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北京市昌平区2013届高三仿真模拟数学理科试卷3


北京市昌平区 2013 届高三仿真模拟数学理科试卷 3
第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. (1)已知全集 U
? R

,集合 A ? { x | 0 ? 2 ? 1 } , B ? { x | lo g 3 x ? 0} ,则 A I ( ?U B ) = (B) { x | x ? 0}
x y

x

(A) { x | x ? 1 }

(C) { x | 0 ? x ? 1}

(D) { x | x ? 0}

(2)设 x , y ? R ,那么“ x ? y ? 0 ”是“

? 1 ”的

(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充分必要条 (D)既不充分又不必要条件 (3)三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形,其正视 图(如图所示)的面积为 8,则侧视图的面积为 (A) 8 (B) 4 (C) 4 3 (D) 3 1 1

(4)已知随机变量 X 服从正态分布 N ( a , 4 ) ,且 P ( X ? 1) ? 0 .5 ,则实数 a 的值为 (A)1 (B) 3 (C)2 (D)4

正视图

(5)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数” .现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 (A)120 个 (B)80 个 (C)40 个 (D)20 个 (6) P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点, 点 则点 P 到点 A (0, ? 1) 的距离与到直线 x ? ? 1 的距离和
2

的最小值是 (A) 5 (B) 3 (C)2 (D) 2

(7)已知棱长为 1 的正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中,点 E , F 分别是棱 B B 1 , D D 1 上的动 点,且 B E ? D 1 F ? ? ( 0 ? ? 则 ? ? ? 的最小值 (A)不存在 (B)等于 60? (C)等于 90? (D)等于 120?


1 2

) .设 E F 与 A B 所成的角为 ? ,与 B C 所成的角为 ? ,

(8)已知点 P 是 ? A B C 的中位线 E F 上任意一点,且 E F // B C ,实数 x , y 满足
??? ? ??? ? ??? ? P A ? x P B ? y P C ? 0 . ? A B C ,? P B C ,? P C A ,? P A B 的面积分别为 S ,S 1 ,S 2 , 设

S3 , 记

S1 S

? ?1 ,

S2 S

? ?2 ,

S3 S

? ? 3 .则 ? 2 ? ? 3 取最大值时, 2 x ? y 的值为

(A)

3 2

(B)

1 2

(C) 1

(D)2

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. (9)已知复数 z 满足 iz ? 1 ? i ,则 z ? . (10)曲线 C : ?
? x ? c o s ? ? 1, ? y ? s in ? ? 1
2

( ? 为参数)的普通方程为

.

(11)曲线 y ? 3 ? 3 x 与 x 轴所围成的图形面积为________. (12)已知数列 { a n } 满足 a1 ? 2 ,且 a n ? 1 a n ? a n ? 1 ? 2 a n ? 0, n ? N ,则 a 2 ?
*

;并归

纳出数列 { a n } 的通项公式 a n ?

.

(13)如图, P A 与圆 O 相切点 A , P C B 为圆 O 的割线,并且不过圆心 O , 已知 ? B P A ? 3 0 , P A ? 2 3 , P C ? 1 ,则 P B ? 半径等于 .
2

?

;圆 O 的
O C P A B

(14)已知函数 f ( x ) ? a x ? ( b ? 1) x ? b ? 1 ,且 a ? (0, 3) ,则对于任意 的 b ? R ,函数 F ( x ) ? f ( x ) ? x 总有两个不同的零点的概率是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 s in x ? s in (
? 2 ? x ) ? 2 s in x ? 1 ( x ? R ) .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及函数 f ( x ) 的单调递增区间;
x0 2 2
π π

(Ⅱ)若 f (

)?

x0 ? (? , ) 求 co s 2 x 0 的值. 3 , 4 4 ,

(16) (本小题满分 13 分) 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须进行 两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合 格的概率为
1 6

,第二轮检测不合格的概率为

1 10

,两轮检测是否合格相互没有影响.

(Ⅰ)求该产品不能销售的概率; (Ⅱ)如果产品可以销售,则每件产品可获利 40 元;如果产品不能销售,则每件产品亏损 80 元(即获利-80 元).已知一箱中有产品 4 件,记一箱产品获利 X 元,求 X 的分布列,并 求出均值 E(X). (17) (本小题满分 13 分) 在长方形 A A1 B 1 B 中, A B ? 2 A A1 ? 4 ,C ,C 1 分别是 A B , A1 B 1 的中点(如图 1). 将 此长方形沿 C C 1 对折,使二面角 A1 ? C C 1 ? B 为直二面角, D , E 分别是 A1 B 1 , C C 1 的中点

(如图 2). (Ⅰ)求证: C 1 D ∥平面 A1 B E ; (Ⅱ)求证:平面 A1 B E ? 平面 A A1 B 1 B ; (Ⅲ)求直线 B C 1 与平面 A1 B E 所成角的正弦值. C1 A1 C1 B1 2A D A

B1 2A

A1

E A C A

A

C A 图(1)

