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1.3简单逻辑联结词


新课引入

我们来看几个复杂的命题:

(1)10可以被2或5整除.
(2)菱形的对角线互相垂直且平分. (3)0.5非整数. “或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有 逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联结 词的命题称为简单命题.

思考?
下列三个命题间有什么关系?

/>(1)12能被3整除;
(2)12能被4整除;

(3)12能被3整除且能被4整除.

一般地,用逻辑联结词 “且”把命题p和 命题q联结起来.就得到一个新命题,记作:

p?q

读作“ p且q”.

开关p,q的闭合对应命 题的真假,则整个电路 的接通与断开分别对 应命题 p ? q 的真与假.
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p且 q 真 假 假 假

p

q

一假必假
规定:当p,q都是真命题时,

p ? q 是真命题;当p,q两个
命题中有一个命题是假命 题时, p ? q 是假命题.

精例分析

例1.将下列命题用“且”联结成新命题,并 判断它们的真假: (1)p:平行四边形的对角线互相平分,q:平 行四边形的对角线相等. (2)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对 角线互相平分.

练习1.用逻辑联结词“且”改写下列命题, 并判断它们的真假: (1)1既是奇数,又是素数; (2)2和3都是素数.

思考? 下列三个命题间有什么关系? (1)27是7的倍数; (2)27是9的倍数; (3)27是7的倍数或是9的倍数.
一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和 命题q联结起来.就得到一个新命题,记作:

p?q

读作“ p或q”.

开关p,q的闭合对应命 题的真假,则整个电路 的接通与断开分别对 应命题 p ? q 的真与假.
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 P或q

p
q

真 真 真

一真必真
规定:当p,q两个命题中有一 个是真命题时, p ? q 是真命 题;当p,q两个命题都是假命 题时, p ? q 是假命题.



例2.判断下列命题的真假
(1)2 ? 2;

(2)集合A是 A ? B 的子集或是 A ? B的子集;
(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等 的两个三角形全等.

思考?

如果 p ? q 为真命题,那么 p ? q 一定是真 命题吗? 反之,如果 p ? q为真命题,那么 p ? q 一定是真命题吗?

练习2.判断下列命题的真假:

(1)47是7的倍数或49是7的倍数;

(2)等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直。

思考? 下列命题间有什么关系? (1)35能被5整除; (2)35不能被5整除.
一般地,对一个命题p全盘否定,就 ?p 得到一个新命题,记作: 读作”非p”或”p的否定”

若p是真命题,则 ? p 必是假命题;若p 是假命题,则 ? p 必是真命题.

? p

p 真 假

非p 假 真

你真我假

例3.写出下列命题的否定,并判断它们的 真假:
(1)P:y=sinx是周期函数; (2)P:3<2; (3)P:空集是集合A的子集; (4)p:π是无理数 ; (5)p:等腰三角形的两个底角相等; (6)q:等腰三角形底边上的高和底边上的 中线重合.

练习3.写出下列命题的否定,然后判断他 它们的真假: (1)2+2=5;

(2)3是方程x2-9=0的根;

?3? ?? 1?

2

? ?1

4.写出下列语句或命题的否定形式. (1)a=±1;
(2)x>0且x≠1.
注:逻辑联结词中的“或”相当于集合中的“并 集”,它与日常用语中的“或”的含义不同.日常 用语中的“或”是两个中任选一个,不能都选,而 逻辑联结词中的“或”,可以是两个都选,也可以 两个只选一个,也就是两个中至少选一个.因此, 有三种可能的情况.

逻辑联结词中的“且”相当于集合中的“交 集”,即两个必须都选.

对逻辑联结词或、且、非含义的理解
或 且
两者至少有一个

并集
交集

两者同时兼有



否定

补集

“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面 至多有 至少有 任意的 所有的 一个 一个 否定 ≠ ≤ 不 不都是 至少有 没有一 某个 某些 是 两个 个 = > 是 都是

注:如何写出一个命题的否定命题? (1)一些正面词语的否定; (2)“p或q”,“p且q”形式命题的否定.

例4.在一次模拟打飞机的游戏中,小李 连续射击了两次,设命题p1是“第一次 射击击中” , 命题p2是“第二次射击击中” , 试用p1,p2以及联结词“或” “且” , “非” , 表示下列命题 : (1)两次都击中飞机;p1 ? p2
?p ? ?p ?2?两次都没击中飞机;
1 2

? ?? p1 ? p2 ?

p1 ? p2 (3)至少有一次击中飞机;

(4)恰有一次击中飞机. ??p1 ? p2 ? ? ? p1 ? ?p2 ?

例5.已知命题p:关于x的不等式x2+ax+a≤0的解 x 集为?;命题q:函数y ? ? a ? 1? 为增函数,若p或 q为真命题,p且q为假命题,求实数a的取值范围.
解:由命题P:关于x的不等式 x 2 ? ax ? a ? 0 的解集是空集, 得 ? ? a2 ? 4a ? 0,解得 0 ? a ? 4 x y ? a ? 1 ? ? 为增函数,得 a ? 2 由命题q:函数 若P或q为真命题, P且q为假命题,则P, q一真一假.
?0 ? a ? 4 ①若P真q假,则 ? , ? a?2

解得 0 ? a ? 2 解得 a ? 4

?a ? 0或a ? 4 ②若P假q真,则 ? , a?2 ?

综上,实数a的取值范围为 ? 0, 2? ? ?4, ???

练习5.已知命题p:方程x2-mx+1=0有两个不 等正根,命题q:方程x2+4(m-2)x+4=0无实根. 若 “p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求m 的取值范围.

课堂小结

1.“且”,“或”,“非”命题的定 义; 2.“且”,“或”,“非”命题真假性的 判断.

思考:否命题与命题的否定的区 别?
(1)否命题:否定条件,也否定结论. (2)命题的否定:只否定结论,不否定条件. (3)原命题: 若 p , 则 q . 否命题: 若 ┐p , 则┐q .

命题的否定: 若 p ,则┐q .

例:写出命题p: “正方形的四条边相等” 的否定与它的否命题. 命题p的否定(┓p):正方形的四条边不相等.

p的否命题: 若一个四边形不是正方形, 则它的四条边不相等.

课外作业: 2 1.(1)命题 “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” 的否定是______; 2 (2)命题 “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” 的否命题是______.

(1) 若 x ? 1 ,则 x 不一定为 1; 2 (2) 若 x ≠1,则 x ≠1.
2

2.已知 c>0,设 p:函数 y ? c x 在 R 上递减; 1 2 q:函数 f (x) ? x ?cx 的最小值小于 ? .如果 16 “ p或q ”为真,且“ p且q ”为假,则实数
? 1? ? 0, ? ? ?1, ?? ? ? 2? c 的取值范围为__________.


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