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正多边形的镶嵌


正多边形的镶嵌
一、正多边形能够镶嵌的条件: ⑴拼接处各角之和为 3600 ⑵它们的边长相等 二、正多边形镶嵌的类型: 1、单一型:只有同一种正多边形镶嵌.设正多边形的内角为 ? ,镶嵌所有的 正多边形为 m 个,则 m? ? 3600 ( m 为正整数) 2、组合型:用两种以上的正多边形镶嵌.设第一种正多边形的内角为 ?1 ,用 了 x1 个;第二种正多边形的内角为 ? 2 ,用了 x2 个; ??;第 n 种正多边形的 内角为 ? n ,用了 xn 个,则 x1?1 ? x2?2 ???? xn?n ? 3600(这里 x1 , x2 ,??, xn 为 正整数) 三、典型例题 例 1、下列四种正多边形中,用同一种图形不能平面镶嵌的是(
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形



【解析】 : 正 n 多边形的内角为

(n ? 2) ? 1800 , 分别算出正三角形的内角为 60 0 , n

正方形的内角为 90 0 ,正五边形的内角为 1080 ,正六边形的内角为 1200 ,
10 3600 3600 3600 10 3600 ? 6, 0 ? 4, ? , ? 3 ,由于 不是正整数,所以选 C. 0 0 0 3 60 90 108 3 120

【点悟】 : 判断一种正多边形能否镶嵌的方法是: 用 360 除以它的内角的度数, 看商是否为整数,若为整数,可以镶嵌,若不得整数,就不能镶嵌. 例 2、如果在一个顶点周围用两个正方形和 n 个正三角形恰好可以进行平面镶 嵌,则 n 的值为(
A.


C. 5 D. 6

3

B. 4

【解析】 :正三角形的内角为 60 0 ,正方形的内角为 90 0 ,列方程得
2 ? 900 ? n ? 600 ? 3600

解得 n ? 3 ,故选 A. 例 3、⑴正三角形与正六边形组合能否铺满平面? ⑵正方形与正六边形组合能否铺满平面? ⑶正三角形,正方形,正六边形三者结合能否铺满平面? 【解析】 :⑴设用了 m 个正三角形, n 个正六边形,列方程得
m ? 60 ? n ?120 ? 360 ,化简得: m ? 2n ? 6 ,此方程的正整数解为 m ? 2, n ? 2 ;

m ? 4, n ? 1 .所以能铺满.

⑵设用了 m 个正方形, n 个正六边形,列方程得 m ? 90 ? n ?120 ? 360 ,化简得
3m ? 4n ? 12 ,此方程无正整数解,所以不能铺满.

⑶设用了 x 个正三角形, y 个正方形, z 个正六边形,列方程得
60 x ? 90 y ? 120 z ? 360 ,化简得 2 x ? 3 y ? 4 z ? 12 ,此方程的正整数解为 x ? 1, y ? 2, z ? 1 ,故能铺满.

总结: 1 任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌 2 任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌 3 用一种正多边形可以进行镶嵌的是正三角形,正方形,正六边形 4 用两种正多边形可以进行镶嵌的是:正三角形和正方形,正三角形和正六 边形,正方形和正八边形。


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