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2013版高中全程复习方略配套课件:4.4平面向量应用举例(人教A版·数学理)浙江专用


第四节 平面向量应用举例

三年12考

高考指数:★★★

1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

1.以向量为载体考查三角函数、解析几何等问题是考查重点,

也是热点.
2.以向量为工具解决平面几何问题是难点.

3.三大题型均可能出现,客观题主要考查向量的基础知识,与
三角函数、解析几何综合的题目主要以解答题形式出现,难度 中档偏上.

1.向量在平面几何中的应用

(1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算
及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、 长度、夹角等问题.

(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧 ①线平行、点共线、相似问题 利用共线向量定理:a∥b? a=λb(b≠0) ? ②垂直问题 利用数量积的运算性质:a⊥b ? a·b=0

③夹角问题
a? b 利用夹角公式:cosθ = | a || b |(θ 为a、b的夹角)

(3)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
运算 设向量 平面几何问题 ??? 向量问题 ??? 解决向量问题 ? ? 还原 ??? 解决几何问题 ?

【即时应用】

判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
? ??? ??? ? ①若 AB∥ AC ,则三点A、B、C共线. ??? ??? ? ? ②在△ABC中,若 AB?BC <0,则△ABC为钝角三角形. ??? ? ??? ?

( (

) )

③在四边形ABCD中,边AB与CD为对边,若 AB ? DC ,则此四边 形为平行四边形. ( )

【解析】①因 AB、 共始点A,且 AB ∥AC ,故①正确; AC
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ②∵ AB?BC <0? BA?BC>0,∴∠B为锐角,不能判断△ABC的 ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

形状,故②不正确; ③∵ AB ? DC , ∴ AB DC, 故③正确. ②〓 ③√
??? ? ??? ?

答案:①√

2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解 与合成和向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积.即 W=F·s=|F||s|cosθ (θ 为F与s的夹角).

【即时应用】

(1)已知两个力F1、F2的夹角为90°,它们的合力F的大小为
10N,合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为 .

(2)已知a=(cosx,sinx),b=(cosx,-sinx),则函数y=a·b的最小 正周期为 .

(3)如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 ______N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力,则合力的 坐标为______.

【解析】(1)如图所示.

|F1|=|F|cos60°=10〓 =5(N).
(2)∵y=a·b=cos2x-sin2x

1 2

=cos2x,
∴T= 2 ? =π.
2

(3)F1=(2,3),F2=(3,1), ∴合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4), ∴合力的大小为 52 ? 42 = 41(N).

答案:(1)5N

(2)π

(3) 41

(5,4)

向量在平面几何中的应用

【方法点睛】
平面几何问题的向量解法

平面向量在平面几何中的应用主要体现在:利用|a|可以求线段
的长度,利用cosθ =
a? b (θ 为a与b的夹角)可以求角,利用 | a |? b | |

a·b=0可以证明垂直,利用a=λ b(b≠0)可以判定平行等.

【提醒】向量关系与几何关系并不完全相同,要注意区别,例

如:向量 AB ∥CD 并不能说明直线AB∥CD.

??? ?

??? ?

【例1】(2011·天津高考)已知直角梯形ABCD中, AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则 |PA ? 3PB|的最小值为
??? ? ???

.

【解题指南】以直角顶点为原点建立平面直角坐标系,用参数 表示出点P、C、B、A的坐标,进而表示出| PA ? 3PB |,然后转 化为函数问题求解.
??? ? ???

【规范解答】建立平面直角坐标系如图所示. 设P(0,y),C(0,b),则B(1,b),A(2,0),则
??? ??? ? PA ? 3PB=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y). ??? ??? 2 ? ∴| PA ? 3PB | =25+(3b-4y)2(0≤y≤b),

当y=

??? ??? ? ??? ??? ? 3 b时,|PA ? 3PB |最小,|PA ? 3PB |min=5. 4

答案:5

【反思·感悟】平面几何问题的向量解法 (1)坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体
的坐标,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问

题得到解决.
(2)基向量法 适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量共线构造 关于设定未知量的方程来进行求解.

向量在三角函数中的应用 【方法点睛】 平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向

量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其

他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数
在定义域内的有界性,求得值域等.