B A

B A

A

图(2)

(18)(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x ) ? ln x ? ( x ? a ) , a ? R .
2

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 在 [1, e ] 上的最小值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 [ , 2 ] 上存在单调递增区间,试求实数 a 的取值范围;
2 1

(Ⅲ)求函数 f ( x ) 的极值点. (19)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 经过点 A ( 2, 1) ,离心率为

2 2

.过点 B (3, 0 ) 的直

线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 B M ? B N 的取值范围; (Ⅲ)设直线 A M 和直线 A N 的斜率分别为 k A M 和 k A N ,求证: k A M ? k A N 为定值. (20)(本小题满分 14 分) 对于正整数 a , b ,存在唯一一对整数 q 和 r ,使得 a ? b q ? r , 0 ≤ r ? b . 特别地,当
r ? 0 时,称 b 能整除 a ,记作 b | a ,已知 A ? {1, 2, 3, ? ? ?, 2 3} .

???? ???? ?

(Ⅰ)存在 q ? A ,使得 2 0 1 1 ? 9 1 q ? r (0 ≤ r ? 9 1) ,试求 q , r 的值; ( Ⅱ ) 求 证 : 不 存 在 这 样 的 函 数 f : A ? {1, 2, 3} , 使 得 对 任 意 的 整 数 x1 , x 2 ? A , 若
| x1 ? x 2 |? {1, 2, 3} ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ;

(Ⅲ)若 B ? A , card ( B ) ? 12 ( c a rd ( B ) 指集合 B 中的元素的个数) ,且存在 a , b ? B ,
b ? a , b | a ,则称 B 为“和谐集”. 求最大的 m ? A ,使含 m 的集合 A 的有 12 个元素

的任意子集为“和谐集” ,并说明理由.

参考答案
1. D【解析】分别把两个集合表示为 A ? ? x x ? 0 ? , B ? ? x x ? 1? ,所以 C U B ? ? x x ? 1? ,
A ? ? C U B ? ? ? x x ? 0? .

2. B【解析】 当 x ? y ? 0 时

x y

? 1 成立,若

x y

? 1 ,则出现 x ? y ? 0 和 x ? y ? 0 两种情形.

3. C【解析】侧视图应为矩形,高为 4 ,宽为 4. A 【解析】由 P ( X ? 1) ? 0 .5 可知 ? ? a ? 1 .

3 2

?2 ?

3 , 因此侧视图的面积为 4 3 .

5. C【解析】分四种情形处理,当中间数依次分别为 3, 4 , 5, 6 时,相应“伞数”的个数分别 为 A 2 , A3 , A 4 , A5 , 所以 A 2 ? A3 ? A 4 ? A5 ? 4 0 .
2 2 2 2 2 2 2 2

6. D 【解析】 P 到点 A (0, ? 1) 的距离与到直线 x ? ? 1 的距离和转化为点 P 到点 A (0, ? 1) 的 点 距离与点 P 到焦点 F ? 1, 0 ? 的距离和,显然最小值为 A F ?
B 7. C 解析】 A A1 上取一点 M , E ∥ 【 在 使 M A

2.
?? , 同理可判断 ? ? ? .

E , 连结 M F , ? MF 则
2 2

在 ? M F E 中, M E ? 1, E F ? 所以 c o s ? ?
1 2 ? ?1 ? 2 ? ?
2

2 ? ?1 ? 2 ? ? , M F ?
2 2

1 ? ?1 ? 2 ? ? ,
?

?

? ,所以 ? m in ? 4 5 , 因此 ? ? ? ? ? m in ? 9 0 .

【易错点拨】在判断 E F 与 A B 所成的角 ? 、 B C 所成的角 ? 时不能从图形直接判断为相等

是本题解答的一个障碍,由三角函数值确定角也是较为容易出错的地方。此外若采用空间坐 标运算还可能出现坐标的确定有误. 8. A【解析】 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? 1, ? 1 ?
2

1 2

, ?2 ? ?3 ?

1 2



1 1 ? ? ? ?3 ? ?2?3 ? ? 2 , ? 2 ? ? 3 ? 时取等号,此时点 P 为 E F 的中点, ? ? 2 16 4 ? ?

所以 P A ? ?

??? ?

? 1 ??? ???? 1 1 3 P B ? P C ,因此 x ? , y ? , 2 x ? y ? . 2 2 2 2

?

?

9. ? 1 ? i . 【解析】把 iz ? 1 ? i 两边同乘以 ? i ,则 z ? ? 1 ? i ? ? ? ? i ? ? ? 1 ? i . 10. ? x ? 1 ? ? ? y ? 1 ? ? 1 . 【解析】 x ? 1 ? co s ? , y ? 1 ? sin ? ,则 ? x ? 1 ? ? ? y ? 1 ? ? 1 .
2 2 2 2

11. 4 . 【 解 析 】 先 求 曲 线 y ? 3 ? 3 x 与 x 轴 的 交 点 分 别 为 ? ? 1 , 0 ? , 1? , 0 ,以 所 ?
2

S ?

