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山东省淄博市2013届高三下学期4月复习阶段性检测(二模)数学(理)试题


HLLYBQ 整理
山东省淄博市 2013 届高三下学期 4 月复习阶段性检测

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数学(理)试题

本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 5 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟,考试结束后,将试卷和答题卡一并上交. 注意事项: 1.答题前,考生务

必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 1 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、 胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式: 锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

如 果 事 件 A,B 互 斥 , 那 么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? ; 如 果 事 件 A,B 独 立 , 那 么

P ? AB? ? P ? A? ? P ? B? .
第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
x 1.集合 A ? ??1, 0,1? , B ? y y ? e , x ? A ,则 A ? B =

?

?

A. ?0? 2.复数 A. ?1

B. ?1?

C. ?0,1?

D. ??1,0,1 ?

1? i (i 是虚数单位)的共轭复数的虚部为 1? i
B.0 C.1 D.2

·1·

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3.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 a13 ? S13 ? 13,则a1 ? A. ?14 B. ?13 C. ?12 D. ?11

4.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是 A.1 C.3 B.2 D.4

5.函数 f ? x ? ? 2 x ? tan x在 ? ?

? ? ?? , ? 上的图象大致为 ? 2 2?

6.在 ?ABC 中, sin A ? “ A.充分不必要条件 C.充要条件

? 3 ”是“ ?A ? ”的 3 2
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ABCD 中 ,

7. 如 图 , 平 行 四 边 形

A B 2 , A ?D 1 ? ? ,
AM ?
A. ?

?

, 点 M 在 AB 边 上 , 且 A 6 0 ?

???? ??? ? ? 1 AB ,则 D M D等于 ? B 3
B.

3 2

3 2

C. ?1

D.1

8.市内某公共汽车站 6 个候车位(成一排) ,现有 3 名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有 2 个 连续空座位的候车方式的种数是 A.48 B.54 C.72 D.84
·2·

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?x ? 0 ? 9.已知 x,y 满足条件 ? y ? x (k 为常数) ,若目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k= ?2 x ? y ? k ? 0 ?
A. ?16 B. ?6 C. ?

8 3

D.6

10. 已 知 ?ABC 中 , 三 个 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 若 ?ABC 的 面 积 为 S , 且

2 S ? ? a ? b ? c ,则 t a n C 等于 ? 2
2

A.

3 4

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

3 4
2 2

11.在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一 点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是 A. ?

4 3

B. ?

5 4

C. ?

3 5

D. ?

5 3

12.定义域为 a, b 的函数 y ? f ? x ? 的图象的两个端点为 A,B,M ? x, y ? 是f ? x ? 图象上任意一点, 其中

?

?

???? ? ???? ??? ? ??? ? x ? ? a ? ?1 ? ? ? b ? ? ? R ? ,向量ON ? ?OA ? ?1 ? ? ? OB ,若不等式 MN ? k 恒成立,则称函数
2 ,则实数 k 的取值范 f ? x ? 在?a, b? 上“k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 在 ?1,? 上“k 阶线性近似” 1 x
围为 A. ?0, ?? ? B. ?1 ? ?? , C. ? ? 2, ? ? ?

?3 ?2

? ?

D. ? ? 2, ? ? ?

?3 ?2

? ?

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是 ______. 14.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1,F2, a 2 b2
2

线



F1F2 被抛物线 y ? 2bx 的焦点分成 5:3 两段,则此双曲线的离 ______.
·3·

心 率为

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15.已知函数 f ? x ? 在实数集 R 上具有下列性质:①直线 x ? 1 是函数 f ? x ? 的一条对称轴;②

f ? x ? 2? ? ? f ? x ? ;③当 1 ? x1 ? x2 ? 3 时, ? f ? x2 ? ? f ? x1 ?? ? ? x2 ? x1 ? ? 0, 则 f ? 2012? 、 f ? 2013? 从大到小的顺序为_______.
16.如图,一个类似杨辉三角的数阵,请写出第 n ? n ? 2? 行的第 2 ______. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 17.(本小题满分 12 分)
2 cos 已知函数 f ? x ? ? 3 sin ? x? ? x ? cos ? x ?

个数为



? . 2

1 ?? ? 0 ? ,其最小 2

正周期

(I)求 f ? x ? 的表达式; (II)将函数 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标 8
? ?? 上有且只有一个 ? 2? ?

