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等差数列前n项和的性质


高二· 必修5· 数学

第二章





2.3 等差数列前n项和的性质

广东省普宁市第二中学数学组

2016年6月26日星期日

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【问题提出】

1.等差数列的递推公式是什么?

an- an-1=d(n≥2) an-1+an+1=2an(n≥2)
2.等差数列通项公式是什么?结构上它有什么特征? an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d=pn+k. 在结构上是关于n的一次函数.
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3.等差数列前n项和的两个基本公式是什么?

n (a1 + an ) Sn = , 2

n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2

4.深入研究等差数列的概念与前n项和公式及通项公式
的内在联系,可发掘出等差数列的一系列性质,我们

将对此作些简单探究.

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【知识探究】

『知识探究(一)——等差数列与前n项和的关系』

n ( a + a ) 1 n 思考1:若数列{an}的前n和 S = 那么 , n 2
数列{an}是等差数列吗?
n(a1 ? an ) ?     S n ? 2

{an}是等差数列

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n ( n ? 1 ) d 思考2:将等差数列前n项和公式 S ? na ? n 1 2
看作是一个关于n的函数,这个函数有什么特点?

d 2 d S n ? n ? (a1 ? ) n 2 2

当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数.

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思考3:一般地,若数列{an}的前n和Sn=An2+Bn,那

么数列{an}是等差数列吗?若Sn=An2+Bn+C 呢?
(1)数列{an}是等差数列 ? Sn=An2+Bn

(2)数列{an} 的前n项和是Sn=An2+Bn+C ,则: ①若C=0,则数列{an}是等差数列;

②若C≠0,则数列{an}从第2项起是等差数列。
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思考4:若{an}为等差数列,那么 {S n } 是什么数列?

n

数列{an}是等差数列

?

Sn { } 为等差数列 n

即等差数列{an}的前n项的平均值组成的数列仍
然是等差数列,且公差是数列{an}的公差的一半。

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『知识探究(二)——等差数列前n项和的性质』

思考1:在等差数列{an}中,每连续k项的和组成的数列,

即数列a1+a2+…+ak, ak+1+ak+2+…+a2k,
a2k+1+a2k+2+…+a3k,… … 是等差数列吗? 性质:若数列{an}是等差数列,那么数列Sk,S2k-Sk, S3k-S2k , …仍然成等差数列

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思考2:在等差数列{an}中,Sn,S2n,S3n三者之间有 什么关系?

S3n=3(S2n-Sn) 思考3:在等差数列{an}中,设S偶=a2+a4+…+a2n,
S奇=a1+a3+…+a2n-1,则S偶-S奇与 S偶-S奇=nd
S偶 S奇

等于什么?

an ?1 = S奇 an
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S偶

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思考4:设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,
则 an 等于什么?

bn

an S 2 n ?1 ? bn T2 n ?1

思考5:在等差数列{an}中,若a1>0, d<0,则Sn是否

存在最值?如何确定其最值?
当ak≥0,ak+1<0时,Sk为最大.
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【题型分类

深度剖析】

题型1:等差数列前n项和性质的简单应用

例1:(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项 的和为146,且所有项的和为390,则该数列有( A.13 B.12 C.11 D.10 )项。

(2)设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 Sn S7=7, S15=75, Tn 为数列{ }的前 n 项和, 则 Tn________. n
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『变式探究』

1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有( )
A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=51

2.等差数列{an} 前n项和Sn=an2+(a+1)n+a+2, 则 a n= .

3. 等差数列{an}中,已知S4=2,S8=7,则S12=_____;
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4. 等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项的和为100, 则它的前3m项的和为 ( A. 130 B. 170 ) C. 210 D. 260

5.等差数列{an}中,Sn是其前n项和,a1=-2011,
S2009 S2007 ? ? 2,则S2011的值为( 2009 2007

)

A.0

B.2011

C.-2011

D.-2011×2011

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题型2:等差数列最值问题

例2:等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多 少项的和最小?
[解析] 解法 1:设等差数列{an}的公差为 d,则由题意得 1 1 9a1+ ×9×8· d=12a1+ ×12×11· d ,∴a1=-10d, 2 2 1 1 2 21 ∵a1<0,∴d>0,∴Sn=na1+ n(n-1)d= dn - dn 2 2 2 21? d? ? ?2 441 = ?n- ? - d. 2? 2? 8 ∵d>0,∴Sn 有最小值.

又∵n∈N*,∴n=10或n=11时,Sn取最小值.
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解法 2:同解法 1,由 S9=S12 得 a1=-10d
? ?an=a1+?n-1?d≤0 代入? ? >0 ?an+1=a1+nd≥ ? ?-10d+?n-1?d≤0 得,? ? >0 ?-10d+nd≥

∵a1<0,∴d>0, 解得 10<n≤11. ∴n 取 10 或 11 时,Sn 取最小值.

解法 3:∵S9=S12,∴a10+a11+a12=0, ∴3a11=0,∴a11=0.∵a1<0,∴前 10 项或前 11 项和最小.

