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吉林省长春市十一中2015-2016学年高一上学期期中考试 数学(文)


体验 探究 合作 展示

长春市十一高中 2015-2016 学年度高一上学期期中考试 数学试题(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,试卷满分为 120 分.答题时 间为 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. sin( ?

10 ? ) 的值等于 3
1 2
B.

(

)

A.-

1 2

C.-

3 2
1 2

D.

3 2
( )

2. (1 ? tan2 150 ) cos2 150 的值等于 A.
1? 3 2
0 0

B. 1
0 0

C.-

D.

1 2
( )

3. sin 75 cos30 ? sin 15 sin 150 的值等于 A. 1 B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

, 0) 4.在直角坐标系中,一动点从点 A(1 出发,沿单位圆(圆心在坐标原点半径为 1 的圆)圆
周按逆时针方向运动 A. ? ?

2? 弧长,到达点 B ,则点 B 的坐标为 3

( D. ? ?

)

? 1 3? ? 2, 2 ? ? ? ?

B. ? ?

? ? ?

3 1? ,? ? 2 2? ?

C. ? ?

? 1 3? , ? ? ? 2 2 ? ? ?

? ? ?

3 1? , ? 2 2? ?
( )

5. 若 cos(? ? ? ) ? A. ?

3 5

4 ,且 ? 是第二象限角,则 sin ? 的值为 5 3 1 B. C. 5 5

D. ?

1 5

6. 已知

1 ? sin? ? cos? 1 = ,则 tan ? ?=( 1 ? sin? ? cos? 2 4 3
B.

) C. ?

A.

3 4

3 4

D. ?

4 3


7.已知 ? 是第三象限角,且 cos

?
2

? ? cos

?
2

,则

? 是 2



A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角 ( )

8.下列各组函数中,是相等函数的一组是 A. y ? sin( x ?

3? ) , y ? cos x 2

B. y ? sin x , y ? tan x ? cos x D. y ? 2 ?

C. y ? 1 ? ln(x 2 ) , y ? 1 ? 2 ln x 9.下列不等式正确的是 A. log3 4 ? log4 3 C. ?
?1

x 2 , y ? 2 ? 3 x3
( )

B. 0.3

0.8

? 0.30.7

? e ?1

D. a 3 ? a 2 (a ? 0, 且a ? 1)

10.若函数的 f ?x? ? x 3 ? x 2 ? 2x ? 2 一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考 数据如下表:

f (1) ? ?2 f (1.25) ? ?0.984 f (1.438) ? 0.165
3 2

f (1.5) ? 0.625 f (1.375) ? ?0.260 f (1.4065 ) ? ?0.052
( D.1.5 ( D.3 ) ) )

那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确度 0.1)为 A.1.2 11.函数 f ?x ? ? ? A.0 B.1.3 C.1.4

?ln x ? x 2 ? 2 x, ( x ? 0) 的零点个数为 2 x ? 1, ( x ? 0) ?
B.1 C.2

12.已知 sin x ? sin y ? ? 2 14 5

2 2 , cos x ? cos y ? ,且 x, y 为锐角,则 tan(x ? y ) ? ( 3 3
2 14 5 C.± 2 14 5 D.± 5 14 28

A.

B.-

第Ⅱ卷(非选择题

共 60 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 13.求值 sin

?
2

tan

?
3

? cos 2

?
6

? sin
2

3? ? ? 3 ? tan ? cos ? sin ? tan 2 ? 2 4 3 4 6
.

.

14.不等式 0.3

x2 ? x ?1

? 0.3?2 x
?

?5 x

的解集为

2x 15.若 f(x)=lg?1+x+a?(a∈R)是奇函数,则实数 a=________.

?

16.已知

?
6

?? ?

2? ? 2? , cos( ? ? ) ? m(m ? 0),则 tan( ??) ? 3 3 3

三、解答题:本大题共 4 小题, 共 40 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)

(Ⅰ)计算:

1 0.008
1 3

? 81 ? log

1 2

2

1 ; 16

(Ⅱ)解方程: l gx ?

x lg ? . 3 100

18.(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系中,点 P ( , ) 在角 α 的终边上,点 Q ( ,?1) 在角 β 的终边上,点

1 2 2 3

1 3

M (sin

2? 2? , cos ) 在角 ? 终边上. 3 3

(Ⅰ)求 sin ? , cos? , tan ? 的值; (Ⅱ)求 sin(? ? ? ) 的值.

19. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中, cos A ?

4 , tan B ? 2 ,求 tan(2 A ? 2B) 的值。 5

20.(本小题满分 10 分)
x 已知函数 f ( x) ? log4 (4 ? 1) ? kx(k ? R) 与 g ( x ) ? log 4 ( a ? 2 ?
x

4 a) , 其中 f ( x) 是偶 3

函数. (Ⅰ)求实数 k 的值; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的定义域; (Ⅱ)若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,求实数 a 的取值范围.

21. (附加题

满分 10 分)
x

?1? 已知函数 f ?x ? ? ? ? , x ? ?? 1,1? ,函数 g ?x? ? f 2 ?x? ? 2af ?x? ? 3 的最小值为 h?a ? . ? 3?
(Ⅰ)求 h?a ? ; (Ⅱ)是否存在实数 m 、 n 同时满足以下条件: ① m ? n ? 3 ;②当 h?a ? 的定义域为 ?n, m ? 时,值域为 n 2 , m 2 。 若存在,求出 m 、 n 的值;若不存在,说明理由.

