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2014届高考数学(理)二轮复习回归训练 第一部分 微专题训练-第7练 解析几何的定点定值范围问题


【回归训练】 一、 填空题 1. 无论m为何值,直线l:(m-2)x+3y+2m=0恒过定点 .

x2 y 2 2 2 2. 若 AB 是过椭圆 a + b =1 中心的任一条弦 ,M 是椭圆上异于 A,B 的任一点 , 且

AM,BM均与坐标轴不平行,则kAM·kBM为定值 3. 如图,M为椭圆

.

1

+y2=1上任意一点,P为线段OM的中点,则

PF1 · PF2 的最小值为

.

(第3题)
x2 y2 4. 已知椭圆 25 + 9 =1,A(4,0),B(2,2) 是椭圆内的两点 ,P 是椭圆上任一点 , 则
5 4 PA+PB的最小值为

.

x2 y 2 2 2 5. 已知椭圆 C: a + b =1 a>b>0 的左顶点为A, 右焦点为 F,点 M 在右准线l上运
1 动 , 记 直 线 AM,OM,FM 的 斜 率 分 别 为 k1,k2,k3, 若 椭 圆 C 的 离 心 率 为 2 , 则

k1 ? k3 k2 =

.

x2 1 2 6. 不过椭圆 O: 4 +y =1的右顶点的动直线 y= 2 x+m交椭圆 O于 P,Q 两点 ,则 P,Q 两

点的横坐标的平方和为定值

.

x2 y 2 2 2 7. 已知点P是双曲线 a - b (a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右

焦点,H为△PF1F2的内心,若

S

HPF 1

=

S

HPF2



S

HF 1F2

成立,则λ =

.

x2 y2 8. 已知椭圆 25 + 9 =1,A(4,0),B(2,2) 是椭圆内的两点 ,P 是椭圆上任一点 , 则

PA+PB的最小值和最大值分别为 二、 解答题

.

9. 已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB(O为坐标原点).求证:
2

(1) A, B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别都是定值; (2) 直线AB经过一定点.

x2 y 2 2 2 10. 已知点 A(1,1) 是椭圆 a + b =1(a>b>0) 上一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点, 且

满足AF1+AF2=4. (1) 求椭圆的方程及离心率; (2) 设点C,D是椭圆上的两点,直线AC,AD的倾斜角互补,试判断直线CD的斜率是 否为定值,并说明理由.

x2 y 2 2 2 11. 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆 a + b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为

3 F1(-c,0),F2(c,0). 已知点 (1,e) 和点 e, 2

都在椭圆上 , 其中 e 为椭圆的离心

率. (1) 求椭圆的方程; (2) 设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于 点P.

(第11题)
6 Ⅰ) 若AF1-BF2= 2 ,求直线AF1的斜率;

Ⅱ) 求证:PF1+PF2是定值.
3

4

第7 练
【方法引领】

解析几何的定点定值范围问题



—定点已知 —代入曲线方程即可 直接推理,转化为多项式恒成立 能求出曲线方程 — — 或有无数解等问题,然后令参变 (或曲线方程已知) 量(可能多个)的系数全为零即可 先观察、推理从特殊入手, 先求出定点坐标,再证明 该定点符合题意(即与参 变量无关),但要注意完备性

—定点问题 —



直接 — —定点未知 — 考查



曲线方程求不出(或 计算等非常复杂)



—间接考查 —找出定点,解决问题 —利用圆锥曲线的定义,如椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值等 —定值问题 — — 适当引入参变量,把相关几何量用曲线系里的参变量表示,再证明结论与 参数无关

—范围问题 —

—建立函数,用求值域的方法求范围 —建立不等式,通过解不等式求范围

5

第7练
4 -2,- 3

解析几何的定点定值范围问题

1.

b2 2 2. - a
7 3. - 4
17 4. 4

5. 2 6. 4

a
7.

a ? b2
2

8. 10-2 10

10+2 10

9. (1) 设直线OA的方程为y=kx(k≠0),
1 则直线OB的方程为y=- k x,

? y ? kx, 2p 2p ? 2 2 由 ? y ? 2px, 得A k , k ,
同理得B(2k2p,-2kp),
2p 2p 2 2 2 所 以 A,B 两 点 横 坐 标 之 积 为 k × 2k p=4p 为 定 值 , 纵 坐 标 之 积 为 k ×

(-2kp)=-4p2也为定值.

