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2014《步步高》高考数学第一轮复习13 数学归纳法


§ 13.4
2014 高考会这样考

数学归纳法

1.考查数学归纳法的原理和证题步骤;2.用数学归纳法证明与等式、不

等式或数列有关的命题,考查分析问题、解决问题的能力. 复习备考要这样做 1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用;2.规范书写数

学归纳法的证题步骤.

数学归纳法 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设 n=k (k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.上述证明方 法叫做数学归纳法. [难点正本 疑点清源] 1.数学归纳法是一种重要的数学思想方法,主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时 步骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2)的基础,步骤(2)是递推的依据. 2.在用数学归纳法证明时,第(1)步验算 n=n0 的 n0 不一定为 1,而是根据题目要求,选择合 适的起始值.第(2)步,证明 n=k+1 时命题也成立的过程,一定要用到归纳假设,否则 就不是数学归纳法.

1. 凸 k 边形内角和为 f(k),则凸 k+1 边形的内角和为 f(k+1)=f(k)+________. 答案 π

解析 易得 f(k+1)=f(k)+π. 1 1 1 2. 用数学归纳法证明:“1+ + +?+ n <n (n>1)”,由 n=k (k>1)不等式成立,推证 2 3 2 -1 n=k+1 时,左边应增加的项的项数是________. 答案 2k 1 1 解析 n=k 时,左边=1+ +?+ k , 2 2 -1 当 n=k+1 时,

1 1 1 1 左边=1+ + +?+ k +?+ k+1 . 2 3 2 -1 2 -1 所以左边应增加的项的项数为 2k. 3. 用数学归纳法证明 1+a+a +?+a 左边需计算的项是 A.1 C.1+a+a 答案 C 解析 观察等式左边的特征易知选 C. 1 1 1 1 1 1 1 4. 已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明 1- + - +?- =2?n+2+n+4+?+2n?时, 2 3 4 n ? ? 若已假设 n=k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证 A.n=k+1 时等式成立 B.n=k+2 时等式成立 C.n=2k+2 时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 答案 B 解析 因为假设 n=k(k≥2 且 k 为偶数),故下一个偶数为 k+2,故选 B. 1 1 1 1 5. 已知 f(n)= + + +?+ 2,则 n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 C.f(n)中共有 n2-n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 D.f(n)中共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 答案 D 解析 从 n 到 n2 共有 n2-n+1 个数, 所以 f(n)中共有 n2-n+1 项. ( ) ( )
2 2 n+1

1-an 2 = (a≠1,n∈N+),在验证 n=1 成立时, 1- a


( B.1+a D.1+a+a2+a3

)

题型一 用数学归纳法证明等式 例1 1 1 1 1 1 1 1 1 已知 n∈N*,证明:1- + - +?+ - = + +?+ . 2 3 4 2n 2n-1 2n n+1 n+2

思维启迪:等式的左边有 2n 项,右边有 n 项,左边的分母是从 1 到 2n 的连续正整数, 末项与 n 有关,右边的分母是从 n+1 到 n+n 的连续正整数,首、末项都与 n 有关. 证明 1 1 (1)当 n=1 时,左边=1- = , 2 2

1 右边= ,等式成立; 2 (2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即 1 1 1 1 1 1- + - +?+ - 2 3 4 2k-1 2k = 1 1 1 + +?+ , 2k k+1 k+2

那么当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 左边=1- + - +?+ - + - 2 3 4 2k-1 2k 2?k+1?-1 2?k+1? 1 1 1 1 1 =?k+1+k+2+?+2k?+ ? ? 2k+1-2?k+1? = = 1 1 1 1 1 1 + +?+ + +?k+1-2?k+1?? 2k 2k+1 ? ? k+2 k+3 1 1 1 1 + +?+ + =右边, ?k+1?+1 ?k+1?+2 ?k+1?+k ?k+1?+?k+1?

所以当 n=k+1 时等式也成立. 综合(1)(2)知对一切 n∈N*,等式都成立. 探究提高 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型,其关键点在于弄清等式两边的构 成规律,等式两边各有多少项,初始值 n0 是几; (2)由 n=k 到 n=k+1 时,除等式两边变化的项外还要充分利用 n=k 时的式子,即充分 利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明. 用数学归纳法证明: 对任意的 n∈N*, 证明 右边= 1 1 1 n + +?+ = . 1×3 3×5 ?2n-1??2n+1? 2n+1

1 1 (1)当 n=1 时,左边= = , 1×3 3 1 1 = ,左边=右边,所以等式成立. 2×1+1 3

(2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即 1 1 1 k + +?+ = , 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? 2k+1 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 + +?+ + 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? ?2k+1??2k+3?

