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江苏省灌云县第一中学2014-2015学年高一数学暑期作业(10)


江苏省灌云县第一中学 2014-2015 学年高一数学暑期作业(10)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) π π π π 1.(cos -sin )(cos +sin )=________. 12 12 12 12 2. 3tan 15°+1 3-tan 15° 的值是________.

2 2 3. 已知 sin x-sin y=- , cos x-cos y= ,且 x, y 为锐角, 则 sin(x+y)=________. 3 3 4.设 a=sin 14°+cos 14°,b=sin 16°+cos 16°,c= 大 的顺序排列为________. 5.已知 sin(45°+α )= 5 ,则 sin 2α =________. 5 6 ,则 a、b、c 按从小到 2

1 1 6.若 sin x-sin y=- ,cos x-cos y= ,则 cos(x-y)的值是________. 3 4 7. 若函数 f(x)=sin(2x+θ )+ 3cos(2x+θ )为奇函数, 则 θ 的取值集合是________. 8.已知 tan 2θ =-2 2,π <2θ <2π ,则 tan θ 的值为________. 9.函数 y=2sin x(sin x+cos x)的最大值为______. 1+sin 4α -cos 4α 10.化简: =________. 1+sin 4α +cos 4α π 11.已知 sin α =cos 2α ,α ∈( ,π ),则 tan α =______. 2 12.若

sin α +cos α =3,tan(α -β )=2,则 tan(β -2α )=________. sin α -cos α

2x ? 2x ? ) 的图象中相邻对称轴的距离是________. 13.函数 y=sin +cos ( 3 3 6
3 5 π π 14.已知 cos(α -β )= ,sin β =- ,且 α ∈(0, ),β ∈(- ,0),则 sin α 5 13 2 2 =________. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) π 3π 2 15.(14 分)已知 tan α ,tan β 是方程 6x -5x+1=0 的两根,且 0<α < ,π <β < . 2 2 求:tan(α +β )及 α +β 的值.

16.(14 分)已知函数 f(x)=2cos 2x+sin x-4cos x. π (1)求 f( )的值; 3 (2)求 f(x)的最大值和最小值.
-1-

2

17.(14 分)已知向量 a=(3sin α ,cos α ),b=(2sin α ,5sin α -4cos α ), α ∈(

3? ? 2? ) , 且 a⊥b. 2

(1)求 tan α 的值; (2)求 cos (

?

2

?

?

3

) 的值.

2 18.(16 分)已知函数 f(x)=2sin (

? ? x ) - 3cos 2x. 4

(1)求 f(x)的周期和单调递增区间;

(2)若关于 x 的方程 f(x)-m=2 在 x∈ [

? ?

, ] 上有解,求实数 m 的取值范围. 4 2

19.(16 分)已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos x-1(x∈R). π (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间[0, ]上的最大值和最小值; 2 6 π π (2)若 f(x0)= ,x0∈[ , ],求 cos 2x0 的值. 5 4 2

2

-2-

π α 1 2 20.(16 分)已知 0<α < <β <π ,tan = ,cos(β -α )= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值. 暑假作业(十)参考答案 一、填空题 3 1. 2 解析 (cos =cos 2.1 解析 ∵
2

π π π π -sin )(cos +sin ) 12 12 12 12

π π 3 2π -sin =cos = . 12 12 6 2

tan 60°-tan 15° 3tan 15°+1 1+tan 60°tan 15°


3-tan 15°

=tan 45°=1, 3tan 15°+1 ∴ =1. 3-tan 15° 3.1 2 2 解析 ∵sin x-siny=- ,cos x-cos y= ,两式相加得: 3 3 sin x+cos x=sin y+cos y, ∴sin 2x=sin 2y, 又∵x,y 均为锐角且 x≠y, π ∴2x=π -2y,x+y= , 2 ∴sin(x+y)=1. 4.a<c<b 3 6 解析 a= 2sin 59°< 2× = ,a<c. 2 2 b= 2sin 61°> 2× 从而 a<c<b. 3 5.- 5 解析 sin(α +45°)=(sin α +cos α )· ∴sin α +cos α = 10 . 5 2 5 = , 2 5 3 6 = ,b>c. 2 2

