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武汉华英艺考生文化课百日冲刺:两平面垂直


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周次 教学目标 重点难点 教学方法

4

课题

两平面垂直

2 课时

1.理解二面角的概念及面面垂直的定义,会求二面角。 2.掌握面面垂直的判定定理和性质定理。 1.二面角的大小,两平面垂直的判定和性质。 (重) 2.两平面垂直的应用,线线、线面、面面之间的垂直转化。 (难) 尝试指导法 课堂结构

一、自主探究 1.二面角的有关概念 (1)半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做 旋转时,两个半平面就形成了一定的“ ” 。 (2)二面角 ①定义:一般地,一条直线和由这条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫做 ,这条直线叫做 ,每个半 平面叫做 。如图,棱为 AB,面为 ? , ? 的二面角,

,当其中一个半平面绕着这条直线

记作 。 ②度量:一般地,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面 内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做 。 如图, OA ? l , OB ? l , A ? ? , B ? ? , O ? l , ? ? ? ? l , 则 就是二面角 ? ? l ? ? 的平面角,二面角的

大小可以用 来度量,二面角的平面角是多少度, 就说 , 2.两个平面垂直 (1)定义:一般地,如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面 。 (2)判定定理:如果一个平面经过 ,那么这两个平面互相垂直。 (3)性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内 垂直于另一个平面。 二、重点剖析 1.怎样理解二面角及其平面角? (1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,二面角的大小通过其平面角的大小表示,体现了由空 间图形向平面图形转化的思想。 (2) 二面角的平面角的定义是两条 “射线” 的夹角, 不是两条直线的夹角, 因此, 二面角 ? 的取值范围是 0? ? ? ? 180? 。 2.怎样理解平面与平面垂直的判定定理? 平面与平面垂直的判定定理告诉我们, 可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直。 通常我们将其记为 “线 面垂直,则面面垂直” 。因此,处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题,进一步转化为处理线线垂直问题,以后 证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可。 3.如何理解直线与平面垂直的性质定理? (1)应用时的问题情境 直线与平面垂直的性质定理,考查的是在直线与平面垂直的条件下,可以得出哪些结论。 (2)本质:线面垂直 线线平行。
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武昌基地:武昌区武珞路丁字桥南方帝园 A 座 21 楼 (3)作用:①证明线线平行,②作(找)平行线。 提醒:空间中证明两条直线平行的方法。 (1)若 a//b,b//c,则 a//c(公理 4) (2)若 a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b ,则 a//b(线面平行的性质定理) (3)若 a // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ,则 a//b(面面平行的性质定理) (4)若 a ? ? , b ? ? ,则 a//b(线面垂直的性质定理) 4.线线垂直、线面垂直、面面垂直之间是如何相互转化的? 线线垂直、线面垂直、面面垂直之间是可以相互转化,其转化关系如下:

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三、例题讲解 例 1、如图在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BB1 的中点,F 为 CD 的中点,G 为 AB 的中点,求证:平面 ADE ⊥平面 A1FG

[变式训练] :在四面体 ABCD 中,BD= 2a ,AB=AD=CB=CD=AC=a,如图,求证:平面 ABD⊥平面 BCD。

类型二 面面垂直的性质定理的应用 例 2、如图所示,在斜三棱柱 A1B1C1-ABC 中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面 BB1C1C⊥底面 ABC (1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1 (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM=MA1,求证:截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C。

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[变式训练] :如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2 ,AF=1,M 是线段 EF 的中 点, 求证: (1)AM//平面 BDE (2)AM⊥平面 BDF

类型三 线线、线面、面面垂直的综合应用 例 3、如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是∠DAB=60°且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 为正三角形, 其所在平面垂直于底面 ABCD。 (1)求证:AD⊥PB (2)若 E 为 BC 边的中点,能否在棱上找到一点 F,使平面 DEF⊥平面 ABCD,并证明你的结论。

[变式训练] :已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60°,E、F 分别是 AC, AD 上的动点,且

(1)求证:不论 ? 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC (2)当 ? 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD

AE AF ? =?(0<?<1 ) AC AD

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