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重庆一中2017级高一下期中考试数学试题及答案


2015 年重庆一中高 2017 级高一下期半期考试

数 学 试 题 卷

2015.5

数学试题共 4 页,共 21 个小题.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑

,如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.

一、选择题.(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的). 1.已知等差数列 {an } 满足 a2 ? a8 ? 6 ,则 a5 ? ( A.3 B.6 ) C. 8 ) D. ?
3 2

D. 12

2.已知向量 a ? (2,?1),b ? ( x,3) ,若 a ? b ,则实数 x 的值是( A. 6 B. ? 6 C.
3 2

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 3.实数 x, y 满足 ? x ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?y ? 0 ?



A.2 4.若 x ? ?1 ,则 x ?

B.

7 2

C. 7

D.8

4 的最小值是( ) x ?1 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5.(原创)在圆 O 内随机任取一点,则取到的点恰好落在该圆的内接正方形内的概 率是( ) 2 1 ? ? A. B. C. D. ? ? 4 5 6.(原创)有些同学考试时总是很粗心. 某数学老师为了研究他所教两个班学生的 细心情况,在某次数学考试后,从他所教的甲、乙两个班级里各随机抽取了五份 答卷并对解答题第 16 题(满分 13 分)的得分进行统计,得到对应的甲、乙两组

数据,其茎叶图如下图所示,其中 x, y ? {0,1,2,3} ,已知甲组数据的中位数比乙组 甲组
乙组

9 数据的平均数多 ,则 x ? y 的值为( 5 A. 5 B. 4 C. 3 D. 1



9 6 0 3 3 x 1

7 8 1 y 3

(第 6 题图)

a , b 为非零实数, 7. (原创) 已知 ab ? 0 且 a ? b , 则下列不等式不一定 成立的是 ( ...
-1-



b b ?1 1 1 ? D. a a ?1 2 2 2014 8.(原创)执行如图所示的程序框图,若输出 s ? ,则判断框内应填入的条件 2015 是( )
A. b ?

b2 a

B. ln(

b a ? ) ? ln 2 a b

1

1

C. ( ) a ? ( ) b

开始

s ? 0, n ? 1

s?s?

1 n(n ? 1)






输出 s

结束

n ? n ?1

A. n ? 2015

B. n ? 2015

C. n ? 2014

D. n ? 2013

9. (原创) 已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 满足 2015cos2C ? cos2 A ? 2014? 2 sin 2 B , 则
tan C ? (tan A ? tan B) ?( ) tan A ? tan B 2015 2 A. B. 2 2015

C.

1 2014

D.

1 1007

10. (原创) 已知平面向量 ? , ? 满足 2? ? ? ? 3 , 且 ? ? ? 与 ? ? 2? 的夹角为 150? , 则 t (? ? ? ) ? A. 3
4

3 ? , (t ? R) 的最小值是( 2
B.
3 3

). C.
3 2

D.

3

二.填空题.(本大题共 5 小题,共 25 分,将正确答案填写在答题卡上的相应位置) 11.运行下面的伪代码,输出的 T 的值为 T ?0 I ?2 0.030 while I ? 4 0.025 T ?T ? I 0.020 I ? I ?2 0.015
Endwhile T PRINT END (第 11 题图) 0.010 80 90 100 110 120 130 底部周长 cm (第 12 题图)


频率/组距

12.对大量底部周长 ? [80,130] (单位:cm)的树木进行研究,从中随机抽出 200 株 树木并测出其底部周长,得到频率分布直方图如上图所示,则在抽测的 200 株树 木中,有 株树木的底部周长小于 100cm; 13.(原创)“丁香”和“小花”是好朋友,她们相约本周末去爬歌乐山,并约定
-2-

周日早上 8:00 至 8:30 之间(假定她们在这一时间段内任一时刻等可能的到达) 在歌乐山健身步道起点处会合. 若“丁香”先到,则她最多等待“小花”15 分钟; 若“小花”先到,则她最多等待“丁香”10 分钟,若在等待时间内对方到达,则 她俩就一起快乐地爬山,否则超过等待时间后她们均不再等候对方而孤独地爬山, 则 “丁香” 和 “小花”快乐地一起爬歌乐山的概率是 (用数字作答) ;