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小结:求等差数列{an}前n项和Sn的最值常用方法:

方法1:二次函数性质法,即求出Sn=an2+bn,
讨论二次函数的性质

方法2:讨论数列{an} 的通项,找出正负临界项。 (1)若a1>0,d<0,则Sn有大值,且Sn最大时的n
满足an≥0且an+1<0; (2)若a1<0,d>0,则Sn有小值,且Sn最小时的n 满足an≤0且an+1>0;
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『变式探究』

1.首项为正数的等差数列{an},它的前3项和与前11项
和相等,则此数列前________项和最大? 2.等差数列{an} 前n项和Sn中,以S7最大,且|a7|<| a8|,

则使Sn>0的n的最大值为_____.
3.等差数列{an}中,已知|a7|=| a16|=9,且a14=5,则使 an<0的最大自数n=( ). A.10 B.11 C.12 D.13
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4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=12,S12>0, S13<0. (1)求数列{an}公差d的取值范围;(2)指出 S1, S2, S3, …,S12中哪一个值最大。 5.数列{an}首项为23,公差为整数的等差数列,且第六 项为正,第七项为负. (1)求数列{an}的公差d; (2)求前n项和Sn的最大值; (3)当Sn>0时,求n的最大值;
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题型3:等差数列中的an与Sn的关系

例3:Sn,Tn分别是等差数列{an}、{bn}的前n项的和,
S n 7n ? 2 a5 ? 且 ,则 ? Tn n?3 b5
.

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『变式探究』

1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和

an An 7n ? 45 ? Bn,且 ,则使得 为整数的正整数n的 bn Bn n?3
个数是( A.2 ) B.3 C.4 D.5

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题型4:求等差数列的前n项的绝对值之和

例4:已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2,求数列

{|an|}的前n项和Tn.
解析: 当n=1时,a1=S1=12-12=11;当n≥2时,

an=Sn-Sn-1=12n-n2-[12(n-1)-(n-1)2]=13-2n. ∵n=1时适合上式,∴{an}的通项公式为an=13-2n. 由an=13-2n≥0,得n≤
13 , 2

即当1≤n≤6(n∈N*)时,an>0;当n≥7时,an<0.
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(1)当1≤n≤6(n∈N*)时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=12n-n2.

(2)当n≥7(n∈N*)时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=(a1+a2+…+a6)-(a7+a8+…+an) =-(a1+a2+…+an)+2(a1+…+a6) =-Sn+2S6=n2-12n+72.
2 * ? ?12n-n ,1≤n≤6,n∈N , ∴Tn=? 2 * ? ?n -12n+72,n≥7,n∈N .
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『变式探究』

1.数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+ an=0,n∈N*.

(1)求数列{an}的通项;
(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn.

(1)由an+2-2an+1+an=0得,2an+1=an+an+2, 解析:

a4-a1 所以数列{an}是等差数列,d= =-2, 4-1
∴an=-2n+10,n∈N*.
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* ? - 2 n + 10 , 1 ≤ n ≤ 5 , n ∈ N ? ?-2n+10,1≤n≤5,n∈N* ? ? (2)|a | = n (2)|an|=? *∈N* ?2 n - 10 , n ≥ 6 , n ? 2 n - 10 , n ≥ 6 , n ∈ N ? ?

①当 1≤n≤5,n∈N 时,Sn=
②当n≥6,n∈N*时,

n?8-2n n+ 10 ? 2n+ 2 10? ? 8 - ①当 1≤n≤5,n∈N 时, S = =- n +9n, * n 2
*

2

=-

?n-5??2+2n-10? 2 Sn=-25+9· 5+ =n -9n+40. ?n-5??2+2n- 10? 2 2 S =-25+9· 5+ =n -9n+40.
n

2 2 ? nn, +9n, 5 ? n- +9 1≤n≤5 1≤n≤ ?-? * ? ? 由 ①, ② 可得 SnS = , n ∈ N . 由① , ② 可得 = , n? 2 2 9n- +40 , n≥, 6 ?n - ? 9n +40 n≥6 ?n
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2

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题型5:等差数列的综合应用

例 5:已知正数数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的 正整数 n 满足 2 Sn=an+1. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Bn. a n· an+1

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[解析] (1)∵对任意的正整数 n,2 Sn=an+1

①恒成立,

当 n=1 时,2 a1=a1+1,即( a1-1)2=0,∴a1=1. 当 n≥2 时,有 2 Sn-1=an-1+1.②

①2-②2得4an=an2-an-12+2an-2an-1, 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0. ∵an>0,∴an+an-1>0, ∴an-an-1=2, ∴数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列, ∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
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(2)∵an=2n-1, 1 ? 1 1? ? 1 ? - ∴bn= = ? , ? ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1? ∴Bn=b1+b2+b3+…+bn
? ? ? ? 1 ? 1? 1? 1? ? ? 1?1 1? 1?1 1? ? 1 ? - = ?1- ?+ ? - ?+ ? - ?+…+ ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7? 2?2n-1 2n+1? ?

1 ? 1? n ? ? = ?1- = . ? 2 n + 1 2? ? 2n+1

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『变式探究』

1.已知在正整数数列{an}中,前 n 项和 Sn 满足: 1 2 Sn= (an+2) , 8 (1)求证:{an}是等差数列; 1 (2)若 bn= an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 2

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1 [解析] (1)证明:∵Sn= (an+2)2,① 8 1 ∴Sn-1= (an-1+2)2 8 (n≥2).

1 1 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= (an+2) - (an- 1+2)2, 8 8 整理得(an+an-1)(an-an-1-4)=0. ∴an-an-1=4,即{an}为等差数列.

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1 1 2 (2)解:∵S1= (a1+2) .∴a1= (a1+2)2. 8 8 解得 a1=2.∴an=2+4(n-1)=4n-2, 1 1 ∴bn= an-30= (4n-2)-30=2n-31. 2 2 31 令 bn<0 得 n< ,∴S15 为前 n 项和的最小值. 2 故 S15=b1+b2+…+b15=2(1+2+…+15)-15×31 =-225.

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