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仁寿中学高二下学期期末数学复习


仁寿中学高二下学期期末数学复习(理科)试卷(一)
一、选择题: (60 分) 1. 为虚数单位,若 A.1 B. ,则 C. ) ( A )

D.2

2. 以下说法,正确的个数为: (

①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况,所运用的是类比推理. ②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的. ③由平

面几何中圆的一些性质,推测出球的某些性质这是运用的类比推理. ④个位是 5 的整数是 5 的倍数,2375 的个位是 5,因此 2375 是 5 的倍数,这是 运用的演绎推理.C A.0 3.设随机变量 A. B. ~ C. B.2 ,若 D. 和 ,两个 ,则 C.3 D.4 的值为( B )

4.3.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为

零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件恰好有一个一等品的概率为 ( B )

A.

B.

C.

D.

5.(x2+2) A.-3B.-2

的展开式的常数项是( D ) C.2D.3

6.设

,那么

的值为(

B )

A.

B.

C.

D.

7.临沂十八中自实施素质教育以来, 学生社团得到迅猛发展, 高一新生中的五名同学打算参 加“春晖文学社” “舞者轮滑俱乐部” “篮球之家” “围棋苑”四个社团.若每个社团至少有 一名同学参加, 每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团, 且同学甲不参加 “围棋苑” , 则不同的参加方法的种数为( A.72 B.108 C) C.180 D.216

8.某市期末教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布,则由如图曲线可 得下列说法中正确的是(A ) A.甲学科总体的方差最小 B.丙学科总体的均值最小 C.乙学科总体的方差及均值都居中 D.甲、乙、丙的总体的均值不相同

9.已知函数 为

是定义在 R 上的奇函数,其导函 , 且 x<0 时 , 的大小关系为 A

数 恒 成 立 , 则

A. B. C.

D. 10. 已知抛物线 的焦点 F 恰好是双曲线 的一个焦点,两条曲线的交点的连线过点 F,则双曲线的离心率为( C ) A. B. C D .
的下顶点和上顶点,若在椭圆上存在

11.设点 A1、A2 分别为椭圆 C:

点 P 使得

,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( B )

A.

B.

C.

D.

12.A、B 两篮球队进行比赛,规定若一队胜 4 场则此队获胜且比赛结束(七局

四胜制) ,A、B 两队在每场比赛中获胜的概率均为 则 ( B )

, 为比赛需要的场数,

A.

B.

C.

D.

二、填空题:(20 分)
1 13、随机变量 X 的分布列如下:其中 a,b,c 成等差数列,若 E(X)=3,则方差 D(X)的值 是_______ X P -1 a 0 b 1 c

14.某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近 5 年的广告支出 m 与销售 额 t(单位:百万元)进行了初步统计,得到下列表格中的数据: m t 2 30 4 40 5 p 6 50 8 70 ,则 p 的值

经测算,年广告支出 m 与年销售额 t 满足线性回归方程 为。

15.设

,若



的最小值,则 的取值范围为

______________.15. 16.已知函数 f(x)=|x ﹣4x|+ x﹣2 恰有 2 个零点,则实数 的取值范围为___________ __.
3

三、解答题: (70 分)
17.(10 分)在某次数学考试中,考生的成绩ξ 服从正态分布,即ξ ~N(80,36),已知满 分为 100 分. (参考数据: ) (1)试求考试成绩ξ 位于区间(68,92]内的概率(5 分) ; (2)若这次考试共有 1 000 名考生参加,试估计这次考试优秀(不小于 86 分)的人数(结果保 留到整数) . (5 分) 17.(10 分) (1)0.9544 (2)159

18. (12 分)观察下列各不等式:

? (1)由上述不等式,归纳出一个与正整数 有关的一般性结论;

(2)用数学归纳法证明你得到的结论. 18.解: (1)观察上述各不等式,得到与正整数 n 有关的一般不等式为
且 (2)以下用数学归纳法证明这个不等式. ①当 n=2 时,由题设可知,不等式显然成立. ②假设当 n=k 时,不等式成立,即 .

那么,当 n=k+1 时,有

. 所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 根据①和②,可知不等式对任何 且 都成立.

19.(12 分)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签 约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约, 否则两人都不签约. 设每人面试合格的概率都是 , 且面试是否合格互不影响. 求: (Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率;
(Ⅱ)签约人数 ξ 的分布列和数学期望.

19.解: (Ⅰ)用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独
立, 且 P(A)=P(B)=P(C)= . 至少有 1 人面试合格的概率是 . (Ⅱ)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,

=

=



=

= P(ξ =2)=P( ?B?C)=



. 所以,ξ 的分布列是 ξ 0 P 1 2 3

ξ 的期望

=1.

20. 已知函数 (2)是否存在 ,使

(1)求

的单调增区间;

在(﹣2,3)上为减函数,若存在,求出 的取值范

围,若不存在,说明理由.

20.解 (1)若

, ,

即 f(x)在 R 上递增, 若

因此 f(x)的递增区间是 (2)由 ∴ 又 当 即 ∴ 故存在实数 上为减函数, 上恒成立.

. 上恒成立.



上单调递减.

21. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率是

,且点 P(1,



在椭圆上. (1)求椭圆的方程; (2)若过点 D(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不 同的两点 E,F,试求△OEF 面积的取值范围(O 为坐标原点) .

20. 解 : ⑴ , ∵





∵点 分

在椭圆上,∴





????5

(2) 由 题 意 知 直 线 的 斜 率 存 在 , 设 的 方 程 为

,代入

得:



,解得

设 分



,则

??????? 7

?9 分



,所以

所以

????????????????????13 分

22.(12 分)设函数 (I)若 (II)若 成立.求 (III) 记 为 ,求 ,对任意的 的值;



. 的单调区间; ,不等式 恒

的导函数, 若不等式



上有解,求实数 的取值范围.

21. (1) (4 分) 因为 所以 , ,则

,所以 的增区间为 . 恒成立,得 恒成立, ,减区间为

(2) (4 分)当 由

设 由题意知 ,故当

. 时函数 单调递增,



恒成立,即

恒成立,

因此,记 ∵函数在 ∴函数 此可得 在

,得 上单调递增,在

, 上单调递减, 的最大值.由 ,可得 .

时取得极大值,并且这个极大值就是函数 ,故 ,结合已知条件 ,

(3) (4 分) 不等式

, 即为



化简得:







,因而

,设





∵当





,∴



时成立.

由不等式有解,可得知

,即实数 的取值范围是


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