14. (原创) 已知 x, y ? R ? 且 2 x ? y ? 3 , 若不等式 xy ? ( x ? 2 y) ? a 对任意 x, y ? R ? 恒 成立,则实数 a 的取值范围是 ;

15. (原创) 已知 an ? 2n ? 1, n ? N * , 将数列 {an } 的项依次按如图的规律 “蛇形排列” 成一个金字塔状的三角形数阵,其中第 m 行有 2m ? 1 个项,记第 m 行从左到右 的 .... 第 k 个数为 bm,k , (1 ? k ? 2m ? 1, m, k ? N * ) ,如 b3,4 ? 15, b4,2 ? 29 , 则 bm,k ? (结果用 m, k 表示).
1 7,5,3 9,11,13,15,17 31,29,27,25,23,21,19 33,35,37,39,41,43,45,47,49 ??????????????

三.解答题.(共 6 小题,共 75 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16.(13 分)(原创)学生“如花姐”是 2015 年我校高一年级“校园歌手大赛” 的热门参赛选手之一,经统计,网络投票环节中大众对“如花姐”的投票情况是: 喜爱程度 非常喜欢 一般 不喜欢 人数 500 200 100 现采用分层抽样的方法从所有参与对“如花姐”投票的 800 名观众中抽取一个容 量为 n 的样本,若从不喜欢“如花姐”的 100 名观众中抽取的人数是 5 人. (1)求 n 的值; (2)若从不喜欢“如花姐”的观众中抽取的 5 人中恰有 3 名男生(记为 a1 , a2 , a3 ) 2 名女生(记为 b1 , b2 ),现将此 5 人看成一个总体,从中随机选出 2 人,列出所 有可能的结果; (3)在(2)的条件下,求选出的 2 人中至少有 1 名女生的概率. 17.( 13 分)(原创)若数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ,数列 ?bn ?是等比数列,且

b1 ? a2 , b2 ? a5 .
(1)求 an 及 bn ;

-3-

(2)记 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 18.(13 分)(原创)如图,已知菱形 ABCD 的边长为 2, ?BAD ? 120? , M , N 分 别为 BC, CD 上的点, BM ? ? BC, DN ? ? DC, ?, ? ? (0,1) ,记 AM ? a, AN ? b . A 1 (1) 当 ? ? ? ? 时,求 a ? b ; 2 (2)若 a ? b ? ?2 ,求
1

D

?

?

1

N

?

的值.

B

M

C

19.(12 分)(原创) ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若边 c ? 2 ,且
a sin A ? a sin B ? 2 sin C ? b sin B .

(1)若 sin C ? sin(B ? A) ? sin 2 A ,求 ?ABC 的面积; (2)记 AB 边的中点为 M ,求 CM 的最大值,并说明理由. 20.(12 分)(原创)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, a, b, c ? R, a ? 0 . (1) 是否存在 a ? N * , b, c ? R 使得 2x ? f ( x) ? x 2 ? 1 对任意 x ? R 恒成立?若存在, 求出相应的 a, b, c 的值;若不存在,请说明理由. (2)当 a ? 1 时,若关于 x 的方程 f ( x) ? 2 x 的两根满足 x1 ? (0,1), x2 ? (1,2) ,试求

(b ? 1) 2 ? (2c ? 1) 2 ? 4(bc ? 1) 的取值范围.
21. ( 12 分 ) ( 原 创 ) 已 知 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为 S n , 满 足

S n?1 ? 5S n?1 ? 6(S n ? bn?1 ), n ? 2 ,
n? N*
, 且

b1 ? 1, b2 ? 5







{an }





a1 ? 1, an ? bn ? (

1 1 1 ? ??? ), n ? 2, n ? N * . b1 b2 bn?1

(1)证明:数列 {bn?1 ? 3bn } 是等比数列; ( 2 ) 求 证 : (1 ?
e ? 2.71828 ?).