不变) ,得到函数 y ? g ? x ? 的图象,若关于 x 的方程 g ? x ? ? k ? 0 ,在区间 ? 0, 实数解,求实数 k 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 袋中有 8 个大小相同的小球,其中 1 个黑球,3 个白球,4 个红球. (I)若从袋中一次摸出 2 个小球,求恰为异色球的概率; (II)若从袋中一次摸出 3 个小球,且 3 个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时 红球的个数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? .

19.(本小题满分 12 分)
n ?1 n ? N * , 数列?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? log2 cn . 等比数列 ?cn ? 满足 cn ?1 ? cn ? 10 ? 4 ....

?

?

(I)求 an , S n ;
·4·

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(II)数列 ?bn ? 满足bn ?

1 4Sn ? 1

, Tn为数列?bn ? 的前 n 项和,是否存在正整数 m, k ?1 ? m ? k ? ,

使得 T1 , Tm , Tk 成等比数列?若存在,求出所有 m, k 的值;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中, ?ABC 是边长为 2 的正三角形,

AE ? 1, AE ? 平面 ABC,平面 BCD ? 平面 ABC,BD=CD,且

BD ? CD .
(I)若 AE=2,求证:AC、 、平面 BDE; (II)若二面角 A—DE—B 为 60°,求 AE 的长.

21.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,直线 m 垂直于 x 轴(垂足为 T) ,
2

与抛物线交于不同的两点 P,Q 且 F P ? F2Q ? ?5 . 1 (I)求点 T 的横坐标 x0 ; (II)若以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 ? 1, ①求椭圆 C 的标准方程; ②过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,设 F2 A ? ? F2 B ,若 ? ? ??2, ?1?, 求 TA ? TB 的取值范 围.

???? ???? ?

? ? ?

2? ?. 2 ? ?

???? ?

???? ?

??? ???

22.(本小题满分 13 分) 已知 P ? x, y ? 为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? . (I)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ? ? m ? 0? 上存在极值,求实数 m 的取值范围;

? ?

1? 3?

·5·

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(II)当 x ? 1 时,不等式 f ? x ? ?

t 恒成立,求实数 t 的取值范围; x ?1

e (III)求证 ?? n ? 1?!? ? ? n ? 1?? ? ?
2

n?2

?n ? N ? .
*

高三复习阶段性检测试题 理科数学参考答案及评分标准 一、 选择题 1-5 BADBC 6-10 A D C B C 11-12 A C

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13) (15)

2 ,?2 2

(14)

2 3 3
(16) n2 ? 2n ? 3

f (2013 , f (2012 , f (2011 ) ) )

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)(本小题满分 12 分) 解: (I) f ( x ) ?

3 sin ? x ? cos ? x ? cos 2 ? x ?

1 2

?

3 cos 2? x ? 1 1 ? sin 2? x ? ? ? sin(2? x ? ) ?????3 分 2 2 2 6

由题意知 f (x) 的最小正周期 T ?

?
2

,T ?

2? ? ? ? ? 2? ? 2

所以 ? ? 2 ??????????????????????????5 分 所以 f ? x ? ? sin ? 4 x ?

? ?

??

? ???????????????????6 分 6?

(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移个

? ? 个单位后,得到 y ? sin( 4 x ? ) 的图象,再将所得图象所有点 8 3

的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin( 2 x ? 所以 g ( x) ? sin( 2 x ? 因为 0 ? x ?

?
3

) 的图象.

?
3

)

??????????9 分

?
2

,所以 ?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? . 3

·6·

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? ?? ? ?? 即函数 y ? g ( x) 与 y ? ? k 在区间 ?0, ? 上 g ( x) ? k ? 0 在区间 ?0, ? 上有且只有一个实数解, ? 2? ? 2?
有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知 ? 3 ? ?k ?

2

3 或 ?k ? 1 2

所以 ?

3 3 或 k ? ?1 . ?k? 2 2

??????????12 分

(18)(本小题满分 12 分)
1 1 1 1 解: (Ⅰ)摸出的 2 个小球为异色球的种数为 C1 C7 ? C3C4 ? 19 ???2 分

从 8 个球中摸出 2 个小球的种数为 C82 ? 28 故所求概率为 P ?

