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高中数学知识网络(理科)


第一部分

集合 、映射 、函数 、导数及微积分
概念 表示方法 元素、集合之间的关系 数轴、Venn 图、函数图象 解析法 列表法 使解析式有意义 换元法求解析式 注意应用函数的单调性求值域
1、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同; 2、证明单调性:作差(商) 、导数法;3、复合函数的单调性 定义域关于原点对称,在 x=0 处有定义的奇函数→f (0)=0

集合

运算:交、并、补 性质

确定性、互异性、无序性 表示 定义域

映射

定义

图象法

三要素

对应关系 值域 单调性 奇偶性

性质 函数

周期性 对称性 最值
平移变换

周期为 T 的奇函数→f (T)=f (2)=f (0)=0 二次函数、基本不等式、打钩(耐克)函 数、三角函数有界性、数形结合、导数. 一次、二次函数、反比例函数 幂函数 指数函数 对数函数 图象、性质 和应用

T

图象及其变换

对称变换 翻折变换 伸缩变换

基本初等函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 导数的概念 零点 三角函数 复合函数的单调性:同增异减 赋值法、典型的函数

二分法、图象法、二次及三次方程根的分布 建立函数模型

几何意义、物理意义 三次函数的性质、图象与应用

基本初等函数的导数 导数 导数的运算法则

单调性 导数的应用 极值 定积分与微积分 定积分与图形的计算 1

导数的正负与单调性的关系 最值 生活中的优化问题

第二部分

三角函数与平面向量

角的概念

弧度制

弧长公式、扇形面积公式 三角函数线

任意角的三角函数的定义 同角三角函数的关系 三角函数 诱导公式 和角、差角公式 二倍角公式

公式的变形、逆用、 “1”的替换 化简、求值、证明(恒等变形)

定义域 正弦函数 y=sin x = 三角函数 的 图 象 余弦函数 y=cos x 正切函数 y=tan x y=Asin(?x+?)+b 奇偶性 单调性 周期性 对称性 最值

值域

图象

对称轴(正切函数除外) 经过函数图象的最高(或 低)点且垂直 x 轴的直线, 对称中心是正余弦函数图 象的零点,正切函数的对 k? 称中心为( ,0)(k∈Z). 2

①图象可由正弦曲线经过平移、 伸缩得到, 但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同; ②图象也可以用五点作图法;③用整体代换求单调区间(注意?的符号) ; ④最小正周期 T= 概念 线性运算 基本定理 平面向量 坐标表示 几何意义 数量积 夹角公式 共线(平行) 共线与垂直 垂直 正弦定理 解三角形 余弦定理 面积 实际应用 2 a+b+c 1 1 S△= ah= absinC= p(p-a)(p-b)(p-c)(其中 p= ) 2 2 2 解的个数的讨论 → a ∥→ b ?→ b =?→ a ? x1y2-x2y1=0 → a ⊥→ b ?→ b ·→ a =0 ? x1x2+y1y2=0
a·b 设→ a 与→ b 夹角?,则 cos?=—— → → | a |·| b | → →

(2k+1)?-2? k?-? 2? ;⑤对称轴 x= ,对称中心为( ,b)(k∈Z). |?| 2? ? 模 加、减、数乘 几何意义 → a·b b 在→ a 方向上的投影为|→ b |cos?=—— → 投影
|a| → →

|→ a |= (x2-x1)2+(y2-y1)2

第三部分

数列与不等式
解析法:an=f (n) 数列是特殊的函数

概念 通项公式 递推公式 数列 等差数列 等比数列 an≠0,q≠0

表示

图象法 列表法 等差数列与等比数列的类比 an=a1+(n-1)d an+am=ap+ar 前 n 项和 n(a1+an) Sn= 2 an=a1qn
-1

通项公式 求和公式 性质 判断

anam=apar 前 n 项积(an>0) Tn= (a1an)n 逐差累加法 逐商累积法

1 ?na1,q= n Sn=?a1(1-q ) ,q≠1 ? 1-q 常见递推类型及方法

①an+1-an=f (n) ② an + 1 =f (n) an

③an+1=pan+q ④pan+1an=an-an+1 ⑤an + 1=pan+qn

q 构造等比数列{an+ } p-1 构造等差数列 化为 an+1 p an = · +1 转为③ qn q qn-1

公式法:应用等差、等比数列的前 n 项和公式 倒序相加法 常见求和方法 分组求和法 裂项求和法 不等式的性质 一元二次不等式 可行域 不等式 简单的线性规划 目标函数 应用题 一次函数:z=ax+by z= y-b :构造斜率 x-a
几何意义: z 是直线 ax+by -z=0 在 x 轴截 距的 a 倍, y 轴上 截距的 b 倍.

错位相加法 借助二次函数的图象 三个二次的关系

z= (x-a)2+(y-b)2:构造距离 和定值,积最大;积定值,和最小 应用时注意:一正二定三相等 a+b 2ab ≤ ab≤ ≤ 2 a+b a2+b2 2

基本不等式: a+b ab≤ 2

最值问题 变形

3

第四部分
倾斜角和斜率

解析几何
倾斜角的变化与斜率的变化

重合 A1B2-A2B1=0 位置关系 直线的方程 截距 平行 相交 垂直 注意:截距可正、 可负,也可为 0. A1B2-A2B1≠0 A1A2+B1B2=0

点斜式:y-y0=k(x-x0) 斜截式:y=kx+b 两点式: y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 注意各种形式的转 化和运用范围.

