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无锡市2014年高考数学三角函数和数列重点难点高频考点串讲二十七(教师版)


1.设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 0 .若 S2 ? 2a3 ,则 q 的取值范围是 ( ) A. ? ?1, 0 ? 【答案】B 【解析】 试题分析:由 S2 ? 2a3 ,即

? 1? ? 1 ? ? 0, ? B. ? ? , 0 ? ? 2? ? 2 ?

? 0,1?

C. ? ??, ?1?

1 1? ? ( , ??) D. ? ??, ? 2 2? ?

?1, ?? ?

a1 ?1 ? q 2 ? 1? q

? 2a1 q 2 ,又 a1 ? 0 ,可化为 2q2 ? q ? 1 ? 0 ,解得

1 x ? (? ,0) (0,1) . 2
考点:本题考查等比数列的前 n 项和公式. 2.在等差数列 an ? 中,a1 ? ?2012 ,其前 n 项和为 S n ,若 值等于( ) A.2011 B.-2012 【答案】C 【解析】 试题分析:等差数列中, S n =na1 ? C.2014

?

S 2012 S10 ? ? 2002 ,则 S 2014 的 2012 10

D.-2013

S n(n ? 1) S n d d , =a1 ? (n ? 1) , 即数列 { n } 是首项为 n 2 n 2 d S S a1 ? ?2012 , 公 差 为 的 等 差 数 列 ; 因 为 , 2012 ? 10 ? 2002 , 所 以 , 2 2012 10 d d (2012 ? 10) ? 2002 , ? 1 , 2 2

所以, S 2014 ? 2014 [(?2012 ) ? (2014? 1) ?1] ? 2014, 选C . 考点:等差数列的求和公式,等差数列的通项公式.

?( 2 ? 3 ) x? y? 6 ? 2 3 ? 0 ? xy 3 . 已 知 实 数 x, y 满 足 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 ,则 的取值范围是 ( x ? y ) (x ? y ) ? ? y? 3?0
______. 【答案】 ?

? 3 ? ,?? ? ? ? 2 ?

【解析】 试题分析:不等式组所表示的区域如下图:

1

xy xy ? 2 ? ( x ? y )( x ? y ) x ? y 2

y k? y x ?x k , 其 中 k 即 为 OP 的 斜 率 , 由 图 像 计 算 得 y2 1? k 2 1? 2 x
k 1? k 2 3 ,则 f '( k ) ? ? 0 ,故 ,1) ,令 f (k ) ? 1? k 2 3 (1 ? k 2 )2

A(2, 2), B(3, 3) ,观察可知 k ? (

f (k ) 是 k 的增函数,因此 f (k ) ?
? 3 ? ? ,?? ? ?. 2 ? ?

xy 3 ,没有最大值,所以 的取值范围是 ( x ? y )( x ? y ) 2

考点:1、线性规划;2、函数的单调性与值域;3、数形结合的思想.

6.设实数 x,y 满足 3≤ xy ≤8,4≤

2

x2 x3 ≤9,则 4 的最大值是_____ ____ y y

【答案】27 【解析】 2 7.已知函数 f(x)=x +ax+b(a,b∈R)的值域为 即 2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 0 ∵ A ? B ? C ? ?,∴ sin( B ? C ) ? sin A,∴ 2 sin A cos B ? sin A ? 0
2

1 2 sin A≠ 0,∴ cos B ? ? , B? ? 2 3 . 6分 ∵ ∵B 为三角形的内角,∴
(2)将 b ?

13,a ? c ? 4 ,B ?

2 ? 代入定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 得 8 分 3
9分

b 2 ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B ,
∴ 13 ? 16 ? 2ac(1 ? ∴ S △ABC

1 ) ,∴ac ? 3 2 1 3 ? ac sin B ? 3. 2 4
A 、 B 、 C

12 分

考点:本题主要考查正余弦定理. 9 . 在 ?ABC 中 , 角 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知 向 量

m ? (cos

3A 3A A A ,sin ), n ? (cos ,sin ), 且满足 m ? n ? 3 ,(1)求角 A 的大小; 2 2 2 2

(2)若 b ? c ? 3a, 试判断 ?ABC 的形状。 【答案】(1) A ? 60? (2) 直角三角形 【解析】 试题分析:(1)从向量的模长入手,化简后再利用三角余弦差角公式,可求得 A .(2) 判断三 角形的形状,用边的关系或是角的关系 ,显然 b ? c ? 3a, 不足以判断形状 ,再根据(1)的结 论,所以用正弦定理转化为角的关系,由 A 知 B, C ,可求角 B ,从而判断. 试题解析:(1) ? m ? n ? ? cos

? ?