【例2】(2012·嘉兴模拟)已知m=(sinA,

1 )与 2

n=(3,sinA+ 3 cosA)共线,其中A是△ABC的内角.

(1)求角A的大小;
(2)若BC=2,求△ABC的面积S的最大值,并判断S取得最大值

时△ABC的形状.

【解题指南】(1)利用m∥n得出关于A的方程进而求角A. (2)由S△ABC= bcsinA,只需利用a2=BC2=b2+c2-2bccosA=4,求出 bc的最大值即可.
1 2

【规范解答】(1)因为m∥n,所以sinA·(sinA+ 3 cosA)- =0, 2
3 所以 1 ? cos2A + 3 sin2A- =0, 2 1 ? 即 3 sin2A- cos2A=1,即sin(2A- )=1,

3

2

2

6 ? ? 11 因为A∈(0,π),所以2A- ∈(- , ? ),故2A- ? = ? ,A= ? . 6 6 6 6 2 3

2

2

(2)由余弦定理,得4=b2+c2-bc,
1 又S△ABC= bcsinA= 3 bc, 2

4

而b2+c2≥2bc? bc+4≥2bc? bc≤4(当且仅当b=c时等号成), ? ?
所以S△ABC= 1 bcsinA= 3 bc≤ 3〓4= 3 .
2

4

4

当b=c时,△ABC的面积取最大值 3 ,又A= ,故此时△ABC为等 3 边三角形.

?

【反思·感悟】1.该类题的解题关键 先把向量关系转化为向量的运算,再进一步转化为三角函数的

运算,解题关键是“转化思想方法的应用”.
2.向量在该类题中的作用

向量作为载体,通过向量间的平行、垂直关系转化为三角函数
运算.

平面向量在解析几何中的应用 【方法点睛】 向量在解析几何中的作用 (1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,

解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外
衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、

斜率、夹角、轨迹、最值等问题.

(2)工具作用:利用a⊥b? a·b=0,a∥b? a=λ b(b≠0),可 ? ? 解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对 于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.

【例3】已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P使 NM?NP, ?PN PM ,
???? ???? ? MP?MN 成公差非负的等差数列.

???? ??? ???? ??? ? ? ?

(1)求点P的轨迹方程;
(2)若θ 为 PM与PN 的夹角,求θ 的最大值及此时点P的坐标.
???? ??? ?

【解题指南】(1)设P(x,y),直接求点P的轨迹方程;
(2)先求出cosθ的范围,再求θ的最大值.

【规范解答】(1)设点P坐标为(x,y),则 PM ? ?MP
=(-1-x,-y),PN ? ? NP =(1-x,-y),
???? ??? ? ? ???? ? ???? ? MN ? ? NM =(2,0),∴ NM?NP =2(1-x), ???? ??? 2 2 ? PM?PN =x +y -1, ???? ???? ? MP?MN =2(1+x), ??? ? ??? ?

????

????

?2 ? x 2 ? y 2 ? 1? ? 2 ?1 ? x ? ? 2(1 ? x) 依题意得 ? , ? ?2 ?1 ? x ? ? 2 ?1 ? x ? ? 0 ? 2 2 ? ? x ? y ? 3. ?? ?x ? 0

∴点P的轨迹方程为x2+y2=3(x≥0).

???? ??? ? (2)∵PM?PN =(-1-x,-y)·(1-x,-y)

=x2+y2-1=2,
??? ? ???? | PM |·| PN |=
2 2 ?1 ? x ? ? ? ? y ? · ?

? 2 4 ? x2 . ???? ??? ? PM ∴cosθ= ???? ?PN? ? 1 . ??? | PM |? PN | | 4 ? x2 ? ∵0≤x≤ 3 ,∴ 1 ≤cosθ≤1,∴0≤θ≤ . 3 2 ∴θ的最大值为 ? ,此时x=0, 3

?1 ? x ? ? ? ? y ?
2

2

∴点P的坐标为(0,〒 3 ).

【反思·感悟】1.向量法解决平面解析几何问题的关键是把点 的坐标转换成向量的坐标,然后进行向量的运算. 2.相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到,必须 熟练掌握.