6

2p k 3 -k 2 p -2k p-2kp -k (k 2 ? 1) 2k 2 p- 2 4 4 k = 2k p-2p = k -1 = k 2 -1 , 所以直线 AB 的方程为 (2) 由 (1) 知 kAB= -2kpk 2 -1 -k 2 y+2kp= k -1 (x-2k2p), 化简得 (k2-1)y+kx-2kp=0, 即 k y+x-2p=0. 所以直线AB 过

定点(2p,0).
x2 y 2 2 2 10. (1) 因为点A(1,1)是椭圆 a + b =1(a>b>0)上的一点,F1,F2是椭圆的两焦点,
1 1 2 2 所以 a + b =1,AF1+AF2=2a=4,

2 6 8 4 c 6 3 所以a=2,b2= 3 ,所以c2=a2-b2= 3 ,所以离心率e= a = 2 = 3 ,
x2 3y2 且椭圆的方程为 4 + 4 =1.

(2) 设点C(xC,yC),D(xD,yD).因为AC,AD的倾斜角互补,所以kAC+kAD=0. 设直线AC的方程为y-1=k(x-1),则直线AD的方程为y-1=-k(x-1).
? y-1 ? k (x-1), ? 2 ? x 3y2 ? 1, ? ? 4 由? 4 得(1+3k2)x2+3(2k-2k2)x+3(k2-2k)-1=0.

因为点A的横坐标x=1是该方程的一根,
3(k 2 -2k)-1 2 所以xC= 1 ? 3k . 3(k 2 ? 2k)-1 2 同理,xD= 1 ? 3k ,

yC -yD k (xC -1) ? 1 ? k(xD -1)-1 k (xC ? xD )-2k 1 xC -xD xC -xD 所以kCD= xC -xD = = = 3 (为定值).
7

1 故直线CD的斜率为定值 3 .

c 11. (1) 由题设知,a2=b2+c2,e= a ,由点(1,e)在椭圆上,得

12 e 2 c2 1 a 2 + b 2 =1, a 2 + a 2b 2 =1,b2+c2=a2b2,所以a2=a2b2,b2=1,所以c2=a2-1.

3 由点 e, 2 在椭圆上,得

? 3? ? 3? ? ? ? ? c2 ? 2 ? c2 ? 2 ? a 2 -1 3 a 4 + b 2 =1, a 4 + 1 =1, 即 a 4 + 4 =1, 整理得 a4-4a2+4=0, 解得 a2=2. 所以
x2 椭圆的方程为 2 +y2=1.

2

2

(2) 由(1)得F1(-1,0),F2(1,0),又因为AF1∥BF2, 所以设AF1,BF2的方程分别为my=x+1,my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.
? x12 2 ? ? y1 ? 1, ?2 m ? 2m 2 ? 2 2 ? m2 ? 2 所以 ?my1 ? x1 ? 1, 消去x1得(m2+2) y1 -2my1-1=0,解得y1= .


(x1 ? 1) 2 ? (y1 -0) 2 (my1 ) 2 ? y12



AF1=

=

=

m2 ?1

·

m ? 2m 2 ? 2 m2 ? 2

=

2(m2 ? 1) ? m m2 ? 1 m2 ? 2 .①
2(m2 ? 1)-m m2 ? 1 m2 ? 2 同理,BF2= . ②

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 2 2 Ⅰ) 由①②得,AF1-BF2= m ? 2 .所以 m ? 2 = 2 ,解得m2=2.

8

因为注意到m>0,所以m= 2 .
1 2 所以直线AF1的斜率为 m = 2 .

PB BF2 Ⅱ) 因为AF1∥BF2,所以 PF1 = AF1 ,

PB PB ? PF1 BF2 ? AF1 BF2 AF1 即 PF1 +1= AF1 +1, PF1 = .

AF1 所以PF1= AF1 ? BF2 BF1. AF1 由点B在椭圆上知,BF1+BF2=2 2 ,所以PF1= AF1 ? BF2 (2 2 -BF2). BF2 同理,PF2= AF1 ? BF2 (2 2 -AF1). AF1 BF2 2 AF1 F2 所以PF1+PF2= AF1 ? BF2 (2 2 -BF2)+ AF1 ? BF2 (2 2 -AF1)=2 2 - AF1 ? BF2 .
m2 ? 1 2 2(m2 ? 1) 2 3 2 2 2 由①②得,AF1+BF2= m ? 2 ,AF1·BF2= m ? 2 ,所以PF1+PF2=2 2 - 2 = 2 .

所以PF1+PF2是定值.

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