? ? 3 ? 3 x ?d x ? 3 x ? x
1 2 ?1

3

1 ?1

? 4.

【易错点拨】积分的上下限的确定是解题的关键,被积函数的“还原”是难点. 12.
4 , 2
n n

3 2 ?1

【解析】由 a1 ? 2 , a n ? 1 a n ? a n ? 1 ? 2 a n ? 0 得 a 2 ?

4 3



? 1 ? ? 1 ? 1 1 ? 1? ? ?1, ? ? 1 ? 为等比数列, a n ? 1 a n ? a n ? 1 ? 2 a n ? 0 可变形为 2 ? 则 首项为 ? , 2 ? a n ?1 ? an ? an ? ? 1? ?1? ?1 ? ?? ??? ? 公比为 ,所以 an 2 ? 2? ?2?
1

1

n ?1

, an ?

2
n

n

2 ?1

.

2 13. 1 2 , 7 .【解析】由 P A ? P C ? P B 得 P B ?

?2 3 ?
1

2

? 1 2 . 作直径 A D 交 P B 于 E ,则

A E ? E D ? C E? E B .易求得 A E ? 2, C E ? 3, E B ? 8, 所以 D E ? 1 2 , r ?

DE ? EA 2

? 7.

14.

1 3

【解析】 F ( x ) ? a x ? ( b ? 1) x ? b ? 1 ? x ? a x ? b x ? b ? 1 ,因为该函数总有两个不

2

2

同的零点,
2 所以 ? ? b ? 4 a b ? 4 a ? ? b ? 2 a ? ? 4 a ? 4 a ? 0 恒成立只需要 4 a ? 4 a ? 0, 0 ? a ? 1 .
2 2 2

所以 P ?

1 3

.

15. 【解析】
f ( x ) ? 2 sin x ? co s x ? 2 sin x ? 1 ? sin 2 x ? co s 2 x
2

?

2 s in ( 2 x ?

π 4

).

(Ⅰ)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 令 2 kπ ?
π 2
≤ 2x ?

2π 2

? π.

π 4

≤ 2 kπ ?

π 2
π 4

(k ? Z ) ,

所以 2 k π ? 即 kπ ?
3π 8

3π 4

≤ 2 x ≤ 2 kπ ?

.

≤ x ≤ kπ ?

π 8

.
3π 8 , kπ ? π 8
2 3 ,

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k π ?
x0 2

] (k ? Z ) .

(Ⅱ)解法一:由已知得 f ( 两边平方,得 1 ? s in 2 x 0 ? 所以 sin 2 x 0 ? ? 因为 x 0 ? ( ?
π 4 , 7 9 4

) ? s in x 0 ? c o s x 0 ?

2 9

π

) ,所以 2 x 0 ? ( ?

?
2

,

π 2

).

所以 c o s 2 x 0 ? 解法二:因为 x 0 ? ( ?
x0 2
π 4

1 ? (?
π 4 π 4

7 9

)

2

?

4 9

2

.
π 4 π 2
2 s in ( x 0 ? π 4 )? 2 3 ,

,

) ,所以 x 0 ?
x0 2 π 4

? (0,

).

又因为 f (

)?

2 s in ( 2 ?

?

)?

得 s in ( x 0 ?

)?

1 3

. 所以 c o s ( x 0 ?
?
2

π 4

)?

1 2 2 2 1? ( ) ? . 3 3
π 4 )] ? 2 s in ( x 0 ? π 4 ) co s( x0 ? π 4 )

所以, c o s 2 x 0 ? s in ( 2 x 0 ?
1 2 2 4 2 ? ? . 3 3 9

) ? s in [ 2 ( x 0 ?

? 2?

16. 【解析】 (Ⅰ)记“该产品不能销售”为事件 A,则
P ( A ) ? 1 ? (1 ? 1 6 ) ? (1 ? 1 10 )? 1 4 1 4

. .

所以,该产品不能销售的概率为

(Ⅱ)由已知,可知 X 的取值为 ? 3 2 0, ? 2 0 0, ? 8 0, 4 0,1 6 0 .

1 4 1 P ( X ? ?320) ? ( ) ? , 4 256

1 3 3 3 1 P ( X ? ?200) ? C 4 ? ( ) ? ? , 4 4 64

1 2 3 2 27 1 3 3 27 2 3 P ( X ? ?80) ? C 4 ? ( ) ? ( ) ? , P ( X ? 40) ? C 4 ? ? ( ) ? , 4 4 128 4 4 64
3 4 81 P ( X ? 160) ? ( ) ? . 4 256

所以 X 的分布列为

X

-32 0
1 256

-20 0
3 64

-80
27 128

40
27 64

160
81 256

P

E(X) ? ? 3 2 0 ?

1 256

? 200 ?

1 64

? 80 ?

27 128

? 40 ?

27 64

? 160 ?