??????3 分 ????????????4 分

19 28

(Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种: 一种是有 1 个红球,1 个黑球,1 个白球,
1 1 1 共有 C1 C4C3 ? 12 种

????????????5 分

一种是有 2 个红球,1 个其它颜色球,
2 1 共有 C4 C4 ? 24 种,

????????????6 分

3 一种是所摸得的 3 小球均为红球,共有 C4 ? 4 种不同摸法,

故符合条件的不同摸法共有 40 种.

????????????8 分

由题意知,随机变量 ? 的取值为, 2 , 3 .其分布列为:

?

1

2

3 ?????????11 分

P

3 10

3 5

1 10

E? ? 1?

3 3 1 9 ? 2 ? ? 3? ? 10 5 10 5

????????12 分

(19)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) c1 ? c2 ? 10, c2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4 ????????2 分

c1 ? 4c1 ? 10

得 c1 ? 2 ????????4 分
·7·

cn ? 2 ? 4 n?1 ? 2 2n?1

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所以 an ? log2 2

2 n?1

? 2n ? 1

????????5 分 ????????6 分

Sn ?

n(a 1 ? an ) n[1 ? (2n ? 1)] ? ? n2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 于是 Tn ?

1? 1 1 ? ? ? ? ? 4n ? 1 2 ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? 1
2

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 ??1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? 2n ? 1 ????9 分 2 ?? ? ? ? ? ??

假设存在正整数 m, k ?1 ? m ? k ? ,使得 T1 , Tm , Tk 成等比数列,则

k ? m ? 1 , ? ? ? ? ? 2m ? 1 ? 3 2 k ? 1
可得

2

3 ?2m2 ? 4m ? 1 ? ? 0, k m2
6 6 , ? m ? 1? 2 2

所以 ?2m2 ? 4m ? 1 ? 0

从而有, 1 ?
?

由 m ? N , m ? 1,得 m ? 2 此时 k ? 12 . 当且仅当 m ? 2 , k ? 12 时, T1 , Tm , Tk 成等比数列. (20)(本小题满分 12 分)

???????? 11 分

????????12 分

解: (Ⅰ)分别取 BC,BA,BE 的中点 M , N, P ,连接 DM ,MN,NP,DP , 则 MN ∥ AC , NP ∥ AE ,且 NP =

1 AE ? 1 2
D

E P

因为 BD ? CD , BC ? 2 , M 为 BC 的中点, 所以 DM ? BC , DM ? 1 又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 DM ? 平面 ABC 又 AE ? 平面 ABC , 所以 DM ∥ AE ????????4 分 ?????2 分 C M

A

N B

所以 DM ∥ NP ,且 DM ? NP ,因此四边形 DMNP 为平行四边形, 所以 MN ∥ DP ,所以 AC ∥ DP ,又 AC ? 平面 BDE , DP ? 平面 BDE , 所以 AC ∥平面 BDE .????????6 分

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(或者建立空间直角坐标系,求出平面 BDE 的法向量 n1 ,计算 n1 ? AC ? 0 即证) (Ⅱ)解法一: 过 M 作 MN ? ED 的延长线于 N ,连接 BN . 因为 BC ? AM , BC ? DM , 所以 BC ? 平面 DMAE , ED ? 平面 DMAE 则有 BC ? ED . 所以 ED ? 平面 BMN , BN ? 平面 BMN , 所以 ED ? BN . 所以 ?MNB 为二面角 A ? ED ? B 的平面角, 即 ?MNB =60? . ????????9 分 C M B N D A E

??? ?

在 Rt ?BMN 中, BM =1 ,则 MN =

1 2 , BN = . 3 3

在 Rt ?MND 中, DN =

6 . 3 h2 ? 3 ?
2

2 设 AE ? h ? 1 ,则 DE ? h ? 3 ,所以 NE ?

6 ,又 BE ? 3
2

? h ? 1?

2

? 22

6? ? 2 ? ? 2 在 Rt ?BNE 中, BE ? BN ? NE ,即 ? h ? 1? ? 2 = ? ? ?? h ?3 ? 3 ? ? ? 3? ? ? ?
2 2 2
2

2

解得 h ? 解法二:

所以 AE ? 6 ? 1 ??????12 分 6, z E

由(Ⅰ)知 DM ? 平面 ABC , AM ? MB , 建立如图所示的空间直角坐标系 M ? xyz . 设 AE ? h ,则 M ? 0,0,0? , B ?1,0,0 ? , D y A C M B x

? ? ??? ? ??? ? BD ? ? ?1, 0,1? , BE ? ? ?1,
??? ? ? BD ? n1 ? 0, ? 则 ? ??? ? ? BE ? n1 ? 0. ?

