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安徽省安庆一中、安师大附中2015届高三第四次模考数学(理) 试题 Word版含答案


2015 届安庆一中、安师大附中统一考试试卷 数学(理)试卷
一、选择题( 每小题 5 分,计 50 分) 1、若 M ? ?x | ?2 ? x ? 2?, N ? ?x | y ? log 2( x ?1)? ,则 M A、 ?x | ?2 ? x ? 0? B、 ?x | ?1 ? x ? 0? C、 ??2,0? ) D、 1 ? 2i )

>N =(



D、 ?x |1 ? x ? 2?

2、复数 z 满足 z (1 ? 2i) ? 4 ? 3i ,则 z 等于( A、 2 ? i B、 2 ? i C、 1 ? 2 i

3、已知向量 a 与 b 的夹角为

2? , a ? 2 ,则 a 在 b 方向上的投影为( 3

A、 4、

6 2

B、 )

2 2

C、 ?

2 2

D、 ?

6 2

?

0

?1

( x ? e x )dx =(
1 e

A、 ? 1 ?

B、 ? 1

C、 ?

3 1 ? 2 e

D、 ?

3 2

?x ? y ? 2 ? 0 ? 5、已知 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,若 z ? y ? ax 取得最大值的最优解不唯一,则实 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
数 a 的值为( A、 ) B、2 或

1 或 ?1 2

1 2

C、2 或 1

D、2 或 ?1

6、 为了得到函数 y ? 3cos 2 x 的图象, 只需把函数 y ? 3sin(2 x ?

?
6

) 的图象上所有的点 (



? 个单位 3 ? C、向左平移 个单位 3
A、向右平移

? 个单位 6 ? D、向左平移 个单位 6
B、向右平移 )

7、数列 ?an ? 是正项等比数列, ?bn ? 是等差数列,且 a6 ? b7 ,则有( A、 a3 ? a9 ? b4 ? b10 C、 a3 ? a9 ? b4 ? b10 B、 a3 ? a9 ? b4 ? b10

D、 a3 ? a9与b4 ? b10 大小不确定

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8、已知 f ( x) ? 2 x ? 3( x ? R) ,若 f ( x) ?1 ? a 的必要条件是 x ?1 ? b(a, b ? 0) ,则 a , b 之 间的关系是( A、 b ? ) B、 b ?

a 2

a 2

C、 a ?

b 2

D、 a ?

b 2

9、已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的内切球,则平面 ACD 1 截球 O 的截面 面积为( A、 ? ) B、

? 2

C、

? 3

D、

? 6

10、现有 16 张不同卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一颜色,且红色卡片至多 1 张,不同的取法为( ) A、232 种 B、252 种 C、472 种 D、484 种 二、填空题:( 每小题 5 分,计 25 分) 11、命题“存在 x ? R ,使 e ? x ”的否定是
x
x ? ?2 ? 1( x ? 0) 12、已知函数 f ( x) ? ? 2 若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点,则实数 m 的取 ? ?? x ? 2 x( x ? 0)

值范围是 13 、设 n 为正整数, f (n ) ? 1?



1 1 ? ? 2 3

?

1 3 5 ,计算得 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , , n 2 2


f (16) ? 3 ,观察上述结果,可推测一般的结论为

2 14、双曲线 C 的左右焦点分别为 F 1 、 F2 ,且 F2 恰为抛物线 y ? 4 x 的焦点,设双曲线 C 与该

抛物线的一个交点为 A,若 ?AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率 为 15、若函数 f ( x) ? ln x ? ax 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围 是 三、解答题 16、 (12 分)在锐角 ?ABC 中, 。

b2 ? a 2 ? c 2 cos( A ? C ) ? ac sin A cos A

(1)求角 A ;

(2)若 a ?

2 ,求 bc 的取值范围。

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17、 (12 分)经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计) ,日旅游人数 f (t ) (万 人) 与时间 t(天) 的函数关系近似满足 f (t ) ? 4 ? , 日人均消费 g (t )(元) 与时间 t(天) 的函数关系近似满足 g (t ) ? 115 ? t ?15 。 (1)求该城市的旅游日收益 w(t ) (万元)与时间 t (1 ? t ? 30, t ? N ) 的函数关系式; (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)

1 t

PA ? 平面 ABCD, 18、 (13 分) 如图, 棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是矩形, PA ? AD ? 2, BD ? 2 2 。
求证: (1) BD ? 平面 PAC (2)求二面角 B ? PD ? C 的余弦值 (3)在线段 PD 上是否 存在一点 Q,使 CQ 与平面 PBD 所 的角的正弦值为 在,说明理由。