直线方程的形式

x y 截距式: + =1 a b 两直线的交点 一般式:Ax+By+C=0 | Ax0+By0+C | | C1-C2 | ,平行线间距离:d= 2 2 A +B A2+B2

距离

点到线的距离:d=

圆的标准方程 圆的一般方程 圆的方程 直线与圆的位置关系 两圆的位置关系 曲线与方程 椭圆 圆锥曲线 双曲线 抛物线 性质 离心率 相离 相切 相交 ?<0,或 d>r ?=0,或 d=r ?>0,或 d<r

轨迹方程的求法:直接法、定义法、相关点法 定义及标准方程 范围、对称性、顶点、焦点、长轴(实轴) 、 短轴(虚轴) 、渐近线(双曲线) 、准线(只 要求抛物线)

关于点(a,b)对称 点(2a-x ,2b-y ) 点(x1,y1) ───────→ 1 1

中心对称 对称性问题 轴对称

关于点(a,b)对称 曲线 f (2a-x,2b-y) 曲线 f (x,y) ───────→

点(x1,y1)与点(x2,y2)关于 直线 Ax+By+C=0 对称 特殊对称轴 x±y+C=0 4

x1+x2 y1+y2 ? ?A· 2 +B· 2 +C=0 ?y2-y1 A ? ?x2-x1·(-B)=-1

直接代入法

第五部分
棱柱 柱体 圆柱 棱台 空间几何体 台体 圆台 棱锥 锥体 球 点在直线上 点与线 点在直线外 点在面内 点与面 点在面外 圆锥

立体几何

正棱柱、长方体、正方体 三视图 直观图 三棱锥、四面体、正四面体 侧面积、表面积 体积
长对正 高平齐 宽相等

相交 共面直线 线与线 异面直线 平行 空间点、 线、面的 位置关系 直线在平面外 线与面 直线在平面内 平行 面与面 相交 相交 平行

只有一个公共点 没有公共点 没有公共点 有公共点

平行关系的 相互转化

线线 平行

线面 平行

面面 平行

空间直角坐标系

垂直关系的 相互转化

线线 垂直

线面 垂直

面面 垂直

空间向量

异面直线所成的角 空间的角 直线与平面所成的角 二面角 点到面的距离 空间的距离 直线与平面的距离 平行平面之间的距离

范围:(0?,90?] 范围:[0?,90?] 范围:[0?,180?]

cos?=—— → →
| a |·| b | → → |a·n|

→ → |a·b|

sin?=—— → →
| a |·| n | → → n ·n
1 2 cos?=—— → →

| n1 |·| n2 |

相互之间的转化

d=—— →
|n|

→ → |a·n|

5

第六部分

统计与概率

简单随机抽样 随机抽样 系统抽样 分层抽样

抽签法 随机数表法

共同特点:抽样 过程中每个个体 被抽到的可能性 (概率)相等

频率分布表和频率分布直方图 样本频率分布 估计总体 统计 用样本估计总体 样本数字特征 估计总体 变量间的相关关系 正态分布 列联表(2×2)独立性分析 两个变量的 线性相关 总体密度曲线 茎叶图 众数、中位数、平均数 方差、标准差 散点图 回归直线

概率的基本性质 古典概型 几何概型 用随机模拟法求概率 概率 条件概率 事件的独立性

互斥事件 P(A+B)=P(A)+P(B)

对立事件

P(?A)=1-P(A)

P (B | A )=

P (A ? B ) P (A ) n 次独立重复试验恰好 发生 k 次的概率为 k - Pn(k)=Cn pk(1-p)n k X~B(1,p)

P(A ? B)=P(A)·P(B)

两点分布 E(X)=p,D(X)=p(1-p) 常用的分布及 期望、方差 X~B(n,p) 二项分布 E(X)=np,D(X)=np(1-p) X~H(N,M,n) 超几何分布 若 Y=aX+b,则 E(Y)=aE(X)+b D(Y)=a2D(X) M N nM M N-n D(X)= 1- N N N-1 E(X)=n

随机变量

( )

6

第七部分 其他部分内容
两个原理 计算原理 排列与组合

分类加法计算原理和分步乘法计算原理 排列数:Am n =(n-m)! 组合数:Cm n =m!(n-m)!
n! 性质 C n =C n
m m n-m m m-1 n

n!

Cn+1=C n +C

通项公式 二项式定理 二项式系数性质

Tr+1=Cnan rbr


r

首末两端“等距离”两项的二项式系数相等 Cn+Cn+?+Cn=2n 归纳 合情推理 推理 演绎推理 类比 三段论 综合法 直接证明 分析法 证明 间接证明 数学归纳法 关系 命题 条件 原命题:若 p 则 q
互否
0 1 n

Cn+Cn+Cn?=Cn+Cn+Cn?=2n 猜想

0

2

4

1

3

5

-1

大前提、小前提、结论 由因导果 执果索因

推理与证明

反证法
互逆 互为逆否 等价关系

逆命题:若 q 则 p
互否

否命题:若?p 则?q

互逆

逆命题:若?q 则?p

充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件 一真便真 一假则假

简易逻辑 复合命题 全称量词与 存在量词 算法的特征

或:p ? q 且:p ? q 非:? p

概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性 顺序结构

算法语言

程序框图

条件结构 循环结构

基本算法语言

算法案例 概念 复 数 运算 几何意义

辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制 虚数、纯虚数、实部、虚部、实轴、虚轴、模、共轭复数 加、减、乘、除、乘方 复数与复平面内点(向量)的对应关系、复数模的几何意义 7


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