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二元一次不等式(组)与平面区域及简单的线性规划


3.3二元一次不等式(组)与平面区 域及简单的线性规划
第一讲 二元一次不等式表
示平面区域

简单的线性规划
? “简单的线性规划”是在学习了直线方程的基础上,介绍直线

方程的一个简单应用,这是大纲对数学知识应用的重视.线性规 划是利用数学为工具,来研究一定的人、财、物、时、空等资 源在一定条件下,如何精

打细算巧安排,用最少的资源,取得 最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应 用较广泛的一个分支,并能解决科学研究、工程设计、经常管 理等许多方面的实际问题.

简单的线性规划
中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分,但这部分内容 体现了数学的工具性、应用性,同时也渗透了化归、数形结合的数 学思想,为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法―数

学建模法.通过这部分内容的学习,可使学生进一步了解数学在解决
实际问题中的应用,培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和 解决实际问题的能力。

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一、引例: 某工厂生产甲、乙两种产品,生产1t 甲两种产品需要A种原料4t、 B种原料12t, 产生的利润为2万元;生产乙种产品需要A 种原料1t、 B种原料9t,产生的利润为1万 元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t, 如何安排生产才能使利润最大?

在关数据列表如下:
A种原料 甲种产品 乙种产品 现有库存 4 1 10 B种原料 12 9 60 利润 2 1

设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y

?4 x ? y ? 10 ?12 x ? 9 y ? 60 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
利润 P ? 2 x ? y 何时达到最大?

二元一次不等式表示的平面 区域
y 在平面直角坐标系中,以二 元一次方程x+y-1=0的解为坐 结论:二元一次不 x+y-1>0 标的点的集合{(x,y)|x+y等式ax+by+c>0在平面 1 1=0}是经过点(0,1)和(1,0) 直角坐标系中表示直线 的一条直线 l, 那么以二元一次 ax+by+c=0某一侧所有 1 O x 不等式x+y-1>0的解为坐标的 点组成的平面区域。不 点的集合{(x,y)|x+y-1>0}是 x+y-1<0 等式 ax+by+c<0表示的 什么图形? 是另一侧的平面区域。 x+y-1=0
探索结论

判断二元一次不等式表示 哪一侧平面区域的方法
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x,y),把它的坐标 (x,y)代入ax+by+c,所得的实 数的符号都相同,故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0,y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域,特殊地,当 c≠0时常把原点作为此特殊点

y
1

x+y-1>0
1

O

x+y-1<0 x+y-1=0

x

二元一次不等式表示平面区 域
例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。

y
6

注意:把直
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
O

2x+y-6=0
3

x

练习1: 画出下列不等式所表示的平面区域:
3x-4y-12>0
y

o -3

4

x

二元一次不等式表示平面区 域
例2 画出不等式组

x+y=0

y
5

x-y+5=0

?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 3 表示的平面区域。 ?

O

3

x

x=3

二元一次不等式表示平面区 域
练习: 画出不等式组

?x ? y ? 6 ? 0 x+y-6=0 ?x ? y ? 0 ? 3 A ? y=3 y?3 ? 表示的平面区域。 ?x ? 5 0 ?

y 6

C B 5 6 x

x-y=0

x=5

例3:根据所给图形,把图中的平面区域 y 用不等式表示出来:
(1)

1 ?1

O

x

(2)

y

2
O 3

x

y
(3)

2
O 3

x

?2 ?4

二元一次不等式表示平面区域小 结
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x,y),把它的坐标 (x,y)代入ax+by+c,所得的实 数的符号都相同,故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0,y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域,特殊地,当 c≠0时常把原点作为此特殊点

应该注意的几个问题:

1、若不等式中不含0,则边界应画成 虚线,否则应画成实线。

2、画图时应力求准确,否则将得不 到正确结果。

二元一次不等式表示平面区 域
作业:P93 习题 3.3 1

简单的线性规划
第二讲 线性规划

复习判断二元一次不等式表 示哪一侧平面区域的方法
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x,y),把它的坐标 (x,y)代入ax+by+c,所得的实 数的符号都相同,故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0,y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域,特殊地,当 c≠0时常把原点作为此特殊点

y
1

x+y-1>0
1

O

x+y-1<0 x+y-1=0

x

复习回顾
1.在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7 Y
结论 : 形如2 x ? y ? t ( t ? 0) 的直线与 x ? y ? 0平行. 2

o

x

2.作出下列不等式组的所表示的平面区域

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)

C
5

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
x-4y+3=0

A

B
O
1 5 x=1

x
3x+5y-25=0

问题1:x 有无最大(小)值? 问题2:y 有无最大(小)值? 问题3:2x+y 有无最大(小)值?