【易错误区】忽视对直角位置的讨论致误

【典例】(2012·烟台模拟)已知平面上三点A、B、C,
??? ? ??? ? =(2-k,3),AC =(2,4). BC

(1)若三点A、B、C不能构成三角形,求实数k应满足的条件; (2)若△ABC为直角三角形,求k的值.

【解题指南】(1)三点A、B、C不能构成三角形,即A、B、C三点 共线.

(2)对A、B、C谁为直角顶点进行分类讨论.
【规范解答】(1)由三点A、B、C不能构成三角形,得A、B、C
??? ??? ? ? 在同一直线上,即向量 BC与AC 平行, ??? ??? ? ? 1 ∵BC∥ ,∴4(2-k)-2〓3=0,解得k= . AC 2

??? ? ??? ? (2)∵BC =(2-k,3),∴ CB =(k-2,-3), ??? ??? ??? ? ? ? ∴AB ? AC ? CB =(k,1).

∵△ABC为直角三角形,
则当∠BAC是直角时, ? AC,即AB?AC =0, AB ∴2k+4=0,解得k=-2; 当∠ABC是直角时, ? BC,即AB?BC =0, AB ∴k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1;
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 当∠ACB是直角时, ? BC,即AC?BC =0, AC ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ?

∴16-2k=0,解得k=8. 综上得k∈{-2,-1,3,8}.

【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结,我们可以得到如下

误区警示和备考建议:
解答本题易出现以下两个错误:

误区
警示

(1)由于思维定势误认为第(2)问中的∠A一定 是直角,从而使解答不完整. (2)混淆向量坐标运算中垂直与平行的充要条件导

致错误.

建议在学习平面向量的应用时,要高度关注: 备考 建议

(1)加强向量的应用意识,自觉地用向量的思想
和方法去思考问题,考虑问题要全面. (2)要熟记向量运算中的常用公式,如向量平行或 垂直的坐标运算等.

1.(2012·合肥模拟)设△ABC的三个内角A,B,C,向量
m=( 3 sinA,sinB),n=(cosB, 3cosA),若m·n=1+cos(A+B), 则C=( (A)
? 6

)
? (B) 3 2 (C) ? 3
5 (D) ? 6

【解析】选C.∵m·n= 3 (sinAcosB+cosAsinB) = 3 sin(A+B)= 3 sinC,

∴ 3 sinC=1+cos(A+B)=1-cosC,
∴ 3 sinC+cosC=1,
? 6 ? 1 )= , 2 6 6 6

∴2sin(C+ )=1,sin(C+

∵C∈(0,π),∴C+ ? ∈( ? , 7 ? ),
6 ? ∴C+ = 5? ,∴C= 2 ? . 6 3 6

2.(2012·绍兴模拟)已知O是△ABC所在平面上一点, 若 OA?OB ? OB?OC ? OC?OA ,则O是△ABC的( (A)内心 (B)重心 (C)外心
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

)

(D)垂心

???? ??? ??? ??? ? ? ? 【解析】选D.由 OA?OB ? OB?OC , ??? ??? ??? ? ? ? 得 OB? OA ? OC) 0, ( ? ??? ??? ? ? 即 OB?CA =0,∴OB⊥CA.

同理:OA⊥BC,OC⊥AB, ∴O是△ABC的垂心.

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 3.(2012·北京模拟)在△ABC中, ?AC ? 1 AB?BC ? ?3. AB ,

(1)求△ABC的边AB的长; (2)求 sin ? A ? B ? 的值.
2 2 2 b 2 ? c 2 ? a 2 ,cosB= c ? a ? b 【解析】(1)∵cosA= , 2ca 2bc ? ? ??? ??? ? ? b 2 ? c 2 ? a 2 =1,??? ??? ∴ AB?AC =cbcosA= AB?BC 2 ??? ??? ? ? c 2 ? a 2 ? b 2 =-3, =- BA?BC =-cacosB=2

sinC

∴b2+c2-a2=2,a2+c2-b2=6? c2=4? c=2, ? ? 即AB=2.

(2)∵?

?cbcosA ? 1 , ?cacosB ? ?3 ?

∴acosB=3bcosA,

∴sinAcosB=3sinBcosA.

sin ? A ? B ? sinC

=

sin ? A ? B ? sin(A ? B)

= sinAcosB ? cosAsinB ? 1 .
sinAcosB ? cosAsinB 2


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