1 1 1 ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? e, n ? N * ( e 是 自 然 对 数 的 底 数 , a1 a2 an

-4-

命题人:黄正卫 审题人:王中苏

2015 年重庆一中高 2017 级高一下期半期考试 数 学 参 考 答 案
一、选择题:ACDBA DBCDA
2015.5

提示:10 题:记 ? ? ? ? m , ? ? 2? ? n ,则 m, n 的夹角为 150? ,且 n ? 3 配凑可得: t (? ? ? ) ?
3 1 1 1 1 ? ? ? ? (t ? )m ? n ? ?(t ? )m ? n? 2 2 2 2 2 ? ?
2

2 2 1 1 1 2 1 3 1 3 ? (t ? ) 2 m ? (t ? ) m n cos150? ? n ? (t ? ) 2 m ? ? (t ? ) m ? 2 2 4 2 2 2 4

1 3 3 3 3 3 令 u ? (t ? ) m , u ? R ,则上式 ? u 2 ? u ? ? (u ? ) 2 ? . ? 2 2 4 4 16 4

二.填空题:6 三.解答题.

,80 ,

?2m 2 ? 4m ? 2k ? 1, m为奇数 47 1 ? , [ ,?? ) , bm,k ? ? 2 . 72 3 ? ?2m ? 2k ? 1, m为偶数
5 5 5 ? 200 ? ? 5 ? 40 ; ,故 n ? 500 ? 100 100 100

16.(13 分)解:(1)抽样比例为

(2) ? ? {a1a2 , a1a3 , a2 a3 , a1b1 , a1b2 , a2b1 , a2b2 , a3b1 , a3b2 , b1b2 } ,共 10 种可能的结果; (3)记事件“选出的 2 人中至少有 1 名女生”为 A ,则
7 10 3 7 ? ) (或解: A 表示两个都是男生,包含 3 个结果, P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 10 10

A ? {a1b1 , a1b2 , a2b1 , a2b2 , a3b1 , a3b2 , b1b2 } ,其含有 7 种结果,故 P ( A) ?

17.(13 分)解:(1) n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2n ? 1,又 a1 ? S1 ? 1满足此式, 故 an ? 2n ? 1, n ? N * ,于是 b1 ? 3, b2 ? 9 ,而 ?bn ?等比,故 bn ? 3n ; (2) cn ? an ? bn ? (2n ? 1) ? 3n ,由错位相减法,有:

Tn ? 1? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ??? ? (2n ? 3) ? 3n?1 ? (2n ? 1) ? 3n ??? ?? ??
??①

3Tn ? 1? 32 ? 3 ? 33 ? ????????? ? (2n ? 3) ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n?1 ? ? ?

-5-

?② 两式相减,得: ? 2Tn ? 3 ? 2 ? 32 ? 33 ? ?? ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n?1

?

?

? 3 ? 2?

32 ? [1 ?

] 3n?1 ? (2n ? 1) ? 3n?1 1? 3

1

? (2 ? 2n) ? 3n?1 ? 6







Tn ? (n ? 1) ? 3n?1 ? 3, n ? N * .
18.(13 分)解:(1)当 ? ? ? ?
1 时, M , N 分别为 BC, CD 的中点, 2

法一: 此时易得 a ? b ? 3 且 a, b 的夹角为 60? , 于是 a ? b ? (a ? b) 2 ?
a ? 2 a b cos60? ? b ? 3 ;
1 BD ? 3 ; 2 )
2 2

法二: 由余弦定理易求得 BD ? 2 3 ,故 a ? b ? AM ? AN ? NM ? ( 2

a ?b ?
? AB ? AD ? AB ? DN ? BM ? AD ? BM ? DN

AM ? AN ? ( AB ? BM ) ? ( AD ? DN)

1 1 ? ?2 ? 2 ? 2 ? (? ) ? 2 ? 2? ? 2 ? 2? ? 2? ? 2? ? (? ) 2 2

? 4(? ? ? ) ? 2?? ? 2(? ? ? ) ? ?? ,故

1

?

?

1

?

?