81 256

? 40

所以,均值 E(X)为 40. 17. 【解析】 解法一: (Ⅰ)证明:取 A1 B 的中点 F ,连接 D F , E F . 因为 D , F 分别是 A1 B 1 , A1 B 的中点, 所以 D F 是△ A1 B B 1 的中位线. ??????1 分 所以 D F ∥ B B 1 ∥ C C 1 ,且 D F ? 又因为 E 是 C C 1 的中点, 所以 C 1 E ?
1 2 C C1 .
1 2 B B1 ? 1 2 C C1 .

所以 D F ∥ C 1 E ,且 D F ? C 1 E . 所以四边形 C 1 E F D 是平行四边形. 所以 C 1 D ∥ E F . 又 E F ? 平面 A1 B E , C 1 D ? 平面 A1 B E , 所以 C 1 D ∥平面 A1 B E . (Ⅱ)证明:因为 C C 1 ? A1 C 1 , C C 1 ? B 1 C 1 且 A1 C 1 ? B1 C 1 ? C 1 , 所以 C C 1 ? 平面 A1C 1 B1 .

因为 B B 1 ∥ C C 1 , 所以 B B1 ? 平面 A1C 1 B1 . 因为 C 1 D ? 平面 A1C 1 B1 ,所以 B B1 ? C 1 D . 又 A1 C 1 ? C 1 B1 ,且 D 是 A1 B 1 的中点,所以 C 1 D ? A1 B 1 . 因为 A1 B1 ? B B 1 ? B 1 ,所以 C 1 D ? 平面 A A1 B 1 B . 由(Ⅰ)知 E F ∥ C 1 D . 所以 E F ? 平面 A A1 B 1 B . 又因为 E F ? 平面 A1 B E , 所以平面 A1 B E ? 平面 A A1 B 1 B . (Ⅲ)解:由已知,将长方形 A A1 B 1 B 沿 C C 1 对折后,二面角 A1 ? C C 1 ? B 为直二面角, 因为在长方形 A A1 B 1 B 中, C , C 1 分别是 A B , A1 B 1 的中点, 所以 C C 1 ? B C , C C 1 ? A C . 所以 ? A C B 是二面角 A1 ? C C 1 ? B 的平面角. 所以 ? A C B ? 9 0 ? . 所以 B C ? A C .

又 B C ? C C1 , A C ? C C1 ? C , 所以 B C ? 平面 A A1 C 1 C ,即 B C ? 平面 A1 E C 1 . 所以 V C
? A1 B E

1

? VB ? A EC
1

?
1

1 3

S ?A E C ? B C .
1 1

其中 S ? A E C ?
1 1

1 2

A1 C 1 ? C 1 E ? 1 3

1 2

? 2 ?1 ? 1 , 1 3 ?1 ? 2 ? 2 3

所以 V C

1

? A1 B E

? V B ? A EC ?
1 1

S ?A EC ? B C ?
1 1

.

S ?A EB ?
1

1 2

A1 B ? E F ?

1 2

?2 3 ?

2 ?

6 ,

设点 C 1 到平面 A1 E B 的距离为 h ,
1 3 1 3 2 3

所以 V C

1

? A1 B E

?

S ?A E B ? h ?
1

?

6 ?h ?

,即 h ?

6 3

.

设直线 B C 1 与平面 A1 B E 所成角为 ? ,

6

所以 sin ? ?

h B C1

? 2

3 2

?

3 6

.

所以直线 B C 1 与平面 A1 B E 所成角的正弦值为 解法二:

3 6

.

(Ⅰ)证明:由已知,将长方形 A A1 B 1 B 沿 C C 1 对折后, 二面角 A1 ? C C 1 ? B 为直二面角,因为在长方形
A A1 B 1 B 中, C , C 1 分别是 A B , A1 B 1 的中点,

z A C1 D A

B1 2A

A1

E A C A

所以 C C 1 ? B C , C C 1 ? A C . 即 ? A C B 是二面 角 A1 ? C C 1 ? B 的平面角. 所以 ? A C B ? 9 0 ? . 所以 B C ? A C . 所以 C A , C B , C C 1 两两垂直. x A A

B A

y A

以 点 C 为 原 点 , 分 别 以 C A, C B , C C1 为 x, y , z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系. ?????1 分 因为 A B ? 2 A A1 ? 4 ,且 D , E 分别是 A1 B 1 , C C 1 的中点, 所以 C 1 (0 , 0 , 2 ) , D (1, 1, 2 ) , A1 ( 2 , 0 , 2 ) , B (0 , 2 , 0 ) , E (0, 0, 1) . 所以 C 1 D ? (1, 1, 0 ) , A1 B ? ( ? 2, 2, ? 2 ), B E ? (0, ? 2, 1) . 设平面 A1 B E 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,
???? ? n ? A1 B ? 0 , ? 所以 ? ??? ? ? n ? BE ? 0. ?

???? ?

????

??? ?

所以 ?

? ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ? ?2 y ? z ? 0.

令 y ? 1 ,则 z ? 2 , x ? ? 1 .
???? ?

所以 n ? ( ? 1, 1, 2 ) .