3A A 3A A? ? cos , sin ? sin ? , 2 2 2 2?
2

3A A? ? 3A A? 3A A 3A A ? ? m ? n ? ? cos ? cos ? ? ? sin ? sin ? ? 2 ? 2(cos cos ? sin sin ) 2 2? ? 2 2? 2 2 2 2 ?

2

1 ? 3A A ? ? 2 ? 2 cos? ? ? ? 2 ? 2 cos A ? 3 ,所以 cos A ? ,则三角形中 A ? 60? . 2 ? 2 2?
(2)因为 b ? c ? 3a, 根据正弦定理有 sin B ? sin C ? 又 因 为

3 sin A ?
,

3 , 2
所 以

B ? C ? 120 ?

sin B ? sin ?120? ? B ? ?
所 以 sin ?B ? 30?? ?

3 3 3 cos B ? sin B ? 3 sin ?B ? 30?? ? , 2 2 2

3 , 则 在 三 角 形 中 B ? 30? ? 60?,或B ? 30? ? 120 ? , 所 以 2

3

B ? 30?或90? . 由(1)知三角形为直角三角形. 考点:向量的模的计算,用正弦定理实现边化角.
10.已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,满足 x 的不等式 x cosC+4xsinC+6≥0 对任意的 x∈R 恒成立. (1)求角 A 的值; (2)求 f(C)=2sinC·cosB 的值域. 【答案】 (1) A ?
2

b ? a sin B ? sin C ? ,关于 c sin B ? sin A

?
3

; (2) f (C ) ? ? ?1 ?

? ?

3 3? , ?. 2 2 ?

【解析】 试题分析: 本题主要考查解三角形中的正弦定理、 余弦定理的应用、 两角和与差的三角公式、 函数的值域等数学知识,考查学生灵活运用数学公式的能力、转化能力以及计算能力.第一 问,先利用正弦定理将角化为边,它类似于余弦定理的公式,再利用余弦定理求出 cos A , 利用三角函数值在 ?ABC 内求角,由于 0 ? A ? ? ,而 cos A ? 二问,因为 A ? B ? C ? 180 ,所以 B ?
0

2? ? C ,代入到解析式中,利用两角和与差的正 3
2

1 ? 0 ,所以 A 为锐角;第 2

余弦公式化简表达式,由于关于 x 的不等式 x cosC+4xsinC+6≥0 对任意的 x∈R 恒成立,所 以?

cos C ? 0 ,解出 cos C 的取值范围,在 ?ABC 中解出角 C 的取值范 2 ?? ? 16sin C ? 24cos C ? 0 ?

围,将得到的角 C 的范围代入到 f (c) 解析式中,求函数值域.

试题解析: (1)

b ? a sin B ? sin C ? c sin B ? sin A
2 2 2

b2 ? a 2 ? c 2 1 ? , 由正弦定理、余弦定理得 b ? a ? c ? bc,? cos A ? 2bc 2

?A ?

?
3

,???6 分

(2)

? 3 f (C ) ? 2sin C ? cos B ? ? sin(2C ? ) ? , 3 2
cos C ? 0
2

∵?

?

?? ? 16sin C ? 24cos C ? 0

? cos C ?

1 ? ?0?C ? 2 3

? ? ? ? Q 0 ? C ? ,? ? 2C ? ? ? ,sin(2C ? ) ? ?0,1? 3 3 3 3

4

? 3 3? f (C ) ? ??1 ? , ? ?12 分 2 2 ? ?
考点:1.正弦定理;2.余弦定理;3.两角和与差的正弦、余弦公式;4.函数值域. 11.若 f ( x) ? 3 cos2 ax ? sin ax cosax (a ? 0) 的图像与直线 y ? m(m ? 0) 相切,并且 切点横坐标依次成公差为 ? 的等差数列. (1)求 a 和 m 的值; (2) ? ABC 中 a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边.若 ( 对称中心,且 a=4,求 ? ABC 面积的最大值. 【答案】(1) a ? 1 , m ?