??? 1 ? . ?? 2

19. (12 分) 解: 因为 c ? 2 , 故 a sin A ? a sin B ? c sin C ? b sin B ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ,
a2 ? b2 ? c2 1 ? ? C ? 60? ; 由余弦定理可得 cosC ? 2ab 2

(1) sin C ? sin(B ? A) ? sin 2 A ? sin(B ? A) ? sin(B ? A) ? 2 sin A cos A
? sin B cos A ? sin A cos A ? cos A ? 0或 sin B ? sin A ,即 A ? 90? 或 A ? B

当 A ? 90? 时, B ? 30? , b ?

2 3 1 2 3 , S ?ABC ? bc ? , 3 2 3

1 ? 2 ? 2 ? sin 60 ? ? 3 ; 2 2 1 1 1 (2) 法一: 由于 CM ? (CA ? CB ) ,故 CM ? (CA ? CB ) 2 ? (a 2 ? b 2 ? ab ) 2 4 4

当 A ? B 时, ?ABC 为等边三角形, S ?ABC ?

-6-

因为 c ? 2, C ? 60? ,故由余弦定理知 a 2 ? b 2 ? ab ? 4 ,于是 CM 而 ab ? 4 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? ab ? 4 ,故 CM (当且仅当 a ? b ? 2 ? c )时取等. 法二:?ACM 中, CM
2

2

?

1 ab ? 1 2

2

? 3 ,故 CM

max

? 3,

? b 2 ? 1 ? 2b cos A ? b 2 ? 1 ? 2b ?

b2 ? 4 ? a2 a2 ? b2 ? 2 ? 2 ? 2b 2

a2 ? b2 ? 4 ? a2 ? b2 ? 8 , 因为 c ? 2, C ? 60 ,故由余弦定理知 a ? b ? ab ? 4 ? 2
?
2 2

故 CM

2

? 3 ? CM

max

? 3 ,(当且仅当 a ? b ? 2 ? c )时取等.

20.(12 分)解:(1) 2x ? f ( x) ? x 2 ? 1 中令 x ? 1 得 2 ? f (1) ? 2 ? f (1) ? 2 故 c ? 2 ? a ? b ,于是 f ( x) ? ax2 ? bx ? 2 ? a ? b , 法一: 2x ? f ( x) ? x 2 ? 1 对 x ? R 恒成立,有:
?ax2 ? (b ? 2) x ? 2 ? a ? b ? 0 ? f ( x) ? 2 x ? ? 对 x ? R 恒成立 ? ? 2 2 ? ( a ? 1 ) x ? bx ? 1 ? a ? b ? 0 ? f ( x) ? x ? 1 ?

?a ? 0 则必有 ? ,而 a ? N * ,于是只有 a ? 1 ,进而上面的不等式组变为: a ? 1 ?

? x 2 ? (b ? 2) x ? 1 ? b ? 0 对 x? R 恒成立,显然有且只有 b ? 0 才行,此时 ? ?bx ? b ? 0
c ? 2?a ?b ?1

故存在 a ? 1, b ? 0, c ? 1 满足题意; 法二: 由题知 2x ? f ( x) ? ax2 ? (b ? 2) x ? 2 ? a ? b ? 0 对 x ? R 恒成立,有

? ? (b ? 2) 2 ? 4a(2 ? a ? b) ? 0 ? 4a 2 ? 4ab ? b 2 ? 8a ? 4b ? 4 ? 0 ,整理得 (2a ? b) 2 ? 4(2a ? b) ? 4 ? 0 ? (2a ? b ? 2) 2 ? 0 ? 2a ? b ? 2 ,
又 f ( x) ? x 2 ? 1 ? (a ?1) x 2 ? bx ? 1 ? a ? b ? 0 对 x ? R 恒成立,故必有 a ? 1 而 a ? N * ,于是 a ? 1 ,而 2a ? b ? 2 故 b ? 0 ,此时 c ? 2 ? a ? b ? 1 ,

f ( x) ? x 2 ? 1 ,显然满足 f ( x) ? x 2 ? 1 对 x ? R 恒成立,故存在 a ? 1, b ? 0 满足题
意;

-7-

(2)当 a ? 1 时,方程 f ( x) ? 2 x ? x 2 ? (b ? 2) x ? c ? 0 ,令 g ( x) ? x 2 ? (b ? 2) x ? c ,
? g ( 0) ? 0 ? 其两个零点为 x1 , x 2 ,则 x1 ? (0,1), x2 ? (1,2) ? ? g (1) ? 0 ? ? g ( 2) ? 0 ? ?c ? 0 ? ?b ? c ? 1 ? 0 ?2b ? c ? 0 ?