又因为 C 1 D ? n ? (1, 1, 0 ) ? ( ? 1, 1, 2 ) ? 0 . 所以 C 1 D ? n . 又因为 C 1 D ? 平面 A1 B E , 所以 C 1 D ∥平面 A1 B E .
???? ?

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知
???? ??? ? A ( 2 , 0 , 0 ) , A1 ( 2 , 0 , 2 ) , B (0 , 2 , 0 ) , A A1 ? (0 , 0 , 2 ) , A B ? ( ? 2, 2, 0 ) .

设平面 A A1 B 1 B 的法向量为 m ? ( x , y , z ) ,
???? ? m ? A A1 ? 0 , ? 2 z ? 0, ? 所以 ? 所以 ? ??? ? ??2 x ? 2 y ? 0. ?m ? AB ? 0. ?

令 y ? 1 ,则 x ? 1 , z ? 0 ,所以 m ? (1, 1, 0 ) . 由(Ⅰ)知,平面 A1 B E 的法向量为 n ? ( ? 1, 1, 2 ) . 所以 m ? n ? (1, 1, 0) ? ( ?1, 1, 2) ? 0 . 所以 m ? n . 所以平面 A1 B E ? 平面 A A1 B 1 B . (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知, B (0 , 2 , 0 ) , C 1 (0 , 0 , 2 ) . 所以 B C 1 ? (0, ? 2, 2 ) . 又由(Ⅰ)知,平面 A1 B E 的法向量为 n ? ( ? 1, 1, 2 ) . 设直线 B C 1 与平面 A1 B E 所成角为 ? ,则
???? ? s in ? ? c o s ? n , B C 1 ? ? ???? ? n ? B C1 ?2 ? 4 3 ? . ???? ? ? 6 2 2? 6 n ? B C1
???? ?

所以直线 B C 1 与平面 A1 B E 所成角的正弦值为 18. 【解析】 (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0 , ? ? ) . 因为 f ? ( x ) ?
1 x

3 6

.

? 2 x ? 0 ,所以 f ( x ) 在 [1, e ] 上是增函数,

当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最小值 f (1) ? 1 . 所以 f ( x ) 在 [1, e ] 上的最小值为 1.
1 x 2 x ? 2ax ? 1
2

(Ⅱ)解法一: f ? ( x ) ?

? 2( x ? a ) ?

x

设 g ( x) ? 2 x ? 2ax ? 1 ,
2

依题意,在区间 [ , 2 ] 上存在子区间使得不等式 g ( x ) ? 0 成立.
2

1

注意到抛物线 g ( x ) ? 2 x 2 ? 2 a x ? 1 开口向上,所以只要 g ( 2 ) ? 0 ,或 g ( ) ? 0 即可.
2

1

由 g ( 2 ) ? 0 ,即 8 ? 4 a ? 1 ? 0 ,得 a ? 由 g ( ) ? 0 ,即
2 1 1 2 9 4 ? a ? 1 ? 0 ,得 a ?

9 4

, ,

3 2

所以 a ?


9 4 ).

所以实数 a 的取值范围是 ( ? ? ,
1 x
1
2

解法二: f ? ( x ) ?

? 2( x ? a ) ?

2 x ? 2ax ? 1 x



依题意得,在区间 [ , 2 ] 上存在子区间使不等式 2 x 2 ? 2 a x ? 1 ? 0 成立.
2

又因为 x ? 0 ,所以 2 a ? ( 2 x ? 设 g (x) ? 2 x ?
1 x

1 x

).
1

,所以 2 a 小于函数 g ( x ) 在区间 [ , 2 ] 的最大值.
2

又因为 g ? ( x ) ? 2 ?
1 x
2

1 x
2


2 2 2 2
2 2 1 2 2 2

由 g ?( x ) ? 2 ?

? 0 解得 x ?



由 g ?( x ) ? 2 ?

1 x
2

? 0 解得 0 ? x ?

.

所以函数 g ( x ) 在区间 ( 所以函数 g ( x ) 在 x ? 又 g (2) ?
9 2 1 1 2

, 2 ) 上递增,在区间 (

,

) 上递减.

,或 x ? 2 处取得最大值.
9 2
9 4 ).

, g ( ) ? 3 ,所以 2 a ?
2

,a ?

9 4

所以实数 a 的取值范围是 ( ? ? ,
2 x ? 2ax ? 1
2

(Ⅲ)因为 f ? ( x ) ?

,令 h ( x ) ? 2 x ? 2 a x ? 1
2

x

①显然,当 a ≤ 0 时,在 (0, ? ? ) 上 h ( x ) ? 0 恒成立,这时 f ? ( x ) ? 0 ,此时,函数 f ( x ) 没有极值点;

②当 a ? 0 时, (ⅰ) ? 当
≤ 0

, 0?a 即



2 时, (0, ? ? ) 上 h ( x ) ≥ 0 恒成立, 在 这时 f ? ( x ) ≥ 0 ,

此时,函数 f ( x ) 没有极值点; (ⅱ)当 ? ? 0 ,即 a ?
a? a ?2
2

2 时,
a? a ?2
2

易知,当

? x ?