A 3 , ) 是函数 f ( x) 图象的一个 2 2

3 ? 1 (2) 4 3 2

【解析】 试题分析: (1)依次利用余弦降幂、 正弦倍角,辅助角公式化简函数 f(x),得到 f(x)的最简形 式

3 ? ? sin(2ax ? ) ,根据相切且切点有无数多个的条件可得 m 为函数 f(x)的最值(m>0 2 3

即为最大值),从而求的 m 的值, 再根据最值之间的距离即为函数 f(x)的周期(即周期为 ? ), 从而求的 a 的值. (2)从正弦函数的图像可以分析得到图像的对称中心 (

A 3 , ) 在正弦函数图像上 ,故带入 2 2

函数即可得到 A 角的值,再利用余弦定理与基本不等式求出 bc 的最值,从而得到三角形面积 的最值. 试题解析: (1) f ( x) ? 3 cos2 ax ? sin ax cosax =

3 ? ? sin(2ax ? ) 2 3

3分

由题意,函数 f ( x) 的周期为 ? ,且最大(或最小)值为 m ,而 m ? 0 ,

3 ?1 ? 0 2

所以, a ? 1 , m ?

3 ?1 2

6分

(2)∵(

? A 3 , ) 是函数 f ( x) 图象的一个对称中心∴ sin( A ? ) ? 0 3 2 2
?
3
, 再 由 角 A 9分

又因为 A 为⊿ABC 的内角,所以 A ?



1 3 S?ABC ? bc cos A ? bc 2 4













5

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? bc ? 16 ,则 b2 ? c 2 ? bc ? 16 ? 16 ? bc ( 基本不等式 b2 ? c2 ? 2bc ),所以 S?ABC ?
最大值 4 3 .

3 bc ? 4 3 ,综上当且仅当 b ? c ? 4 时, ?ABC 的面积取得 4

12 分

考点:三角函数 三角形余弦定理 基本不等式 12.已知 ? 为锐角,且 tan? ? 的首项 a1 ? 1 , a n ?1 ? f ( a n ) . (1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . 【答案】 (1) f ? x ? ? 2x ? 1 (2) S n ? 【解析】 试题分析: (1)先用正切的二倍角公式可得 2? 的正切值为 1,从而可得 2? ? 求得 sin(2? ?

? 2 ? 1 ,函数 f ( x) ? 2 x ? tan 2? ? sin(2? ? ) ,数列 ?an ? 4

1 2

n(n ? 1) 2

?
4

,从而可

?
4

) 的值,从而可得函数 f ( x) 的表达式。 (2)根据等差数列的定义可得数列

?an ? 是等差数列,从而根据等差的通项公式可求其通项,然后再用公式求数列的前 n 项和
Sn 。
试题解析: (1)由 tan 2? ?

2 tan? 2( 2 ? 1) ? ? ? 1, ?? 是锐角,? 2? ? 4 分 2 2 4 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1)

? sin( 2? ?
(2)

?
4

) ? 1 ? f ( x) ? 2 x ? 1 .6 分

1 a1 ? 1, an ?1 ? f ( an ) ,? an?1 ? an ? 1 2

? an?1 ? an ? 1(常数)8 分

??an ? 是首项为 a1 ? 1 ,公差 d ? 1 的等差数列,? an ? n ,
∴ Sn ?

10 分

n(n ? 1) .12 分 2

考点:1 三角函数的化简;2 数列的通项公式和前 n 项和。 13.设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,已知 a1 ? 1 ,且 (Sn?1 ? ? )an ? (Sn ? 1)an ?1 对 一切 n ? N * 都成立. (1)若 λ =1,求数列 ?an ? 的通项公式;

6

(2)求 λ 的值,使数列 ?an ? 是等差数列. 【答案】 (1)an = 2n?1(2)λ = 0. 【解析】 试题分析: (1)本题属于“已知 S n 求

an ”,利用 an ? S n ? S n?1 (n ? 2) 化简关系式. 因为
Sn ?1 ? 1 an ?1 ? Sn ? 1 an

(Sn?1 ? 1)an ? (Sn ? 1)an?1 ,所以先分离 S n 与 an ,即

,这是类等比,利用叠乘

法得到 Sn?1 ? 1 ? 2an?1 ,再利用

an ? S n ? S n?1 (n ? 2) ,消去 S n 得 an ?1 ? 2an .求数列{an}通

项公式时,需讨论当 n = 1 时是否满足 n ? 2 的情形.(2)解答本题需注意逻辑关系,由数 列

?an ? 是等差数列得 λ

= 0,这是一个必要条件,还需验证其充分性,即 λ = 0 时,数列

?an ? 是等差数列.这可类似(1)的解答过程.
试题解析:解: (1)若 λ = 1,则 (Sn?1 ? 1)an ? (Sn ? 1)an?1 , a1 ? S1 ? 1 .
Sn ?1 ? 1 an ?1 ? Sn ? 1 an

又∵ an ? 0,Sn ? 0 , ∴
S 2 ? 1 S3 ? 1 ? ? S1 ? 1 S2 ? 1 ?