-3-

2 两端平方,∴1+sin 2α = , 5 3 ∴sin 2α =- . 5 263 6. 288 1 sin x-sin y=- ? ? 3 由? 1 ? ?cos x-cos y=4 ②
2



解析

① +② 得 25 2-2(sin xsin y+cos xcos y)= . 144 263 ∴cos(x-y)= . 288 ? ? π 7.?θ |θ =kπ - ,k∈Z? 3 ? ? 解析 f(x)=sin(2x+θ )+ 3cos(2x+θ ) π ? ? =2sin?2x+ +θ ?. 3 ? ? π ? ? f(0)=2sin? +θ ?=0. ?3 ? π π ∴ +θ =kπ ,即 θ =kπ - ,k∈Z. 3 3 2 2 解析 ∵π <2θ <2π , π ∴ <θ <π , 2 8.- 2tan θ 则 tan θ <0,tan 2θ = =-2 2, 2 1-tan θ 化简得 2tan θ -tan θ - 2=0, 2 解得 tan θ =- 或 tan θ = 2(舍去), 2 ∴tan θ =- 2 . 2
2

2

9. 2+1 2 解析 y=2sin x+2sin xcos x =1-cos 2x+sin 2x π = 2sin(2x- )+1, 4 ∴ymax= 2+1. 10.tan 2α 2 2sin 2α +2sin 2α cos 2α 解析 原式= 2 2cos 2α +2sin 2α cos 2α 2sin 2α ?sin 2α +cos 2α ? = =tan 2α . 2cos 2α ?cos 2α +sin 2α ?

-4-

3 3 2 解析 ∵sin α =cos 2α =1-2sin α 2 ∴2sin α +sin α -1=0, 1 ∴sin α = 或-1. 2 π 1 ∵ <α <π ,∴sin α = , 2 2 11.- 5 3 ∴α = π ,∴tan α =- . 6 3 4 12. 3 sin α +cos α tan α +1 解析 = =3,故 tan α =2. sin α -cos α tan α -1 又 tan(α -β )=2,故 tan(β -α )=-2, ∴tan(β -2α )=tan[(β -α )-α ] tan?β -α ?-tan α 4 = = . 1+tan?β -α ?tan α 3 3π 13. 2 2x 2x π 2x π 2x π 2x π 解 析 y = sin + cos cos - sin ·sin = cos cos + sin sin = 3 3 6 3 6 3 6 3 6 2 x π 2 π ? ? cos? - ?,T= =3π ,相邻两对称轴的距离是周期的一半. 2 ?3 6? 3 33 14. 65 π π 解析 由于 α ∈(0, ),β ∈(- ,0), 2 2 因此 α -β ∈(0,π ). 3 π 又由于 cos(α -β )= >0,因此 α -β ∈(0, ). 5 2 4 12 sin(α -β )= 且 cos β = , 5 13 sin α =sin(α -β +β ) =sin(α -β )cos β +cos(α -β )sin β 4 12 3 5 33 = × + ×(- )= . 5 13 5 13 65 2 15.解 ∵tan α 、tan β 为方程 6x -5x+1=0 的两根, 5 1 ∴tan α +tan β = ,tan α tan β = , 6 6 5 6 tan α +tan β tan(α +β )= = =1. 1-tan α tan β 1 1- 6 π 3π ∵0<α < ,π <β < , 2 2 5π ∴π <α +β <2π ,∴α +β = . 4
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π 2π π 2π 16.解 (1)f( )=2cos +sin -4cos 3 3 3 3 3 9 =-1+ -2=- . 4 4 2 2 (2)f(x)=2(2cos x-1)+(1-cos x)-4cos x 2 2 7 2 =3cos x-4cos x-1=3(cos x- ) - ,x∈R. 3 3 因为 cos x∈[-1,1], 所以,当 cos x=-1 时,f(x)取得最大值 6; 2 7 当 cos x= 时,f(x)取得最小值- . 3 3 17.解 (1)∵a⊥b,∴a·b=0. 而 a=(3sin α ,cos α ),b=(2sin α ,5sin α -4cos α ), 2 2 故 a·b=6sin α +5sin α cos α -4cos α =0. 2 由于 cos α ≠0,∴6tan α +5tan α -4=0. 4 1 解之,得 tan α =- ,或 tan α = . 3 2 3 π ? ,2π ?,tan α <0,故 tan α =1(舍去). ∵α ∈? ? 2 ? 2 ? 4 ∴tan α =- . 3 α ?3π ?3π ? ,π ? (2)∵α ∈? ,2π ?,∴ ∈? ?. 2 ? 4 ? 2 ? ? 4 α 1 α 由 tan α =- ,求得 tan =- 或 tan =2(舍去). 3 2 2 2 α 5 α 2 5 = ,cos =- , 2 5 2 5 α π α π ?α π ? cos? + ?=cos cos -sin sin 2 3 2 3 ?2 3? ∴sin 2 5 1 5 3 =- × - × 5 2 5 2 2 5+ 15 =- . 10 18.解 (1)f(x)=2sin ?
2

