

其导函数 f '( x) 满足

f ( x) ? x ? 1 ,则下列结论正确的是( f '( x)

)

A.对于任意 x ? R , f ( x) ? 0 C.当且仅当 x ? (??,1) , f ( x) ? 0
解: ∵

B.对于任意 x ? R , f ( x) ? 0 D.当且仅当 x ? (1, ??) , f ( x) ? 0

f ( x) ? x ? 1 , f ( x ) 是定义在 R 上的减函数,∴ f '( x) ? 0 ,∴ f ( x) ? f '( x ) ? x ? f '( x) , f '( x) f ( x) ? f '( x)( x ? 1) ? 0 ,即 ? ( x ? 1) f ( x ) ? ' ? 0 ,∴函数 g ( x ) ? ( x ? 1) f ( x) 在 R 上单调递增, 而 x ? 1 时, g (1) ? 0 ,则 x ? 1 时, g ( x ) ? g (1) ? 0 ,即当 x ? (1, ??) 时, x ? 1 ? 0 , g ( x ) ? ( x ? 1) f ( x ) ? g (1) ? 0 ,此时 f ( x) ? 0 ;又 f ( x ) 是定义在 R 上的减函数,∴ x ? 1 时, f ( x) ? 0 也成立,∴ f ( x) ? 0 对任意 x ? R 成立,选 B。
10. (数学卷·2017 届河北省定州中学高三(高补班)上学期第三次月考第 5 题) 已知两个不相等的非零 向量 a, b ,两组向量 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 和 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排成一列而成.记

S ? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 ? x5 ? y5 , S min 表示 S 所有可能取值中的最小值,则下列正确的是
( )A. S min ? a 2 ? 2a ? b ? 2b 2 B. S min ? 2a 2 ? 3b 2 D. S 有 5 个不同的值 C.若 a ? b ,则 S min 与 a 无关

解:C. 11. (数学文卷·2017 届福建省养正中学、惠安一中、安溪一中高三上学期期中联考第 12 题)已知实数

a, b 满足 2a 2 ? 5ln a ? b ? 0 , c ? R ,则 (a ? c )2 ? (b ? c) 2 的最小值为(

)

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2 2

D.

9 2

解:C. 12. (数学文卷·2017 届广东省惠州市高三上学期第二次调研模拟考试第 12 题)定义在 R 上的函数

3 y ? f ( x ) 满足 f (3 ? x) ? f ( x ) , ( x ? ) f ' ( x) ? 0 ,若 x1 ? x2 ,且 x1 ? x2 ? 3 ,则有( ) 2 A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.不确定 3 3 ' 解:由 f (3 ? x) ? f ( x ) 知函数 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? 对称,又因为 ( x ? ) f ( x) ? 0 ,所以 2 2 3 3 ' ' 当 x ? 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增;当 x ? 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减.因为 x1 ? x2 , 2 2 3 且 x1 ? x2 ? 3 ,得 ,易知 x1 距离对称轴 x ? 较近,其函数值较大.故选 A. 2
13. (数学文卷·2017 届山西省应县第一中学校高三上学期第二次月考第 12 题)若存在两个正实数 x ,
y x

x ,使得等式 x e e2 ( )A. [ , ??) 8
y

3

? ay 3 ? 0 成立,其中 e 为自然对数的底数,则实数 a 的取值范围为
B. (0,

e3 ] 27

C. [

e3 , ??) 27

D. (0,

e2 ] 8

et et et (t ? 3) ex y 解:由题意知 a ? ,设 ? t (t ? 0) ,则 a ? 3 ,令 f (t ) ? 3 ,则 f '(t ) ? ,当 t ? 3 4 y 3 x t t t ( ) x e3 e3 时, f '(t ) ? 0 ,当 0 ? t ? 3 时, f '(t ) ? 0 ,所以 f (t )min ? f (3) ? ,∴ a ? .选 C 27 27
14. ( 数学文卷· 2017 届云南省玉溪一中高三上学期期中考试第 12 题 ) ?ABC 中,若动点 D 满足 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ) CA ? CB +2 AB?CD ? 0 ,则点 D 的轨迹一定经过 ?ABC 的(

A.外心

B.内心

C.垂心

D.重心

解:A. 15. (数学文卷·2017 届重庆八中高三上学期第二次适应性考试第 12 题)已知函数

2x ? 1 ,且方程 f (| f ( x) | ? a) ? 0 有两个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是 2x ? 1 ( )A. [0, ??) B. (0, ??) C. [?1, 2) D. (?1, 2) f ( x) ? x ? sin x ?
解:B. 16. (数学文卷·2017 届重庆市秀山高级中学高三 10 月月考第 11 题)若分子为 1 且分母为正整数的分数称 为单位分数.我们可以把 1 分拆为若干个不同的单位分数之和. 如:1 ?

1 1 1 ? ? , 2 3 6

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ,1 ? ? ? ? ? ,……,依此类推可得: 2 4 6 12 2 5 6 12 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 6 12 m n 30 42 56 72 90 110 132 156 x? y?2 其中 m ? n , m, n ? N * .设 1 ? x ? m,1 ? y ? n ,则 的最小值为( ) x ?1 1?
A.

23 2

B.

5 2

C.

8 7

D.

34 3

解:C. 17. (河北衡水中学 2017 届高三上学期期中考试文科数学试卷第 16 题)如图,在三棱锥 A ? BCD 中, BC ? DC ? AB ? AD ? 2 , BD ? 2 ,平面 ABD ? 平面 BCD , O 为 BD 中点,点 P , Q 分别为线段

AO , BC 上的动点(不含端点) ,且 AP ? CQ ,则三棱锥 P ? QCO 体积的最大值为________.