, 2分
? an ?1 an



Sn ?1 ? 1 a2 a3 ? ? ? Sn ? 1 a1 a2



化简,得 Sn?1 ? 1 ? 2an?1 .①4 分 ∴当 n ≥ 2 时, Sn ? 1 ? 2an .②
an ?1 ?2 an

② ? ①,得 an ?1 ? 2an ,∴

( n≥2 ) .6 分

∵当 n = 1 时, a2 ? 2 ,∴n = 1 时上式也成立, ∴数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, an = 2n?1( n ? N * ) .8 分
2 (2)令 n = 1,得 a2 ? ? ? 1 .令 n = 2,得 a3 ? (? ? 1) . 10 分

要使数列

?an ? 是等差数列,必须有 2a2 ? a1 ? a3 ,解得 λ

= 0. 11 分

当 λ = 0 时, Sn?1an ? (Sn ? 1)an ?1 ,且 a2 ? a1 ? 1 . 当 n≥2 时, Sn?1 (Sn ? Sn ?1 ) ? (Sn ? 1)( Sn ?1 ? Sn ) ,

7

整理,得 Sn ? Sn ? Sn?1Sn?1 ? Sn?1 ,
2

S n ? 1 S n ?1 ? S n ?1 ? 1 S n ?

, 13 分

从而

S 2 ? 1 S3 ? 1 ? ? S1 ? 1 S2 ? 1

?

S n ? 1 S3 S 4 ? ? ? Sn ?1 ? 1 S2 S3

Sn ?1 Sn



化简,得 Sn ? 1 ? Sn ?1 ,所以 an ?1 ? 1 . 15 分 综上所述, an ? 1 ( n ? N * ) , 所以 λ

a = 0 时,数列 ? n ? 是等差数列. 16 分

考点:已知 S n 求

an

14.已知数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,向量 a ? (???,?n?) 与 b ? (?n ???,?Sn ?) ,且 a ? ? b , ? ? R (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求 {

3 1 } 的前 n 项和 Tn ,不等式 Tn ? log a (1 ? a) 对任意的正整数 n 恒成立,求 a 4 an an ? 2 1 . 2

的取值范围. 【答案】 (1) an ? n ; (2) 1 ? a ? 【解析】 试题分析: (1)求数列 {an } 的通项公式,由数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,向量 a ? (???,?n?) 与

b ? (?n ???,?Sn ?) ,且 a ? ? b , ? ? R 得, a / / b ,故 2Sn ? n( n? 1) 即 Sn ?

n(n ? 1) ,由 2

an ? Sn ? Sn?1 可得数列 {an } 的通项公式; ( 2 )求 {

1 } 的前 n 项和 Tn ,首先求数列 an an ? 2

{

1 1 1 1 ,可用拆项相消法来求出数列 { } 的通项公式 ? } 的前 n 项 an an ? 2 an an ? 2 n ? (n ? 2) an an ? 2
3 log a (1 ? a) 对 任 意 的 正 整 数 n 恒 成 立 , 即 4 3 3 1 1 1 3 l ao g ? a( 1 , ) 而 ? ?( ? )? , 故 4 4 2 n ?1 n ? 2 4

和 Tn , 再 由 不 等 式 Tn ?

3 ? 4 3 ? 4

1 1 1 ?( ? ) ? 2 n ? 1n ? 2 3 log a (1 ? a) ,从而可得 a 的取值范围. 4
∴ a / /b ∴ Sn ?

试题解析: (1)∵ a ? ? b

n(n ? 1) 2

? Sn ? Sn?1????n ? 2 an ? ? ? S1??????????????n ? 1

8



an ? n

4分

(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? n ? (n ? 2) a1a3 a2 a4 a3a5 an an?2 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? (1 ? ) ? ? ( ? ) ? ? ( ? ) ? ??? ? ? ( ? )? ?( ? ) 2 3 2 2 4 2 3 5 2 n ?1 n ? 1 2 n n ? 2 1 1 1 1 3 1 1 1 ? ? (1 ? ? ? ) ? ? ?( ? ) 8分 2 2 n ?1 n ? 2 4 2 n ?1 n ? 2 3 3 ∴ Tn ? 不等式 Tn ? log a (1 ? a ) 对任意的正整数 n 恒成立 4 4 3 3 ∴ ? log a (1 ? a) ∴ 1 ? log a (1 ? a) 10 分 4 4
∴?

?1 ? log a (1 ? a) ?0 ? a ? 1

∴ loga a ? loga (1 ? a)

∴ a ? 1? a



1? a ?

1 2

12 分

考点:数列的通项公式,数列求和,数列与不等式.

9


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