= =

k?2k+3?+1 k 1 + = 2k+1 ?2k+1??2k+3? ?2k+1??2k+3? 2k2+3k+1 k+1 k+1 = = , ?2k+1??2k+3? 2k+3 2?k+1?+1

所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N*等式都成立. 题型二 用数学归纳法证明不等式 例2 用数学归纳法证明: n 1 1 1 1 1+ ≤1+ + +?+ n≤ +n (n∈N*). 2 2 3 2 2 思维启迪:利用假设后,要注意不等式的放大和缩小. 证明 1 1 (1)当 n=1 时,左边=1+ ,右边= +1, 2 2

3 1 3 ∴ ≤1+ ≤ ,即命题成立. 2 2 2 (2)假设当 n=k (k∈N*)时命题成立,即 k 1 1 1 1 1+ ≤1+ + +?+ k≤ +k, 2 2 3 2 2 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1+ + +?+ k+ k + k +?+ k 2 3 2 2 +1 2 +2 2 +2k k+1 k 1 >1+ +2k· k = 1+ . 2 2 2 +2k 1 1 1 1 1 1 又 1+ + +?+ k+ k + k +?+ k 2 3 2 2 +1 2 +2 2 +2k 1 1 1 < +k+2k· k= +(k+1), 2 2 2 即 n=k+1 时,命题成立. 由(1)(2)可知,命题对所有 n∈N*都成立. 探究提高 (1)用数学归纳法证明与 n 有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出 不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小,对第二类形式 往往要先对 n 取前几个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个 n 值开始都成立的结论,常用数学归纳法证明. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 时成立得 n=k+1 时成立,主要方法有① 放缩法;②利用基本不等式法;③作差比较法等. 1 1+ ? 用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数,不等式? ? 3?

?1+ 1 ?> 2n+1均成立. ?1+1?· ? · ? 5? ? 2n-1? 2
证明 1 4 5 (1)当 n=2 时,左边=1+ = ;右边= . 3 3 2

∵左边>右边,∴不等式成立. 1?? 1? ?1+ 1 ?> 2k+1. (2)假设当 n=k(k≥2,且 k∈N*)时不等式成立,即? ?· ?1+3??1+5?· 2 ? 2k-1? 则当 n=k+1 时, 1 ?1+ 1 ??1+ ? 2k+1 2k+2= 2k+2 ?1+1??1+1?· ? 3?? 5? ?· ? 2k-1?? 2?k+1?-1?> 2 · 2k+1 2 2k+1 4k2+8k+4 4k2+8k+3 = > 2 2k+1 2 2k+1 = 2k+3 2k+1 2?k+1?+1 = . 2 2 2k+1

∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立. 题型三 用数学归纳法证明整除性问题 例3 用数学归纳法证明 42n 1+3n
+ +2

能被 13 整除,其中 n 为正整数.
+1)+1

思维启迪:当 n=k+1 时,把 42(k 证明 (1)当 n=1 时,42
×1+1

+3k

+3

配凑成 42k 1+3k


+2

的形式是解题的关键.

+31 2=91 能被 13 整除.
+ + +2

(2)假设当 n=k(k∈N+)时,42k 1+3k 则当 n=k+1 时, 方法一 42(k
+ +1)+1

能被 13 整除,

+3k 3=42k 1· 42+3k 2· 3-42k 1· 3+42k 1· 3
+ + + + + + +

=42k 1· 13+3· (42k 1+3k 2), ∵42k 1· 13 能被 13 整除,42k 1+3k
+ + +2

能被 13 整除.

∴42(k

+1)+1

+3k

+3

能被 13 整除.
+1)+1

方法二 因为[42(k
+ +

+3k 3]-3(42k 1+3k 2)
+ + + + +

=(42k 1· 42+3k 2· 3)-3(42k 1+3k 2) =42k 1· 13,


∵42k 1· 13 能被 13 整除,


∴[42(k

+1)+1

+3k 3]-3(42k 1+3k 2)能被 13 整除,因而 42(k
+ + +

+1)+1

+3k

+3

能被 13 整除,

∴当 n=k+1 时命题也成立, 由(1)(2)知,当 n∈N+时,42n 1+3n
+ +2

能被 13 整除.