?π +x?- 3cos 2x ? ?4 ?

?π ? =1-cos? +2x?- 3cos 2x ?2 ?
=1+sin 2x- 3cos 2x π? ? =2sin?2x- ?+1, 3? ? π π π 周期 T=π ;2kπ - ≤2x- ≤2kπ + , 2 3 2 π 5π ? ? 解得 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 12 12 ? ? π ?π 2π ? ?π π ? (2)x∈? , ?,所以 2x- ∈? , ?, 3 ? 3 ?6 ?4 2? π ? ?1 ? ? sin?2x- ?∈? ,1?, 3 ? ?2 ? ? 所以 f(x)的值域为[2,3].
-6-

而 f(x)=m+2,所以 m+2∈[2,3],即 m∈[0,1]. 2 19.解 (1)由 f(x)=2 3sin xcos x+2cos x-1,得 f(x)= 3(2sin xcos x)+(2cos2x-1) π = 3sin 2x+cos 2x=2sin (2x+ ), 6 所以函数 f(x)的最小正周期为 π . π π π π 因为 f(x)=2sin (2x+ )在区间[0, ]上为增函数,在区间[ , ]上为减函数,又 6 6 6 2 π π π f(0)=1,f( )=2,f( )=-1,所以函数 f(x)在区间[0, ]上的最大值为 2,最小 6 2 2 值为-1. π (2)由(1)可知 f(x0)=2sin (2x0+ ). 6 6 π 3 因为 f(x0)= ,所以 sin (2x0+ )= . 5 6 5 π π π 2π 7π 由 x0∈[ , ],得 2x0+ ∈[ , ], 4 2 6 3 6 π 从而 cos(2x0+ )=- 6 π 4 2 1-sin ?2x0+ ?=- . 6 5 π π 所以 cos 2x0=cos[(2x0+ )- ] 6 6 π π π π 3-4 3 =cos(2x0+ )cos +sin (2x0+ )sin = . 6 6 6 6 10 α 2tan 2 4 20.解 (1)tan α = = , 3 2α 1-tan 2 sin α 4 2 2 所以 = .又因为 sin α +cos α =1, cos α 3 4 解得 sin α = . 5 π (2)因为 0<α < <β <π ,所以 0<β -α <π . 2 2 7 2 ,所以 sin(β -α )= . 10 10 所以 sin β =sin[(β -α )+α ] =sin(β -α )cos α +cos(β -α )sin α 7 2 3 2 4 2 = × + × = . 10 5 10 5 2 3π ?π ? 因为 β ∈? ,π ?,所以 β = . 2 4 ? ? 因为 cos(β -α )=

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