解:

2 48
S 2 n ?1 ? n ? N * ? .若不等式

18. (数学(文)卷·2017 届]辽宁省大石桥市第二高级中学高三 10 月月考试题第 16 题)已知数列 ?an ? 是 各项均不为零的等差数列, S n 为其前 n 项和,且 an ?

? n?8 对任意 ? an n

n ? N * 恒成立,则实数 ? 的最大值为_____________.
解:9. 19. (数学(文)卷·2017 届黑龙江省肇州县第二中学高三 10 月月考试题第 16 题)若方程

x 2 ? 4 | x | ?5 ? m 有 6 个互不相等的实根,则 m 的取值范围为
解:(5,9)

.

20. (数学文卷·2017 届四川省成都外国语学校高三上学期 10 月月考第 16 题)数列 {an } 满足

4 1 1 1 a1 ? , an ?1 ? 1 ? an (an ? 1), n ? N * 且 S n ? ? ? ? ? ,则 S n 的整数部分的所有可能值构成的集合 3 a1 a2 an
是_______ 解:{0,1,2} 21. (福建省厦门市翔安第一中学 2017 届高三上学期期中考试第 22 题)已知函数 f ? x ? ? ax ? b ln x 在点
2

?1, f ?1? ? 处的切线为 y ? 1 .
(1)求实数 a , b 的值; (2)是否存在实数 m ,当 x ? ? 0,1? 时,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? m ? x ? 1? 的最小值为 0 ,若存在,求
2

出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. (3)若 0 ? x1 ? x2 ,求证:
2

x2 ? x1 ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1
b . x

解:(1)∵ f ? x ? ? ax ? b ln x ,其定义域为 ? 0, ?? ? ,∴ f ?( x ) ? 2ax ?
? f (1) ? a ? 1, 依题意可得 ? 解得 a ? 1, b ? 2 . ? f ?(1) ? 2a ? b ? 0.

(2) g ( x) ? f ( x) ? x2 ? m( x ? 1) ? m( x ? 1) ? 2ln x, x ? (0,1] , 2 mx ? 2 ∴ g ?( x ) ? m ? ? . x x ①当 m ? 0 时, g ?( x ) ? 0 ,则 g ( x ) 在 (0,1] 上单调递减,∴ g ( x ) min ? g (1) ? 0 . 2 m( x ? ) 2 m ②当 ? 1 即 0 ? m ? 2 时, g ?( x) ? ? 0 ,则 g ? x ? 在 (0,1] 上单调递减,∴ g ( x ) min ? g (1) ? 0 . m x

③当 0 ?

? 2? ?2 ? ? 2? 2 ? 1 即 m ? 2 时,则 x ? ? 0, ? 时, g ? ? x ? ? 0 ; x ? ? ,1? 时, g ? ? x ? ? 0 ,∴ g ( x ) 在 ? 0, ? m ? m? ?m ? ? m?
2 ?2 ? ?2? 2? ,1? 上单调递增.故当 x ? 时, g ? x ? 的最小值为 g ? ? .∵ g ? ? ? ? g (1) ? 0 . m ?m? ?m ? ?m?

上单调递减,在 ?

∴ g ( x ) min ? 0 . 综上所述,存在 m ? (??, 2] 满足题意 (3)证法 1:由(2)知,当 m ? 1 时, g ( x) ? x ? 1 ? 2ln x 在 (0,1) 上单调递减, ∴ x ? (0,1) 时, g ( x) ? g (1) ? 0 , 即 x ? 1 ? 2 ln x . x x x x ?x ∵ 0 ? x1 ? x2 , ∴ 0 ? 1 ? 1 . ∴ 1 ? 1 ? 2 ln 1 . ∴ 1 2 ? 2(ln x1 ? ln x2 ) . x2 x2 x2 x2 x2 ? x1 ∵ ln x2 ? ln x1 ,∴ ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1
证法 2:设 ? ( x ) ? 2 x2 (ln x2 ? ln x) ? x2 ? x(0 ? x ? x2 ) ,则 ? ?( x) ? ?
2 x2 x ? 2 x2 . ?1? x x

当 x ? (0, x2 ) , ? ?( x ) ? 0 ,∴ ? ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减,∴ ? ( x) ? ? ( x2 ) ? 0 .

∴ x ? (0, x2 ) 时, x2 ? x1 ? 2 x2 . 2 x2 (ln x2 ? ln x ) ? x2 ? x . ? 0 ? x1 ? x2 ,∴ 2 x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? x2 ? x1 . ? ln x2 ? ln x1 ,∴ ln x2 ? ln x1 22. (黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2017 届高三上学期期中考试数学(文)试题第 23 题)(Ⅰ)已知 2 2 2 x 2 ? y 2 ? 1 ,求 2 x ? 3 y 的取值范围; (Ⅱ)已知 a ? b ? c ? 2a ? 2b ? 2c ? 0 ,求证:

2a ? b ? c ? 3 2 .
解: (1)由柯西公式 ( x ? y )(4 ? 9) ? (2 x ? 3 y ) ,则 2 x ? 3 y ? 13, 所以- 13 ? 2 x ? 3 y ? 13 .
2 2 2

(2)由 a ? b ? c ? 2a ? 2b ? 2c ? 0 ,得 ( a-1) ? (1-b) ? (1-c) ? 3 ,

2

2

2

2

2

2

? 由柯西公式( (1-b) ? (1-c)? ? a -1) ? ? (4 ? 1 ? 1) ? ? 2( a ? 1) ? (1 ? b) ? (1 ? c) ?
2 2 2

2

得:18 ? (2a ? b ? c) ,所以 2a ? b ? c ? 3 2 .

2


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