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1968年第十届IMO试题(不含答案)


第十届(1968 年) 苏联 莫斯科(Moscow,Soviet Union)
1. 求证有且仅有一个三角形,它的边长为连续整数,有一个角是另一个角的两 倍。 (罗马尼亚) 2. 试找出所有自然数 n,其各位数的乘积等于 n2-10n-22。 (捷克斯洛伐克) 3. 考虑以下方程组
ax12 ? bx1 ? c ? x2 2 ax2 ? bx2 ? c ? x3 ax
2 n ?1 2 n

... ? bxn ?1 ? c ? xn

ax ? bxn ? c ? x1

其中 x1、x2、…、xn 是未知数,a、b、c 为实数并且 a≠0。令 Δ=(b-1)2-4ac。证明 对这个方程组 a) Δ<0,无解; b) Δ=0,有且只有一个解; c) Δ>0,有一个以上的解。 (保加利亚) 4. 求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形 的三边。 (波兰) 5. 设 f 是定义域和值域都为实数集的函数并且对于任一实数 x 和任一正数 a,等 式
f ( x ? a) ? 1 ? 2 f ( x) ? f ( x) 都成立。
2

a) 证明函数 f 是周期函数(比如,存在一个正数 b 使得对于所有 x 满足 f(x+b)=f(x)) 。 b) 当 a=1 时,给出一个非常值函数的例子。 (民主德国) 6. 对于任一自然数 n,试求和

? n ? 2 k ? ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? n ? 2k ? 。 ? ? ? ... ? ? ? k ?1 ? ? ? k ?1 ? ? ... ([x]表示不大于 x 的最大整数) ? ? 4 ? 2 2 ? ? ? ? k ?0 ? 2 ? ? ?
?

(英国)


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