(b ? 1) 2 ? (2c ? 1) 2 ? 4(bc ? 1) ? b 2 ? 2b ? 1 ? 4c 2 ? 4c ? 1 ? 4bc ? 4

? (b ? 2c) 2 ? 2(b ? 2c) ? 2

?c ? 0 ? 令 t ? b ? 2c , 在约束条件 ?b ? c ? 1 ? 0 下, 由线性规划知识易求得 t ? b ? 2c ? (?5,1) ?2b ? c ? 0 ?

故 (b ? 2c) 2 ? 2(b ? 2c) ? 2 ? t 2 ? 2t ? 2 ?[?3,13) , 也即: (b ? 1) 2 ? (2c ? 1) 2 ? 4(bc ? 1) ? [?3,13) . 21.(12 分) 解 : ( 1 ) 由

S n?1 ? 5S n?1 ? 6(S n ? bn?1 ) ? S n?1 ? S n ? 5(S n ? S n?1 ) ? 6bn?1 ? bn?1 ? 5bn ? 6bn?1 ? bn?1 ? 3bn ? 2 ? (bn ? 3bn?1 ), n ? 2 ,且其首项 b2 ? 3b1 ? 2 ? 0 ,
故 {bn?1 ? 3bn } 等比,公比为 2 ; (2)先求 bn ,由(1)知 bn?1 ? 3bn ? 2 ? 2n?1 ? 2n ?
bn ?1 3 bn 1 ? ? ? 2 n ?1 2 2 n 2

?

bn?1 b 1 3 3 3 ?b ? ?1 ? ? ? n ? 1? ? { n ? 1} 等比,其首项为 ? 1 ? ,公比为 , n ?1 n n 2 2 2 2 ?2 2 2 ?
bn 3 ? 1 ? ( ) n ? bn ? 3 n ? 2 n ;(或用特征根法求得) n 2 2

于是

由题可得 a1 ? 1, a2 ? b2 ?

1 ?5, b1

1 1 1 ? ??? ) a ?1 b1 b2 bn b ? ? n , (n ? 2) , 由于 n 1 1 1 a n ?1 bn ?1 bn?1 ? ( ? ? ? ? ) b1 b2 bn bn ? (

-8-

故 (1 ?

a ?1 1 1 1 1 1 a ? 1 a3 ? 1 ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 2 ? ? ? ? n?1 ? (an ? 1) a1 a2 an a1 a2 a3 a4 an
? 1 1 1 ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ?bn ( ? ? ? ? )? ? ? b2 ? ( ? ? ? ? ) ? 2( ? ? ? ? ) bn ? 5 b1 b2 bn b1 b2 bn ? b1 b2

?
b 2 b2 b3 ? ? ? ? ? n?1 5 b3 b4 bn

因此所证 ?

1 1 1 e ? ??? ? , b1 b2 bn 2
1 1 ? n ? bn 3 ? 2 n 1 1 1 1 ? ? ? n ?1 , 3 n ?1 2 3 ? 3 ? n 2 n ? ?( ) n ? 1? 2 ? ( ) 2 ? 2 ?

而 n ? 3 时,

保留前两项不动,从第三项开始利用上面的放缩公式,有:

1 1 1 1 1 ?1 1 1 ? 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? ? 1 ? ? ? (1 ? n?2 ) ? 1 ? ? , b1 b2 bn 5 2 ?3 5 12 5 12 3 3 ? 3
而1 ?
1 1 17 e ? ? 1? ? 1 ? 0.35 ? 1.35 ? ,over 了. 5 12 60 2

-9-


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