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全国高中数学联赛真题之集合函数专题


集合函数专题 1、 (2000 一试 1)设全集是实数,若 A={x| x ? 2 ≤0},B={x| 10 x ( (A) ) {2} (B) {?1} (C) {x|x≤2}
2 2
2

?2

= 10 x },则 A ? B 是
?

(D)

2、 (2001 一试 1)已知 a 为给定的实数,那么集合 M={x|x -3x-a +2=0,x∈R}的子集的个数 为( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定

5、 (2002 一试 5)已知两个实数集合 A={a1, a2, … , a100}与 B={b1, b2, … , b50},若从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中的每一个元素都有原象,且 f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100),则这样的映 射共有( )
50 (A) C100 50 (B) C 90 49 (C) C100 49 (D) C 99

7、 ( 2006 一试 5 )设 f ( x) ? x3 ? log2 x ? x 2 ? 1 ,则对任意实数 a , b , a ? b ? 0 是

?

?

f (a) ? f (b) ? 0 的(

) B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分必要条件 C. 必要而不充分条件
[来源:Z§xx§k.Com]

8、(2007 一试 6)已知 A 与 B 是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A 与 B 的元 素个数相同, 且为 A∩B 空集。 若 n∈A 时总有 2n+2∈B, 则集合 A∪B 的元素个数最多为 ( ) A. 62 B. 66 C. 68 D. 74

9、 (2008 一试 1)函数 f ( x) ? (A)0

5 ? 4 x ? x2 在 (??, 2) 上的最小值是 ( 2? x
(C)2

) 。 (D)3

(B)1

10、(2008 一试 2) 设 A ? [?2, 4) , B ? {x x 2 ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围 为( ) 。 (B) [?1, 2] (C) [0,3] (D) [0,3)

(A) [?1, 2)

11、 (2001 一试 11) 函数y=x+

的值域为______________.

13、 (2002 一试 11) 若 log4 ( x ? 2 y) ? log4 ( x ? 2 y) ? 1 , 则|x|?|y|的最小值是



14、 (2003 一试 9)已知 A={x|x -4x+3<0,x∈R}, B={x|2 x∈R} 若 A?B,则实数 a 的取值范围是 .

2

1-x

+a≤0,x -2(a+7)x+5≤0,

2

17 、( 2005

一 试

8 ) 已 知 f ( x) 是 定 义 在 (0,??) 上 的 减 函 数 , 若

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 4a ? 1) 成立,则 a 的取值范围是

19、 (2008 一试 11)设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ? R ,满 足

)= f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2x , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2x ,则 f (2008
20、 (2009 一试 1) 若函数 f ? x ? ?
x

.

f ? f ? x ?? 且 f (n) ? x ? ? f ? 则 f ?99? ?1? ? ?? ?? ?f ? ?, ??? ???? ? 1? x
2



n

21、 (2009 一试 6)若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是 22、 (2010 一试 1)函数 f ( x) ?



x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是

.

23、 (2010 一试 5)函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值 为 8,则它在这个区间上的最小值是 .

24、 (2011 一试 1)设集合 A ? {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的 集合为 B ? {?1, 3, 5, 8} ,则集合 A ? .
[来源:Z_xx_k.Com]

25、 (2011 一试 2)函数 f ( x) ?

x2 ? 1 的值域为 x ?1



? 26、 (2012一试6)设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x .若对任意 的 x ? [a, a ? 2] ,不等式 f ( x ? a) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

1 13 27、 (2000 一试 14)若函数 f ( x) ? ? x 2 ? 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b, 2 2 求[a,b].

28、 (2002 一试 15)设二次函数 f(x)=ax +bx+c (a,b,c∈R,a≠0)满足条件: ① 当 x∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)≥x; ② 当 x∈(0,2)时,f(x)≤ (

2

x ?1 2 ) 2

③ f(x)在 R 上的最小值为 0。 求最大值 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x

29、 (2002 一试 15)实数 a,b,c 和正数?使得 f(x)=x +ax +bx+c 有三个实根 x1,x2,x3,且满 足

3

2

1 2a 3 ? 27c ? 9ab 3 3 ① x2-x1= ? ?, ②x3> (x1+x2) ,求证; ? 2 2 ?3

30、 (2005 二试 2)设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy ? bz ? a, az ? cx ? b; bx ? ay ? c.

x2 y2 z2 求函数 f ( x, y, z ) ? 的最小值. ? ? 1? x 1? y 1? z

31 、 ( 2006

一 试

15 ) 设

f ( x) ? x2 ? a .



f 1 ( x) ? f ( x) ,

f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ,n ? 2,3,? ,
1? ? M ? a ? R 对所有正整数 n, f n (0) ? 2 . 证明: M ? ?? 2, ? . 4? ?
32、 (2007 一试 15)设函数 f(x)对所有的实数 x 都满足 f(x+2π )=f(x),求证:存在 4 个 函数 fi(x)(i=1,2,3,4)满足:(1)对 i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数 x, 有 fi(x+π )=fi(x); (2) 对任意的实数 x, 有 f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。

?

?

33、 (2008 二试 2)设 f ( x ) 是周期函数, T 和 1 是 f ( x) 的周期且 0 ? T ? 1 .证明: (1)若 T 为有理数,则存在素数 p ,使

1 是 f ( x) 的周期; p

( 2 ) 若 T 为 无 理 数 , 则 存 在 各 项 均 为 无 理 数 的 数 列 {an } 满 足 1 ? an ? an?1 ? 0

(n ? 1, 2, ???) ,且每个 an

(n ? 1, 2, ???) 都是 f ( x) 的周期.

34 、 ( 2011 一 试 9 ) 设 函 数 f ( x) ?| lg(x ? 1) | , 实 数 a, b(a ? b) 满 足 f (a) ? f (?
f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,求 a , b 的值.

b ?1 ), b?2


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