探究提高 用数学归纳法证明整除问题,P(k)?P(k+1)的整式变形是个难点,找出它们 之间的差异,然后将 P(k+1)进行分拆、配凑成 P(k)的形式,也可运用结论:“P(k)能被

p 整除且 P(k+1)-P(k)能被 p 整除?P(k+1)能被 p 整除.” 已知 n 为正整数,a∈Z,用数学归纳法证明:an 1+(a+1)2n
+ -1

能被 a2+a

+1 整除. 证明 (1)当 n=1 时,an 1+(a+1)2n 1=a2+a+1,能被 a2+a+1 整除.
+ - + -1

(2)假设 n=k(k∈N+)时,ak 1+(a+1)2k ak 2+(a+1)2k
+ + +1 - + +

能被 a2+a+1 整除,那么当 n=k+1 时,

=(a+1)2[ak 1+(a+1)2k 1]+ak 2-ak 1(a+1)2 =(a+1)2[ak 1+(a+1)2k 1]-ak 1(a2+a+1)能被 a2+a+1 整除.
+ - +

即当 n=k+1 时命题也成立. 根据(1)(2)可知,对于任意 n∈N+,an 1+(a+1)2n
+ -1

能被 a2+a+1 整除.

归纳、猜想、证明

1 1 a + ?. 典例:(12 分)在各项为正的数列{an}中,数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn= ? 2? n an? (1)求 a1,a2,a3;(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想. 1 1 a + ?,所以可根据解方程求出 a1, 审题视角 (1)数列{an}的各项均为正数,且 Sn= ? 2? n an? a2,a3;(2)观察 a1,a2,a3 猜想出{an}的通项公式 an,然后再证明. 规范解答 解 1 1 a1+ ?得 a2 (1)S1=a1= ? 1=1. a ? 2 1?

∵an>0,∴a1=1,[1 分] 1 1 a2+ ?, 由 S2=a1+a2= ? a2? 2? 得 a2 2+2a2-1=0,∴a2= 2-1.[2 分] 1 1 a+ ? 又由 S3=a1+a2+a3= ? 2? 3 a3? 得 a2 3+2 2a3-1=0,∴a3= 3- 2.[3 分] (2)猜想 an= n- n-1 (n∈N*)[5 分] 证明:①当 n=1 时,a1=1= 1- 0,猜想成立.[6 分] ②假设当 n=k (k∈N*)时猜想成立, 即 ak= k- k-1, 则当 n=k+1 时,ak+1=Sk+1-Sk 1 1 1 1 ak+ ?, = ?ak+1+a ?- ? ak? 2? 2? k+1?

1 1 1 1? ? 即 ak+1= ?ak+1+a ?- ? k- k-1+ ? 2? 2 k- k-1? k+1? ? 1 1 = ?ak+1+a ?- k, 2? k+1? ∴a2 k+1+2 kak+1-1=0,∴ak+1= k+1- k. 即 n=k+1 时猜想成立.[11 分] 由①②知,an= n- n-1 (n∈N*).[12 分] 温馨提醒 (1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和 发现问题,并证明所得结论的正确性,这是非常重要的一种思维能力. (2)本题易错原因是,第(1)问求 a1,a2,a3 的值时,易计算错误或归纳不出 an 的一般表达 式.第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解,找不到解决问题的突破口.

方法与技巧 1. 在数学归纳法中,归纳奠基和归纳递推缺一不可.在较复杂的式子中,注意由 n=k 到 n =k+1 时,式子中项数的变化,应仔细分析,观察通项.同时还应注意,不用假设的证 法不是数学归纳法. 2. 对于证明等式问题,在证 n=k+1 等式也成立时,应及时把结论和推导过程对比,以减 少计算时的复杂程度;对于整除性问题,关键是凑假设;证明不等式时,一般要运用放 缩法. 3. 归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种,一般经过计算、观察、归纳,然后猜想出结 论,再用数学归纳法证明.由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”,务必保证猜想 的正确性,同时必须注意数学归纳法步骤的书写. 失误与防范 1. 数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题. 2. 严格按照数学归纳法的三个步骤书写,特别是对初始值的验证不可省略,有时要取两个 (或两个以上)初始值进行验证;初始值的验证是归纳假设的基础. 3. 注意 n=k+1 时命题的正确性. 4. 在进行 n=k+1 命题证明时,一定要用 n=k 时的命题,没有用到该命题而推理证明的方 法不是数学归纳法.