二.提出问题 把上面两个问题综合起来:

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?
时,z的最大值和最小值.

y
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)

? x ? 4 y ? ?3 ? 1.先作出?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ? 所表示的区域 .
2.作直线l 0 : 2 x ? y ? 0
x-4y+3=0

C
5

3.作一组与直线0 平行的 l 直线l : 2 x ? y ? t , t ? R

A B
O
1 5 x=1

2x ? y ? 0

直线L越往右平移 ,t随之增大. x 以经过点A(5,2)的 3x+5y-25=0 直线所对应的t值 最大;经过点 B(1,1)的直线所对 应的t值最小. Z max ? 2 ? 5 ? 2 ? 12, Z min ? 2 ? 1 ? 1 ? 3

线性规划
问题:
目标函数 (线性目标函数)

线性约 束条件

设z=2x+y,式中变量满足 下列条件: 最优解

?x ? 4 y ? ?3 ? ?3x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

任何一个满足 不等式组的 (x,y)
所有的 可行解

求z的最大值与最小值。 可行域 线性规 划问题

线性规划
线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
可行解 :满足线性约束条 件的解(x,y)叫可行解;
2x+y=12

2x+y=3

可行域 :由所有可行解组 成的集合叫做可行域;
最优解 :使目标函数取得 最大或最小值的可行解叫 线性规划问题的最优解。
可行域
(5,2)
(1,1 )

线性规划
练习1: 解下列线性规划问题: 求z=2x+y的最大值和最小值,使式中x、y满足下 列条件: 2x+y=0 y 解线性规划问题的一般步骤:
2x+y=-3 ?y ? x 1 1 第一步:在平面直角坐标系中作出可行域; C( , ) ? 2 2 第二步:在可行域内找到最优解所对应的点; ?x ? y ? 1 O ? y ? ?1 第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数 B(2,-1) ? 2x+y=3

x

的最大值或最小值。

A(-1,-1)

答案:当x=-1,y=-1时,z=2x+y有最小值-3. 当x=2,y=-1时,z=2x+y有最大值3.
探索结论

线性规划
例2 解下列线性规划问题: 求z=300x+900y的最大值和最小值, 使式中x、y满足下列条件:

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

y
2x+y=300

x+3y=0

A 125

300x+900y=112500

C x+2y=250 150 B 250

300x+900y=0

O

答案:当x=0,y=0时,z=300x+900y有最小值0. 当x=0,y=125时,z=300x+900y有最大值112500.
探索结论

练习2、已知 ?y ? x ? 1 ? ?x - 5y ? 3 ?5x ? 3y ? 15 ? 求z=3x+5y的最大值和最小值。

5x+3y=15 y y=x+1
5

B(3/2,5/2)
1

X-5y=3

O
-1

1 5

x

A(-2,-1)

Z max ? 17; Z min ? ?11





解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域;
(2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线; (3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案。

几个结论:

1、线性目标函数的最大(小)值一般 在可行域的顶点处取得,也可能在边界 处取得。 2、求线性目标函数的最优解,要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。

线性规划

作业

练习3 解下列线性规划问题:求z=2x+y的最大值, 使式中x、y满足下列条件:

? x ? y ? 1, ? ? y ? x, ? y ? 0, ?
答案:当x=1,y=0时,z=2x+y有最大值2。
探索结论

线性规划
?2x ? 3y ? 24 ?x ? y ? 7 ? ? ?y ? 6 ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?

作业
x-y=7 C(3,6) y=6
3x+y=29

练习4 解下列线性规划问题: 求z=3x+y的最大值,使式中 y 8 x、y满足下列条件:

(0,6)

2x+3y=24

B(9,2) O A (7,0)
3x+y=0

12

x

答案:当x=9,y=2时,z=3x+y有最大值29.
探索结论

简单的线性规划
第三讲 线性规划的实际应用

一.复习回顾 解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域;
(2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线; (3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案。

复习

1.已知二元一次不等式组

{

x-y≥0 x+y-1≤0 y≥-1

(1)画出不等式组所表示的平面区域;

y
3

(2)设 z=2x+y ,则式中变量 x,y 满足
的二元一次不等式组叫做x,y的 ;

x+y=1 0

x-y=0

z=2x+y 叫做
满足



的解(x,y)都叫做可行解; ,

x
(2,-1)

使z=2x+y取得最大值的可行解 且最大值为 ;

y=-1
(-1,-1)

使z=2x+y取得最小值的可行解 且最小值为 ;



2x+y=0

这两个可行解都叫做问题的


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练习

?x ? y ? 0 ? 1.已知x, y满足约束条件? x ? y ? 2 ? 0, ? y ? ?2 ? 求z ? 3x ? 2 y的最小值和最大值.
y

x? y?0

变式z=-3x+2y
x
x? y?2?0

O

y ? ?2

线性规划的实际应用
例1 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1 吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙种棉纱需耗 一级子棉1吨、二级子棉2吨,每1吨甲种棉纱的利润是 600元,每1吨乙种棉纱的利润是900元,工厂在生产这 两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二 级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确 到 吨 ) , 能 使 利 润 总额最大?

