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3.1.2空间向量的数乘运算(2)



使

a , b(b ? o), a // b的充要条件是存在实数? a ? ? b.
推论:如果 l 为经过已知点A且平行

1.共线向量定理:对空间任意两个向

已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中 a 叫做直线的 方向向量.或OP=(1-t)OA+tOB 若P为A,B中点, 则 OP=1/2(OA+OB)

2.共面向量定理:如果两个向量 a, b

不共线,则向量P与向量 a, b 共面的充要条 件是存在实数对x, y使p ? xa ? yb

推论:空间一点P位于平面ABC内的充
要条件是存在有序实数对x,y使

AP=xAB+yAC
或对空间任一点O,有

(证明四点共面)

OP=OA+xAB+yAC

例3.已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点 O引向量OE=KOA,OF=kOB,OG=KOC, OH=KOD,求证(1)四点E,F,G,H共面。 (2)平面EG//平面AC O D

C
B

A
H E

G F

例4.PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,M、N分 别是AB、PC中点。 求证:MN//平面PAD

小结:
1.证明四点共面的方法 (1)若AB=kDC,得AB//DC,则A,B,C,D四点共面

(2)若AC=mAB+nAD,则A,B,C,D四点共面
2.证明线面平行的方法 (1)若AB=kEF,则EF//AB,EF在平面α内,AB不在平面α内 所以AB//平面α

(2)若AB= mEF+nEG,则AB,EF,EG共面,AB//平面 EFG

课后作业:

?? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? 1.已知两个非零向量 e1 , e2 不共线,如果 AB ? e1 ? e2 , ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 ,求证: A, B, C, D 共面
? ? ? ? ? ? ? ? 2.已知 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp , ? ? ? ? a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x, y 的值

王新敞
奎屯

新疆

3.已知 E, F , G, H 分别是空间四边形 ABCD 边 AB, BC, CD, DA 的中点, (1)用向量法证明: E, F , G, H 四点共面; (2)用向量法证明: BD // 平面 EFGH .


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