D ? 0,0,1? A 0, 3, 0 , E 0, 3, h ,
3, h .

?

?

?

设平面 BDE 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) 所以 ?

?? x ? z ? 0, ? ?? x ? 3 y ? zh ? 0. ?
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令 x ? 1 , 所以 n1 ? (1,

1? h ,1) 3

????????9 分

又平面 ADE 的法向量 n2 ? (1,0,0) 所以 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 ? n1 ? n2

1 12 ? 12 ?

?1 ? h ?
3

2

?

1 2

解得 h ? 6 ? 1 , 即 AE ? 6 ? 1 (21)(本小题满分 13 分)

????????12 分

解: (Ⅰ)由题意得 F2 (1,0) , F1 (?1,0) ,设 P( x0 , y0 ) , Q( x0 ,? y0 ) , 则 F P ? ( x0 ? 1, y0 ) , F2Q ? ( x0 ? 1,? y0 ) . 1 由 F P ? F2Q ? ?5 ,得 x0 ? 1 ? y0 ? ?5 即 x0 ? y0 ? ?4 ,①???????2 分 1
2 2 2 2

又 P( x0 , y0 ) 在抛物线上,则 y0 ? 4x0 ,②
2

联立①、②易得 x0 ? 2 (Ⅱ) (ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1 ,

????????4 分

x2 y 2 设椭圆 C 的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b

1 1 则 2 ? 2 ?1 a b2
a 2 ? b2 ? 1

③ ④ ???????5 分

2 2 将④代入③,解得 b ? 1 或 b ? ?

1 (舍去) 2
????????6 分

2 2 所以 a ? b ? 1 ? 2

故椭圆 C 的标准方程为 (ⅱ)方法一:

x2 ? y2 ? 1 2

????????7 分

容易验证直线的斜率不为 0,设直线的方程为 x ? ky ? 1 将直线的方程代入

x2 ? y 2 ? 1中得: (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ?1 ? 0 .???????8 分 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), y1 ? 0且y2 ? 0 ,则由根与系数的关系,
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可得: y1 ? y2 ? ?

2k k ?2
2



y1 y2 ? ?

1 k ?2
2



???????9 分

因为 F2 A ? ? F2 B ,所以

y1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2

将⑤式平方除以⑥式,得:

y1 y2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y1 k ?2 ? k ?2
由 ? ? ? ?2, ?1? ? ? 所以

1 4k 2 5 1 1 1 ? ? + ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 ? ? ? ? 2 ?0 2 ? 2 ? 2 k ?2
???????????????????????11 分

0 ? k2 ?

2 7

因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) , 又 y1 ? y2 ? ?

???

???

??? ???

4(k 2 ? 1) 2k ,所以 x1 ? x2 ? 4 ? k ( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? 2 , k2 ? 2 k ?2
2 2

故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ?
2

??? ???

16(k 2 ? 1)2 4k 2 ? 2 (k 2 ? 2)2 (k ? 2)2

?

16(k 2 ? 2)2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 28 8 , ? 16 ? 2 ? 2 2 2 (k ? 2) k ? 2 (k ? 2)2
1 2 2 ,所以 0 ? k ? k ?2 7
2

令t ?

所以

7 1 1 7 1 ? 2 ? ,即 t ? [ , ] , 16 k ? 2 2 16 2 7 4 17 . 2

2 2 2 所以 | TA ? TB | ? f (t ) ? 8t ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) ?

??? ???

而 t ?[

7 1 169 , ] ,所以 f (t ) ? [4, ]. 16 2 32

所以 | TA ? TB |? [2, 方法二:

??? ???

13 2 ]. 8

??????????????????13 分

1)当直线的斜率不存在时,即 ? ? ?1 时, A(1,

2 2 ) , B(1,? ), 2 2

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又 T (2,0) ,所以 TA ? TB ? ( ?1,

???

???