?

?

长春市十一高中 2015-2016 学年度高一上学期期中考试 数学(文科)试题答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分 1D 2B 3 C 4 A 5 B 7B 8A 9 A 10 C 11 D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分 13. 6 D 12 B

3 2

14. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

15.-1

16. ?

1 ? m2 m

三、解答题:本大题共 4 小题, 共 40 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ) 0.008
? 1 3

? 812 ? log

1

2

1 ? 5 ? 9 ? 4 ? 10 16
2

---------------5 分

(Ⅱ) lg x ? (lg x ? 2) ? 3 ,即 lg x ? 2lg x ? 3 ? 0 ∴ lg x ? ?1 或 lg x ? 3 , ∴ x ? 0.1 或 x ? 1000 18.(本小题满分 10 分) 1 2? 4 3 解: (1) ∵点 P? ?2,3?在角α 的终边上,∴sinα=5,cosα=5. 3 10 10 同理 sinβ=- ,cosβ= , 10 10 --------2 分 -------------------------------------------8 分 --------------------------------------------10 分

-----------------------------------4 分

2π π 1 2π π 3 sin ? =cos =-cos =- ,cos ? =sin =sin = , 3 3 2 3 3 2

3 4 10 ∴sinα= ,cosβ= ,∴ tan? ? ? 5 10 3

-----------------------------6 分

4 10 3 ? 3 10? 10 (2)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= × + × =- . -----------10 分 5 10 5 ?- 10 ? 10

19. (本小题满分 10 分) 解:在 ?ABC 中, cos A ? ∴ tan A ?

4 3 , 0 ? A ? ? ,得 sin A ? 5 5

3 4

------------------------------------------------- --------------------------5 分

又 tan B ? 2 ,可求得 tan( A ? B ) ? ? ∴ tan( 2 A ? 2 B) ?

11 2

44 117

------------------------------------------------------------------10 分

20. (本小题满分 10 分) 解: (1)由函数 f(x)是偶函数可知 f(x)=f(-x), ∴log4(4x+1)+kx=log4(4 x+1)-kx,


∴log4

4x+1 =-2kx,即 x=-2kx 对一切 x∈R 恒成立, - 4 x+1 ---------------------------------------------------------------4 分

1 ∴k=- . 2
x (2)当 a ? 2 ?

4 a ? 0 时,函数解析式有意义 3 4 4 ,得 x ? log 2 ; 3 3 4 4 ,得 x ? log 2 。----------------------------------------5 分 3 3

x 当 a ? 0 时, 2 ?

x 当 a ? 0 时, 2 ?

综上,当 a ? 0 时, g ( x) 的定义域为 {x x ? log 2 } ; 当 a ? 0 时, g ( x) 的定义域为 {x x ? log 2 } ---------------------------------6 分 (3)函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点, 4 1 2x- a?有且只有一个实根, 即方程 log4(4x+1)- x=log4? 3 ? ?a· 2 1 4 即方程 2x+ x=a· 2x- a 有且只有一个实根,------------------------------------7 分 2 3 4 令 t=2x>0,则方程(a-1)t2- at-1=0 有且只有一个正根, 3 3 ①当 a=1 时,t=- ,不合题意; 4 3 ②当 a≠1 时,由 Δ=0 得 a= 或-3, 4 3 若 a= ,则 t=-2 不合题意; 4

4 3

4 3

1 若 a=-3,则 t= 满足要求; 2

----------------------------------------8 分

若 Δ>0,则此时方程应有一个正根与一个负根, ∴ -1 3 <0,∴a>1,又 Δ>0 得 a<-3 或 a> ,∴a>1. -----------------------9 分 4 a-1

综上,实数 a 的取值范围是{-3}∪(1,+∞).----------------------------------------10 分

21. (附加题,满分 10 分) 解: 1?x ?1 ? (1) ∵x∈[-1,1],∴ ? ?3? ∈?3,3?.

1? x ?1 ? 设? ?3? =t,t∈?3,3?, 则 g(x)=φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2. ---------------1 分 1? 28 2a 1 当 a< 时,h(a)=φ? 3?= 9 - 3 ; ? 3 1 当 ≤a≤3 时,h(a)=φ(a)=3-a2; 3 当 a>3 时,h(a)=φ(3)=12-6a. ---------------2 分

? 9 - 3 ?a<3? 1 ∴ h(a)=? ? 3-a ? ?3≤a≤3? ?12-6a (a>3)
2

28 2a

? 1?

----------------4 分

(2) ∵m>n>3,a∈[n,m], ∴h(a)=12-6a. ∵ h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],且 h(a)为减函数,
2 ? ?12-6m=n ? ∴ 2 , ?12-6n=m ?

------------------------------------------------------------------------6 分

两式相减得 6(m-n)=(m-n)(m+n), ∵m>n,∴m-n≠0,得 m+n=6,但这与“m>n>3”矛盾, ---------------9 分

故满足条件的实数 m,n 不存在.--------------------------------------------------------10 分


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