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 用数学归纳法证明“1+2+22+?+2n 2=2n 3-1”,在验证 n=1 时,左边计算所得的
+ +

式子为 A.1 C.1+2+22 答案 D B.1+2 D.1+2+22+23

(

)

解析 左边的指数从 0 开始,依次加 1,直到 n+2,所以当 n=1 时,应加到 23,故选 D. 2. 用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时,第一步证明中的起始 值 n0 应取 A.2 答案 C 解析 令 n0 分别取 2,3,5,6,依次验证即得. n4+n2 3. 用数学归纳法证明 1+2+3+?+n2= ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上 2 加上 A.k2+1 B.(k+1)2 ?k+1?4+?k+1?2 C. 2 D.(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2 答案 D 解析 当 n=k 时,左端=1+2+3+?+k2. 当 n=k+1 时,左端=1+2+3+?+k2+(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2, 故当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2.故应选 D. 4. 用数学归纳法证明:“(n+1)· (n+2)· ?· (n+n)=2n· 1· 3· ?· (2n-1)”,从“k 到 k+1”左 端需增乘的代数式为 A.2k+1 2k+1 C. k+1 答案 B 解析 n=k+1 时,左端为 (k + 2)(k + 3)?[(k + 1) + (k - 1)][(k + 1) + k][(k + 1) + (k + 1)] = (k + 2)(k + 3)?(k + k)(2k + B.2(2k+1) 2k+3 D. k+1 ( ) ( ) B.3 C.5 D.6 ( )

1)(2k+2) =(k+1)(k+2)?(k+k)[2(2k+1)],∴应乘 2(2k+1). 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 用数学归纳法证明“2n 1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步验证为________.


答案 当 n=1 时,左边=4≥右边,不等式成立 解析 由 n∈N+可知初始值为 1. 6. 若 f(n)=12+22+32+?+(2n)2,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是__________. 答案 f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2

解析 ∵f(k)=12+22+?+(2k)2, ∴f(k+1)=12+22+?+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2; ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2. 7. 用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,当第二步假设 n=2k- 1(k∈N+)命题为真时,进而需证 n=________时,命题亦真. 答案 2k+1 解析 因为 n 为正奇数,所以与 2k-1 相邻的下一个奇数是 2k+1. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)若 n 为大于 1 的自然数,求证: 1 1 1 13 + +?+ > . 2n 24 n+1 n+2 证明 1 1 7 13 (1)当 n=2 时, + = > . 2+1 2+2 12 24

(2)假设当 n=k(k∈N+)时不等式成立, 即 1 1 1 13 + +?+ > , 2k 24 k+1 k+2

那么当 n=k+1 时, 1 1 1 + +?+ k+2 k+3 2?k+1? = 1 1 1 1 1 1 1 + +?+ + + + - 2k 2k+1 2k+2 k+1 k+1 k+2 k+3

1 1 1 1 1 1 1 =?k+1+k+2+k+3+?+2k?+ ? ? 2k+1+2k+2-k+1 13 1 1 1 13 1 1 > + + - = + - 24 2k+1 2k+2 k+1 24 2k+1 2k+2 = 13 1 13 + > . 24 2?2k+1??k+1? 24

这就是说,当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)可知,原不等式对任意大于 1 的自然数都成立.

9. (12 分)已知点 Pn(an,bn)满足 an+1=an· bn+1,bn+1= (1,-1). (1)求过点 P1,P2 的直线 l 的方程;

bn (n∈N*)且点 P1 的坐标为 1-4a2 n

(2)试用数学归纳法证明:对于 n∈N*,点 Pn 都在(1)中的直线 l 上. (1)解 由 P1 的坐标为(1,-1)知 a1=1,b1=-1. b1 1 1 ∴b2= = .a2=a1· b2= . 3 3 1-4a2 1 1 1? ∴点 P2 的坐标为? ?3,3?,∴直线 l 的方程为 2x+y=1. (2)证明 ①当 n=1 时,2a1+b1=2×1+(-1)=1 成立. ②假设当 n=k(k∈N*)时,2ak+bk=1 成立, 则当 n=k+1 时,2ak+1+bk+1=2ak· bk+1+bk+1 = 1-2ak bk bk (2ak+1)= = =1, 1-4a2 1-2ak 1-2ak k

∴当 n=k+1 时,命题也成立. 由①②知,对于 n∈N*,都有 2an+bn=1, 即点 Pn 在直线 l 上. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 对于不等式 n2+n<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法证明的过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时, 不等式成立, 即 k2+k<k+1, 则当 n=k+1 时, ?k+1?2+?k+1? = k2+3k+2< ?k2+3k+2?+?k+2?= ?k+2?2=(k+1)+1, ∴当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法 A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 答案 D 解析 在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,不是数学归纳法. 2. 用数学归纳法证明不等式 1 1 1 13 + +?+ < (n≥2,n∈N*)的过程中,由 n=k 递 2n 14 n+1 n+2 ( ) ( )