2 2 ) ? ( ?1, ? ) ?2 2 2

????8 分

2)当直线的斜率存在时,即 ? ? ?? 2,?1? 时,设直线的方程为 y ? k ( x ? 1)

? y ? kx ? k ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,显然 y1 ? 0, y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 可得: x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
? 2k 1 ? 2k 2


????????9 分

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ?

y1 ? y2 ? k 2 ( x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1) ?
因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 将⑤式平方除以⑥式得:

? k2 1 ? 2k 2



y1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2

??

1

?

?2?

?4 1 ? 2k 2

由 ? ? ?? 2,?1? 得 ? ? 故?

1 ? 5 ? ? 1 ? ? ?? ,?2 ? 即 ? ? ? 2 ? ?? ,0 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 1
???????????????10 分

1 ?4 7 ? ? 0 ,解得 k 2 ? 2 2 1 ? 2k 2

因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) , 所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) ,

???

???

??? ???

? 4(1 ? k 2 ) 又 x1 ? x2 ? 4 ? , 1 ? 2k 2

16(1 ? k 2 )2 4k 2 ? 故 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ? (1 ? 2k 2 )2 (1 ? 2k 2 )2
2 2 2

?

4(1 ? 2k 2 )2 ? 10(1 ? 2k 2 ) ? 2 10 2 ? 4? ? ???????11 分 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k (1 ? 2k 2 )2

·12·

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令t ?

1 7 2 ,因为 k ? 2 1 ? 2k 2

所以 0 ?

1 1 ? 1? ? ,即 t ? ? 0, ? , 2 1 ? 2k 8 ? 8?

2 2 所以 TA ? TB ? 2t ? 10t ? 4 ? 2(t ? ) ?

???

??? 2

5 2

17 ? 169 ? ? 4, ?. 2 ? 32 ? ?
????????12 分

所以 TA ? TB ? ? 2,

? 13 2 ? ? ? 8 ? ?

综上所述: | TA ? TB |? [2, (22)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意 k ? f ? x ? ? 所以 f ? ? x ? ? ?

??? ???

13 2 ]. 8

????????13 分

1 ? ln x , x ? 0 ??????????????1 分 x
????????????????2 分

ln x ? 1 ? ln x ?? ? ?? 2 x ? x ?

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减. 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值. ????????????????3 分

因为函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ? (其中 m ? 0 )上存在极值,

? ?

1? 3?

?0 ? m ? 1 2 ? 所以 ? 得 ? m ?1. 1 ?m ? 3 ? 1 3 ?
即实数 m 的取值范围是 ? , . 1? (Ⅱ)由 f ? x ? ? 令 g ? x? ? 则 g?? x ? ?

?2 ? ?3 ?

????????????????4 分

? x ? 1??1 ? ln x ? t 得t ? x ?1 x
x

? x ? 1??1 ? ln x ?
x ? ln x . x2
????????????????????6 分 则 h? ? x ? ? 1 ?

令 h ? x ? ? x ? ln x

1 1? x = x x

·13·

HLLYBQ 整理

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

因为 x ? 1, 所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1 +?? 上单调递增.????????7 分 , 所以 h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0 ,从而 g? ? x ? ? 0

g ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增, g ? x ? ? g ?1? ? 2 +?
所以实数的取值范围是 ? ??,2? . (Ⅲ)由(Ⅱ) 知 f ? x ? ? 即 ????????????????9 分

2 恒成立, x ?1
????????10 分

1 ? ln x 2 x ?1 2 2 ? ? ln x ? ? 1? ? 1? x x ?1 x ?1 x ?1 x

令 x ? n ? n ? 1? , 则 ln n ? n ? 1? ? 1 ? 所以 ln ?1 ? 2 ? ? 1 ?

2 n ? n ? 1?

2 , 1? 2

ln ? 2 ? 3? ? 1 ?
??,

2 , 2?3

ln n ? n ? 1? ? 1 ?

2 . n ? n ? 1?
2 2

所以 ln ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 2 ? ? ?
2

? 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? n ? n ? 1? ? ?1 ? 2 2 ? 3
????????????12 分

1 ? ? ? n ? 2 ?1 ? ?? n?2 ? n ?1?
所以 1 ? 2 ? 3 ????? n ? ? n ? 1? ? e
2 2 2 n?2

所以 ?? n ? 1? !? ? ? n ? 1? ? e ? ?
2

n ?2

?n ? N ? .
?

????????????13 分

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