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北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》二倍角的正弦、余弦、正切


《 学北 三 必师 角 修大 恒 版 等 第高 变 三中 形 章数 》 4

二倍角的正 弦、

余弦、正切
法门高中姚 连省制作

1

2

一.教学目标:1.知识与技能:(1)能够由和角公式而导出倍角公式;(2) 能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强学生

灵活运用数学知识和 逻辑推理能力;(3)能推导和理解半角公式;(4)揭示知识背景,引发 学生学习兴趣,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 并 培养学生综合分析能力. 2.过程与方法:让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式,领会 从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学 的兴趣;通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 3.情感态度价值观:通过本节的学习,使同学们对三角函数各个公式之间 有一个全新的认识;理解掌握三角函数各个公式的各种变形,增强学生灵活 运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 :重点:倍角公式的应用.难点:公式的推导. 三.学法与教法:教法与学法:(1)自主+探究性学习:让学生自己由和角公 式导出倍角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和 谐美,激发学生学数学的兴趣。(2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用 情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程
3

一、问题提出
观察 sin 与 sin 与 cos 积的关系 3 6 6

?

?

?

用计算器计算sin 36 0 和sin180 与 cos180的积.

比较sin2x与sinx· cosx的值,猜想sin2x的公 式

sin2x=2sinxcosx

上面公式成立吗?

怎样证明?
4

二、知识回顾: 1.写出两角和的正弦、余弦、正切 公式是 什么?
sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

tan? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan? tan ?
5

三、探析新课 学生练习:在两角和的正弦、余弦、正 切和角公式中令 ? ? ? 可得到什么结果?

Sin2α=2sinα·cosα

倍 角 公 式

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

cos 2? ? 2 cos ? ? 1 2 cos 2? ? 1 ? 2 sin ?
2

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

6

公式的变形

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

=(cosa-sina)(cosa+sina)

1 ? cos 2? ? 2 cos ?
2
观察特点?升幂 ?倍角化单角?少项 ?函数名不变

1 ? cos 2? ? 2 sin ?
2
观察特点?升幂 ?倍角化单角?少项 ?函数名变
7

5 ? 例1.已知 sin ? ? , ? ? ( , ? ), 13 2 求 sin 2? , cos 2? , tan 2?的值。
120 sin 2? ? ? 169

119 cos? ? 169

老师分析,学生完成

120 tan? ? ? 119

(倍角公式的直接运用)
8

分析: 1、在题中要求的问题看:显然要写出 倍角公式。 2、分析可知,,要通过正弦函数来求 余弦。

3、重点是要确定余弦的 正、负号的问题。 一定要根据角终边所在的 的象限来确定。
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说明: 1、倍角公式不仅可运用于将2?作为?的2倍

的情况,还可以运用于诸如将4?作为2?的2倍。

? ? ? 将?作为 的2倍。将 作为 的2倍。 2 2 4 3? 将3?作为 的2倍等情况。 2
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2、对公式我们不仅要会直接的运 用,还要会逆用、还要会变形用, 还要会与其它的公式一起灵活的 运用。

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例题2、求下列各式的值。

1) sin 67 30 cos 67 30 12 0 2 tan150 3) 2 0 1 ? tan 150 2)2 cos
2

0

'

0

'

?

?1

12

提高性题目

5 1、已知α为第二象限角,并且cos 2 ? sin 2 ? ? 2 3 ? ? (1) ? (1)求 sin ? cos 的值 2 2 2

?

?

(2)求sin2α+cos2α的值
5 ? 题2、 sin( ? x) ? , (0 ? x ? ) 已知 4 13 4
求 cos 2 x cos( ? x) 4

(2)

?

7 ? 15 8

?

的值。

24

13

13

提高性题 已知(2sinx+cosx)(sinx+2cosx-3)=0
sin 2 x ? cos 2 x 求 的值。 tan 2 x
3 答: 20

提示:因为sinx+2cosx= 5 sin(x ? ? ) =3

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? 1.公式的特点要嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的,如: 4 ?
是 的倍角. 8 2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角— —升次). 3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形。

四、学习小结

角终边所在象限,就可以开平方;公式的“本质”是用 ? ?角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切. 2 5.注意公式的结构,尤其是符号.
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? 4.半角公式左边是平方形式,只要知道 2

五、作业布置:习题3.2 A组第1、2、3、 4题. 六、教学反思:

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