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2015TST第一天试题


第 56 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一
杭州 第一天 2015 年 3 月 13 日上午 8:00——12:30
1. 如图,过 ?ABC 顶点 A 的圆 ? 与边 AC, AB 分别交于 E, F ,交 ?ABC 的外接圆于另一 点 P ,求证:点 P 关于直线 EF 的对称点在直线 BC 上的充分必要条件是:圆 ? 过 ?ABC 的外心 O 。

2. 设 a1 , a2 , a3……为互不相等的正整数,c 是小于 数 k ,使得 ? ak , ak ?1 ? ? ck

3 的正实数,证明:存在无穷多个正整 2

3. 设 n, k 为给定的正整数, 一个糖果售卖机里有许多不同颜色的糖果, 每种颜色的糖果有 2n 颗, 有一些小孩来买糖果, 每个小孩都从售卖机里恰买了两颗糖果, 且这两颗糖果颜色不同。 已知在任意 k ? 1 个小孩中均有两个小孩,他们至少有一颗糖果的颜色相同,求小孩总数的 最大可能值。


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