时, h ( x ) ? 0 ,这时 f ? ( x ) ? 0 ;

2 a? a ?2
2

2 a? a ?2
2

当0 ? x ?

或x ?

时, h ( x ) ? 0 ,这时 f ? ( x ) ? 0 ;

2 a?
2

2 a ?2 2 a? a ?2
2

所以,当 a ?

2 时, x ?

是函数 f ( x ) 的极大值点; x ?

是函

2

数 f ( x ) 的极小值点. 综上,当 a


2 时,函数 f ( x ) 没有极值点;
a? a ?2
2

当a ?

2 时, x ?

是函数 f ( x ) 的极大值点; x ?

a?

a ?2
2

是函数 f ( x )

2

2

的极小值点. 19. 【解析】
1 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, a b ? ? 2 (Ⅰ)由题意得 ? a ? b 2 ? c 2 , 解得 a ? ? ?c ? 2 . ?a 2 ?

6 ,b ?

3.

故椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

6

3

(Ⅱ)由题意显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 3) ,
? y ? k ( x ? 3 ), ? 2 2 2 2 由? x2 y2 得 (1 ? 2 k ) x ? 1 2 k x ? 1 8 k ? 6 ? 0 . ? ? 1, ? 3 ? 6

因为直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N , 所以 ? ? 1 4 4 k ? 4 (1 ? 2 k )(1 8 k ? 6 ) ? 2 4 (1 ? k ) ? 0 ,解得 ? 1 ? k ? 1 .
4 2 2 2

设 M , N 的坐标分别为 ( x1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,

则 x1 ? x 2 ?

12k

2 2

1 ? 2k

, x1 x 2 ?

18k ? 6
2

1 ? 2k

2

, y 1 ? k ( x1 ? 3) , y 2 ? k ( x 2 ? 3) .

所以 B M ? B N ? ( x1 ? 3)( x 2 ? 3) ? y 1 y 2
? (1 ? k )[ x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 ) ? 9 ]
2

???? ???? ?

?

3 ? 3k 1 ? 2k 3 2

2 2

?

?

3 2 (1 ? 2 k )
2



因为 ? 1 ? k ? 1 ,所以 2 ?
???? ???? ?

3 2

?

3 2 (1 ? 2 k )
2

≤ 3



故 B M ? B N 的取值范围为 ( 2, 3] . (Ⅲ)由(Ⅱ)得 k A M ? k A N ?
y1 ? 1 x1 ? 2 ? y2 ? 1 x2 ? 2

?

( k x1 ? 3 k ? 1)( x 2 ? 2 ) ? ( k x 2 ? 3 k ? 1)( x 1 ? 2 ) ( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) 2 k x1 x 2 ? (5 k ? 1)( x1 ? x 2 ) ? 1 2 k ? 4 x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4

?

?

2 k (1 8 k ? 6 ) ? (5 k ? 1) ? 1 2 k ? (1 2 k ? 4 )(1 ? 2 k )
2 2 2

1 8 k ? 6 ? 2 4 k ? 4 (1 ? 2 k )
2 2 2

?

?4k ? 4
2

2k ? 2
2

? ?2 .

所以 k A M ? k A N 为定值 ? 2 . 20. 【解析】 (Ⅰ)解:因为 2 0 1 1 ? 9 1 ? 2 2 ? 9 , 所以 q ? 2 2 , r ? 9 . ( Ⅱ ) 证 明 : 假 设 存 在 这 样 的 函 数 f : A ? {1, 2, 3} , 使 得 对 任 意 的 整 数 x , y , 若
| x ? y ? { 1 , 2 , ,则 f ( x ) ? f ( y ) . | 3}

设 f (1) ? a , a ? {1, 2 , 3} , f ( 2 ) ? b , b ? {1, 2, 3} ,由已知 a ? b ,

由于 | 3 ? 1 |? 2, | 3 ? 2 | ? 1 ,所以 f (3) ? f (1) , f (3) ? f ( 2 ) . 不妨令 f (3) ? c , c ? {1, 2, 3} ,这里 c ? a ,且 c ? b , 同理, f ( 4 ) ? b ,且 f ( 4 ) ? c , 因为 {1, 2 , 3} 只有三个元素,所以 f ( 4 ) ? a . 即 f (1) ? f ( 4 ) ,但是 | 4 ? 1 | ? 3 ,与已知矛盾. 因此假设不成立,即不存在这样的函数 f : A ? {1, 2, 3} ,使得对任意的整数 x , y ,若
| x ? y |? {1, 2 , 3} ,则 f ( x ) ? f ( y ) .