线性规划的实际应用
? 解线性规划应用问题的一般步骤:
1、理清题意,列出表格; 2、设好变元,列出线性约束条件(不 等式组)与目标函数; 3、准确作图; 4、根据题设精度计算。

线性规划的实际应用
例1 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1吨需耗一 级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二 级子棉2吨,每1吨甲种棉纱的利润是600元,每1吨乙种棉纱的利 润是900元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉 不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产 多少(精确到吨),能使利润总额最大?

产品
资源 一级子棉(吨)

甲种棉纱 (吨)x
2

乙种棉纱 (吨)y
1

资源限额 (吨)
300

二级子棉(吨)
利润(元)

1
600

2
900

250

线性规划的实际应用
? 解:设生产甲、乙两种棉纱分别

为x吨、y吨,利润总额为z元, 则

解方程组 ?2x ? y ? 300 ? ?x ? 2 y ? 250 得点M的坐标 x=350/3≈117 y=200/3≈67

y

Z=600x+900y 作出可行域,可知直 线Z=600x+900y通过 点M时利润最大。
O

?2 x ? y ? 300 ?x ? 2 y ? 250 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

300 2x+y=300 125 M( 150

350 200 , ) 3 3 x+2y=250 250

答:应生产甲、 乙两种棉纱分别 x 为117吨、67吨, 能使利润总额达 到最大。

线性规划的实际应用
例2 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和 300万吨,需经过东车站和西车站两个车站运往外地. 东车站每年最多能运280万吨煤,西车站每年最多能 运360万吨煤,甲煤矿运往东车站和西车站的运费价 格分别为1元/吨和1.5元/吨,乙煤矿运往东车站和西 车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎 样编制调运方案,能使总运费最少?

线性规划的实际应用
例2 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨, 需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运 280万吨煤,西车站每年最多能运360万吨煤,甲煤矿运往东车 站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨,乙煤矿运往东 车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样 编制调运方案,能使总运费最少?

煤矿 车站 东车站 西车站 产量(万吨)

甲煤矿 (元/吨) 1 1.5 200

乙煤矿 (元/吨) 0.8 1.6 300

运量 (万吨) 280 360

解:设甲煤矿运往东车站x万吨,乙煤矿运往东车站y万吨,则 线性规划的实际应用 约束条件为:
y 280 煤矿调运问题

?x ? 0 ?y ? 0 ? 140 ? ? x ? y ? 280 目标函数为: ?(200 ? x) ? (300 ? y ) ? 360 z=[x+1.5(200-x)]+[0.8y+1.6(300-y)] ? O
=780-0.5x-0.8y (万元)

P
P: (0.00, 280.00) z= 780-0.5?xP-0.8?yP = 556.00

140

280

x

答案:当 x=0,y=280时,即甲煤矿运往东车站0吨,西车 站200吨;乙煤矿运往东车站280吨,西车站20吨.总运费 最少 556万元。

线性规划的应用
? 已知:-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求a+3b的取值范围。
解法1:由待定系数法: 设 解法2:∵-1≤a+b≤1,1≤a-2 b≤3

a+3b=m(a+b)+n(a-2 b)
=(m+n)a+(m-2n)b ∴m+n=1,m-2n=3

∴-2≤2a+2 b≤2,
-3≤2 b-a≤-1 ∴-1/3≤a≤5/3

m=5/3 ,n=-2/3
∴ a+3b=5/3×(a+b)-2/3×(a-2 b) ∵-1≤a+b≤1,1≤a-2 b≤3 ∴-11/3≤a+3 b≤1

-4/3≤b≤0
∴-13/3≤a+3 b≤5/3

已知:-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求a+3b的取值范围。 线性规划的应用
b

解法3 约束条件为:
? a ? b ? ?1 ?a ? b ? 1 ? ? ?a ? 2b ? 1 ?a ? 2b ? 3 ?
D O A a

P
B

C

目标函数为:z=a+3b
由图形知:-11/3≤z≤1 即 -11/3≤a+3 b≤1

线性规划的实际应用小结
? 解线性规划应用问题的一般步骤:
1、理清题意,列出表格; 2、设好变元,列出线性约束条件(不 等式组)与目标函数; 3、准确作图; 4、根据题设精度计算。

线性规划的应用
作业: P91 练习2 P93 习题 3.3 A组4

B组3


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