2 6 ,若存在,指出点 Q 的位置,若不存 9

19 、 ( 13 分 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆

x2 y 2 6 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,且过点 ( 2, )。 a b 2
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若点 A、B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆上异于 A,B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M。 (1)设直线 OM 的斜率为 k1 ,直线 BP 的斜率为 k2 ,证明 k1 ? k2 的定值; (2)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m ,证明:直线 m 过定点,并求出定点的坐标。
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20 、 (13 分)已知函数 f (x) ? ax ? x ln x (a ?R ) (1)若函数 f ( x ) 在区间 [e, ??] 上为增函数,求 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 且 k ? z 时,不等式 k ( x ? 1) ? f ( x) 在 x ? (1, ??) 上恒成立,求 k 的最大值。

21、 (13 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 4, Sn ? nan ? 2 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

n(n ? 1) (n ? 2, n ? N * ) 2

2 ( 2 ) 设 数 列 ?bn ? 满 足 : b1 ? 4 且 bn?1 ? bn ? (n ?1)bn ? 2(n ? N * ) , 求 证 :

bn ? an (n ? 2, n ? N * ) ;
(3)求证: (1 ?

1 1 )(1 ? ) b2b3 b3b4

(1 ?

1 )? 3 e bnbn?1

2015 届安庆一中、安师大附中统一考试试卷 数学(理)参考答案
题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

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答案

D

B

C

C

D

D

B

A

D

C

9、D 截面为等边三角形,边长 10、C

6 2 ,r ? 6 2

S ? ? r2 ?

?
6
x

3 3 2 1 (C16 ? 4C4 ? C4 C12 ? 472)

11、对任意 x ? R ,使 e ? x 13、 f (2 ) ?
n

12、 0 ? m ? 1 14、 2 ? 1 (提示设 A( x0 y0 ) 求出) ) 15、 (??, 2 ? )

n?2 2

1 e

1 (2 ? , 2) ,设切点 ( x0 , y0 ) x0 ? 0 e

f ('x ) ?

1 1 ? a ? 2 ? a ? 2 ? ( x 0? 0) x x0

但当 ?

? x0 (2 ? a) ? 1 时切线与 y ? 2 x 重合 ?2 x0 ? ln x0 ? ax0
1 ?1 2?a

? (2 ? a) x0 ? ln x0 ? ln

1 1 1 ? e ? a ? 2? 即a ? 2且a ? 2? 2?a e e
16、 (1)由 a ? c ? b ? 2ac cos B
2 2 2

?

?2ac cos B cos(? ? B) ? ac sin A cos A

? sin 2 A ? 1 且 0 ? A ?

?

? A?

?
4

2

? B ? C ? 135? ? (2) ?0? ? B ? 90? ? 45? ? C ? 90? ?0? ? C ? 90? ?


b c a ? ? ?2 sin B sin C sin A

?b ?2 s i n B

c , ? 2 sC in

b c? 2 s i n ( 1? 3? 5C ? ) 2C sin

第 - 5 - 页 共 10 页

? 2sin(2C ? 45?) ? 2
45? ? 2C ? 45? ? 135? ? 2 ? sin(2c ? 45?) ? 1 2

?bc ? (2 2, 2 ? 2]
17、 (1) w(t ) ? f (t ) g (t ) ? (4 ? )(115 ? t ? 15 )(1 ? t ? 30, t ? N )

1 t

1 ? (4 ? )(t ? 100) ? ? t (2) w(t ) ? ? ?(4 ? 1)(130 ? t ) ? t ?
1? 当 1 ? t ? 15 时

(1 ? t ? 15, t ? N ) (15 ? t ? 30, t ? N )
25 ) ? 401 t

w(t ) ? 4(t ?

? 4 ? 2 25 ? 401 ? 441
等号 t ?

25 即 t ? 5 时取到。 t

130 w(t ) ? 519 ? ( ? 4t ) 在[15,30]上单减, t 1 ? t ? 30 时, w(t ) 取最小值为 403 。 3 1 综上:最小值为 403 (万元) 。 3 18、 (1)由勾股定理得 AB ? AD ? 2 ,余略 (2)以 AB、AD、AP 为 x, y , z 建系

2?

1 5?t ? 3时 0

易求面 PCD 的法向量 m ? (0,1,1) 面 PBD 的法向量 n ? (1,1,1)

cos ? m, n ?

6 3 6 3

故所求值为

(3)

Q 在 DP 上,可设 DQ ? ? DP(0 ? ? ? 1), DP ? (0, ?2, 2)

第 - 6 - 页 共 10 页

A Q? A D ? DQ ?

A? ? D

D (? P 0, 2 ? ? 2 ,?2 ) ?2 (? ? 1? , , )

?Q( 0 , 2 ? ?2 ? , 2 ), CQ?

面 PBD 的法向量 n ? (1,1,1) ,记所求角为 ? ,

sin ? ? cos ? CQ, n ? ?
?? ? 1 4
即 DQ ?