(Ⅲ)当 m ? 8 时,记 M ? { 7 ? i | i ? 1, 2 ,? ? ?,16 } , N ? { 2 ( 7 ? i ) | i ? 1, 2 , 3 , 4 } 记 P ? C N , M 则 card ( P ) ? 12 ,显然对任意 1 ≤ i ? j ≤ 1 6 ,不存在 n ≥ 3 ,使得 7 ? j ? n (7 ? i ) 成立. 故 P 是 非 “ 和 谐 集 ” 此 时 P ? {8, 9,1 0,1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 7 ,1 9, 2 1, 2 3} . 同 样 的 , 当 ,
m ? 9,1 0,1 1,1 2 时,存在含 m 的集合 A 的有 12 个元素的子集为非“和谐集”.

因此 m ≤ 7 . 下面证明:含 7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集为“和谐集”. 设 B ? { a1 , a 2 ,? ? ?, a11 , 7 } , 若 1,14,21 中之一为集合 B 的元素,显然为“和谐集”. 现 考 虑 1 , 14 , 21 都 不 属 于 集 合 B , 构 造 集 合 B 1 ? { 2 , 4 ,8 ,16 } , B 2 ? { 3 , 6 ,12 } ,
B 3 ? {5 ,10 , 20 } , B 4 ? { 9 ,18 } , B 5 ? {11 , 22 } , B ? ? {13 ,15 ,17 ,19 , 23 } .

以上 B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , B 5 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑 B ? ? B 的情况,也即 B ? 中 5 个元素全都是 B 的元素,B 中剩下 6 个元素必须从 B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , B 5 这 5 个集合中选取 6 个元 素,那么至少有一个集合有两个元素被选,即集合 B 中至少有两个元素存在倍数关系. 综上所述,含 7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集 B 为“和谐集” ,即 m 的最大值为 7. 【巩固部分】 1-2 已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a 2 ? 2 a ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】B. 【解析】 a 2 ? 2 a ? 0 ? a ? 2 .
A1 C1

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B1

C A B

2-3 如图,三棱柱的侧棱长为 4,底面是边长为 2 的正三角形, A A1 ? 面 A1 B1 C 1 ,正视图是长 为 4,宽为 2 的矩形,则该三棱柱的侧视图的面积为 A. 4 3 B. 2 3 C. 4 D. 3

【答案】A 。 【解析】根据正视图与左视图的高度相等,俯视图与左视图宽度一样,易知左视图的面积为
4? 3 2 ?2 ? 4 3.

3-5 由数字 2,3,4,5,6 所组成的没有重复数字的四位数中 5,6 相邻的奇数共有 A.10 个 B.14 个 C.16 个 D.18 个 【答案】B. 【解析】分两类:若末位数字为 5,则倒数第二位为 6,前两位数字排法有 A 32 ? 6 种;若末位 数字为 3,将 5,6 视为一个元素,排法有 2× A 2 ×2=8 种,故 5,6 相邻的奇数的个数共有 6+8=14 个. 4-8 如图正六边形 ABCDEF 中,P 是△CDE 内(包括边界)的动点,设 A P (α 、β ∈R) ,则 ? ? ? 的取值范围是 A. ?1, 2 ? 【答案】 C。 B.
??? ? ??? ? ???? ? ? AB ? ? AF
2

E

D

? 2, 3 ?

C. ? 3, 4 ?

D.

? 4, 5 ?

F A B

C

【解析】建立如图坐标系,设 AB=2,则 A ? 0 , 0 ? , B ? 2 , 0 ? , C ? 3, 3 ? , D ? 2 , 2 3 ? ,
E 0 , 2 3 , F ? 1,

?

? ?

3 ,则 EC 的方程: x ?

?

3 y ? 6 ? 0 ;CD 的方程:

3x ? y ? 4 3 ? 0 。

因 P 是△CDE 内(包括边界)的动点,则可行域为
?x ? 3y ? 6 ? 0 ? ??? ? ??? ? ???? ? 又 AP ? ? AB ? ? AF , 3 ? y ? 2 3 ? ? ? 3x ? y ? 4 3 ? 0 ?

则 A P ? ? x , y ? , A B ? ? 2 , 0 ? , A F ? ? ? 1, 3 ? , 所以 ? x , y ? ? ? ? 2 , 0 ? ? ? ? ? 1, 3 ?
? 2? ? ? ? 3 ? 3 ? 6 ? 0 ? ? x ? 2? ? ? ? ? 得? ? ? 3 ? 3? ? 2 3 ? y ? 3? ? ? ? 3 ? 2? ? ? ? ? 3 ? ? 4 3 ? 0 ?

??? ?

??? ?

????

?? ? ? ? 3 ? ? ?1 ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? 4 . ?? ? 2 ?

5-12 若数列 { a n } 满足

a n? 2 a n ?1

?

a n ?1 an

? k (k 为常数) ,则称数列 { a n } 为等比和数列,k 称为公

比和.已知数列 { a n } 是以 3 为公比和的等比和数列,其中 a 1 ? 1, a 2 ? 2 ,则 a 2009 ? 【答案】 2
1004




a n?2 a n ?1 ? a n ?1 an ? 3 ,且 a2 a1 ? 2 ,所以 a3 a2 ?1, a4 a3 ? 2 ,?