推到 n=k+1 时不等式左边

1 A.增加了一项 2?k+1? 1 1 B.增加了两项 、 2k+1 2k+2 1 C.增加了 B 中两项但减少了一项 k+1 D.以上各种情况均不对 答案 C 1 1 1 1 1 1 解析 ∵n=k 时,左边= + +?+ ,n=k+1 时,左边= + +?+ 2 k 2 k k+1 k+2 k+2 k+3 + 1 1 + , 2k+1 2k+2

1 1 1 ∴增加了两项 、 ,少了一项 . 2k+1 2k+2 k+1 1 1 1 127 3. 用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n-1> (n∈N*)成立,其初始值至少应取 2 4 64 2 ( A.7 答案 B 1 1- n 2 1 1 1 1 解析 左边=1+ + +?+ n-1= =2- n-1,代入验证可知 n 的最小值是 8. 2 4 1 2 2 1- 2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 平面上有 n 条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设 k 条这样的直线把平面 分成 f(k)个区域,则 k+1 条直线把平面分成的区域数 f(k+1)=f(k)+________. 答案 k+1 解析 当 n=k+1 时,第 k+1 条直线被前 k 条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在 区域一分为二,故增加了 k+1 个区域. 1 1 1 1 2k+1 1+ ??1+ ??1+ ???1+ k ?> 5. 用数学归纳法证明? (k>1),则当 n=k+1 时, 3 5 7 2 - 1 ? ?? ?? ? ? 2 ? 左端应乘上 ____________________________ ,这个乘上去的代数式共有因式的个数是 __________. 1 1 1 答案 ?1+2k+1??1+2k+3???1+2k+1-1? ? ?? ? ? ? 解析 2k
-1

)

B.8

C.9

D.10

1 因为分母的公差为 2 ,所以乘上去的第一个因式是 ?1+2k+1? ,最后一个是

?

?

?2 ?1+ k+1 ? ? 2 1-1?,根据等差数列通项公式可求得共有

k+1

-1?-?2 +1? - - +1=2k-2k 1=2k 1 2

k

项. 1 6. 在数列{an}中, a1= 且 Sn=n(2n-1)an, 通过计算 a2, a3, a4, 猜想 an 的表达式是________. 3 1 答案 an= ?2n-1??2n+1? 1 1 解析 当 n=2 时,a1+a2=6a2,即 a2= a1= ; 5 15 当 n=3 时,a1+a2+a3=15a3, 1 1 即 a3= (a1+a2)= ; 14 35 当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=28a4, 1 1 即 a4= (a1+a2+a3)= . 27 63 1 1 1 1 1 1 1 ∴a1= = ,a = = ,a = = ,a = , 3 1×3 2 15 3×5 3 35 5×7 4 7×9 1 故猜想 an= . ?2n-1??2n+1? 三、解答题 1 1? 3 1 1 , 时,f(x)≥ . 7. (13 分)已知函数 f(x)=ax- x2 的最大值不大于 ,又当 x∈? 4 2 ? ? 2 6 8 (1)求 a 的值; 1 1 (2)设 0<a1< ,an+1=f(an),n∈N*,证明:an< . 2 n+1 (1)解 a 3 3 a2 x- ?2+ . 由题意,知 f(x)=ax- x2=- ? 2 2? 3? 6

a? a2 1 1 又 f(x)max≤ ,所以 f? ?3?= 6 ≤6. 6 所以 a2≤1. 1 1? 1 又当 x∈? ?4,2?时,f(x)≥8,

? ?f? ?2?≥8, 所以? 1? 1 ?f? ?4?≥8,

1

1

?2-8≥8, 即? a 3 1 ?4-32≥8,

a 3 1

解得 a≥1.

又因为 a2≤1,所以 a=1. (2)证明 用数学归纳法证明: 1 ①当 n=1 时,0<a1< ,显然结论成立. 2 1? 1 因为当 x∈? ?0,2?时,0<f(x)≤6,

1 1 所以 0<a2=f(a1)≤ < . 6 3 故 n=2 时,原不等式也成立. 1 ②假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式 0<ak< 成立. k+1 1 3 1 0, ?时,f(x)为增函数. 因为 f(x)=ax- x2 的对称轴为直线 x= ,所以当 x∈? 3? ? 2 3 1 1 1 所以由 0<ak< ≤ ,得 0<f(ak)<f?k+1?. ? ? k+1 3 k+4 1 3 1 1 1 1 1 于是,0<ak+1=f(ak)< - · - = - < . 2+ k+1 2 ?k+1? k+2 k+2 k+2 2?k+1?2?k+2? k+2 所以当 n=k+1 时,原不等式也成立. 1 根据①②,知对任何 n∈N*,不等式 an< 成立. n+1


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