CQ ? n CQ ? n

?

1 3 1 ? 2?
2

?

2 6 9

1 | DP | 4

x2 y 2 ? ?1 19、 (1) 4 3
(2) (i)得 P( x1 , y1 )( y1 ? 0), M (2, y0 ), k1 ?

y0 y , k2 ? 1 2 x1 ? 2

由 AP ? ? AM ? y0 ?

4 y1 , x1 ? 2

k1k2 ?

y0 y1 4 y12 3 ? ? ? (定值) 2 2( x1 ? 2) 4( x1 ? 4) 2

(ii) A(?2,0), B(2,0), P( x1, y1 )M (2, y0 ) 由(i)知 y0 ?

4 y1 x1 ? 2

kPB ? k2 ?

y1 2 ? x1 , km ? x1 ? 2 y1

直线 m : y ? y0 ?

2 ? x1 ( x ? 2) y1

?y ?

2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 ( x ? 2) ? y0 ? x? ? y1 y1 y1 x1 ? 2

?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 x? y1 ( x1 ? 2) y1

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3x12 ? x? y1 ( x1 ? 2) y1

第 - 7 - 页 共 10 页

?

2 ? x1 2? x1 2 ? x1 x? ? (x ? 1 ) y1 y1 y 1
k? f ( x) x ?1

过定点 (?1, 0) 。

20、 (1) a ? ?2 (2) f ( x) ? x ? x ln x, 即k ?

x ? x ln x 对任意 x ? 1 恒成立。 x ?1 x ? x ln x x ? ln x ? 2 则 g ?( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2

令 g ( x) ?

令 h( x) ? x ? ln x ? 2( x ? 1) 则 h?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? ? 0 ? h( x) 在 (1, ??) 上单增。 x x

h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0, h(4) ? 2 ? 2h2 ? 0

? 存在 x0 ? (3, 4) 使 h( x0 ) ? 0
即当 1 ? x ? x0 时

h( x )? 0 即 g ?( x) ? 0 h( x) ? 0 即 g ?( x) ? 0

x ? x0 时

? g ( x) 在 (1, x0 ) 上单减,在 ( x0 , ??) 上单增。
令 h( x0 ) ? x0 ? hx0 ? 2 ? 0 即 ln x0 ? x0 ? 2

g ( x)min ? g ( x0 ) ?

x0 (1 ? ln x0 ) x0 (1 ? x0 ? 2) ? x0 ? 1 x0 ? 1

? x0 ? (3, 4) ? k ? g ( x)min ? x0
即 kmax ? 3 21、 (1) S n ? nan ? 2 ? 且k ? z

n(n ? 1) (n ? 2) 2 (n ? 1)(n ? 2) Sn ?1 ? (n ? 1)an ?1 ? 2 ? (n ? 3) 2

① ②

第 - 8 - 页 共 10 页

①-②得 an ? nan ? (n ? 1)an ?1 ? (n ?1)

?an ? an?1 ? 1
①中令 n ? 2,

(n ? 3, n ? N * )

a1 ? a2 ? 2a2 ? 2 ?1 ? a2 ? 3

综上

( n ? 1) ?4 an ? ? ( n? 2) ?n ? 1

(2) 1? 当 n ? 2 时, b2 ? b12 ? 2 ? 14 ? 3 ? a2 ,不等式成立;

2? 假设 n ? k (k ? 2) 时,不等式 bk ? k ? 1(k ? 2时ak ? k ? 1)
那么当 n ? k ? 1 时
2 bk ?1 ? b ( k? 1) b 1) ?2 k ? k ?2 ?b k (b k ? k?

? bk (k ? 1 ? k ? 1) ? 2 ? 2bk ? 2 ? 2(k ? 1) ? 2 (由归设)
? 2k ? k ? 2

?

n ? k ? 1 命题真;

综合 1? 、 2? 知当 n ? 2 时, bn ? an (3)设 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x

f ?( x )?

1 x ? 1 ?? ? 0 1? x x ?1

? f ( x) 在 (0, ??) 上单减 ? f ( x) ? f (0) ? 0 即 ln(1 ? x) ? x
又 n ? 2 时 由(2)知

1 1 1 ? ? bn an n ? 1

? ln(1 ?

1 1 1 )? ? bnbn?1 bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) 1 ?) b2b 3 1 l? n (1 ? bb 3 4 ) ? 1 ? l n (1 bnbn? )
1

? l n (? 1

第 - 9 - 页 共 10 页

?(

1 1 1 1 ? ) ?( ? ) ? 3 4 4 5

?( n?

1

? 1 n?

1 2

) ?

1 1 1 ? ? 3n ? 2 3

即原不等式获证。

第 - 10 - 页 共 10 页


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