【解析】因为

所以 a 2 ? 2 a 1 , a 3 ? a 2 , a 4 ? 2 a 3 ,? 整个数列为: 1,2,2,4,4,8,8,16,16,? 显然,偶数项是以 2 为公比的等比数列, a 2009 ? a 2008 ? 2
2

1004



6-14 在 ? 0 , 4 ? 上任取两个数 a , b ,那么函数 f ( x ) ? x ? a x ? b 无零点的概率为____. 【答案】
11 12



【解析】易知 ? a , b ? 的遍取区域为正方形,其面积为 1 6 . 由函数 f ( x ) ? x ? a x ? b 无零点得到 ? ? a ? 4 b ? 0, a ? 4 b 。
2 2 2

4

?

4 0

1 4

a da ?
2

1 12

a

3

4 0

?

3 ? 11 . , P ? 1? 16 12 3
4

7-17 如 图 , 长 方 体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中 ,
AB ? AA 1 ? 1 , AD ? 2 , E 是 BC 的中点.

(Ⅰ)求证:直线 BB 1 // 平面 D 1 DE ; (Ⅱ)求证:平面 A1 AE ? 平面 D 1 DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A ? A1 DE 的体积.

(Ⅰ)证明:在长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, BB 1 // DD 1 , 又 ∵
BB 1 ? 平面 D 1 DE , DD 1 ? 平面 D 1 DE

∴ 直线 BB 1 // 平面 D 1 DE . (Ⅱ)证明:在长方形 ABCD 中,∵ AB ? AA 1 ? 1 , AD ? 2 , ∴ AE ? DE ? ∴ AE
2

2 ,
2

? DE

? 4 ? AD

2

,故 AE ? DE ,

∵在长方形 ABCD 中有 DD 1 ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD , ∴ DD 1 ? AE , 又∵ DD 1 ? DE ? D , ∴直线 AE ? 平面 D 1 DE , 而 AE ? 平面 A1 AE , 所以平面 A1 AE ? 平面 D 1 DE . (Ⅲ) V A ? A DE ? V A
1

1

? ADE

?

1 3

AA 1 ? S ? ADE ?

1 3

?1?

1 2

?1? 2 ?

1 3

.

8-19 已知离心率为

3 2

的椭圆 C 1 的顶点 A1 , A 2 恰好是双曲线

x

2

? y

2

? 1 的左右焦点,点 P

3

是椭圆上不同于 A1 , A 2 的任意一点,设直线 PA 1 , PA 2 的斜率分别为 k 1 , k 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 1 的标准方程; (Ⅱ)试判断 k 1 ? k 2 的值是否与点 P 的位置有关,并证明你的结论;
1 2

(Ⅲ)当 k 1 ? 值。

时,圆 C 2 : x ? y ? 2 mx ? 0 被直线 PA 2 截得弦长为
2 2

4 5 5

,求实数 m 的

解: (Ⅰ)双曲线

x

2

? y

2

? 1 的左右焦点为 ( ? 2 , 0 )

3

即 A1 , A 2 的坐标分别为 ( ? 2 , 0 ), ( 2 , 0 ) .
x a
2 2

所以设椭圆 C 1 的标准方程为

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,则 a ? 2 ,

且e ?

c a

?

3 2

,所以 c ?

3 ,从而 b

2

? a

2

?c

2

? 1,

所以椭圆 C 1 的标准方程为
2

x

2

?

y

2

? 1.

4
y0 1
2

1
x0 4
2

(Ⅱ)设 P ( x 0 , y 0 ) 则
y0 ? 0 x0 ? (?2)

x0 4

?

? 1 ,即 y 0
2

2

?1?

?

4 ? x0 4

2

k1 ? k 2 ?

?

y0 ? 0 x0 ? 2

?

y0
2

x0 ? 4

? ?

1 4

.

所以 k 1 ? k 2 的值与点 P 的位置无关,恒为 ?

1 4



(Ⅲ)由圆 C 2 : x ? y ? 2 mx ? 0 得 ( x ? m ) ? y ? m ,
2 2 2 2 2

其圆心为 C 2 ( m , 0 ) ,半径为 m , 由(Ⅱ)知当 k 1 ?
1 2

时, k 2 ? ?
1 2

1 2



故直线 PA 2 的方程为 y ? ?

( x ? 2) 即 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,

所以圆心为 C 2 ( m , 0 ) 到直线 PA 2 的距离为 d ?

m ? 2?0? 2 1 ? 2
2 2

?

m ?2 5



又由已知圆 C 2 : x ? y ? 2 mx ? 0 被直线 PA 2 截得弦长为
2 2

4 5 5

及垂径定理得

圆心 C 2 ( m , 0 ) 到直线 PA 2 的距离 d ?
m ?2 5

m

2

?(

2 5 5

)

2



所以 m ? (
2

2 5 5

)

2

?

, 即 m ? m ? 2 ? 0 ,解得 m ? ? 2 或 m ? 1 。
2

所以实数 m 的值为 1 或 ? 2 .


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