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立体几何学案


空间几何体
编制人:王炜,王美霞 使用时间:2015.1.16 【基础梳理】 1. 多面体 (1) 有 两 个 面 , 其 余 各 面 都 是 _________, 并 且 每 相 邻 两 个 四 边 形 的 公 共 边 都 ____________,由这些面所围成的多面体叫做棱柱. (2)有一个面是 ___________,其余各面都是 _________________的三角形 ,由这些面所围成的 多面体叫做棱锥. (3)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分多面体叫做________ 2. 旋转体 (1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做________ (2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴 ,其余两边旋转形成的面所围成的旋转 体体叫做_________ (3)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转体叫做_____,简称____. 3. 三视图和直观图 (1)三视图是从一个几何体的 _________________________三个不同的方向看这个几何体 ,描 绘出的图形,分别称为_________________________ (2)三视图的排列顺序 :先画_________,俯视图放在正视图的 _________,侧视图放在正视图的 ______________. (3)三视图的三大原则:________________________________. (4)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法: ①在已知图形中,取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们画成对应的 _______________________, 两轴相交于 O′ , 且使 ___________________________________, 用它们确定的平面表示______________ ②已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中,分别画成平行于______________的线段. ③已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中_____________________;平行于 y 轴的线段, 在直观图中_________________________ 5.旋转体的表面积 (1)圆柱的表面积 S=__________(其中 r 为底面半径,l 为母线长). (2)圆锥的表面积 S=________(其中 r 为底面半径,l 为母线长). (3)圆台的表面积公式 S=π (r′2+r2+r′l+rl)(其中 r′、 r 为上、 下底面半径, l 为母线长). (4)球的表面积公式 S=____(其中 R 为球半径). 6.几何体的体积公式 (1)柱体的体积公式 V=___(其中 S 为底面面积,h 为高).
(2)锥体的体积公式 V= (其中 S 为底面面积, h 为高). SS′+S′)h(其中 S′、 S 1 (3)台体的体积公式 V= (S+ 3 为上、下底面面积,h 为高). (4)球的体积公式 V= (其中 R 为球半径).

题型一

空间几何体的结构特征

1.下列说法正确的是 ( ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D.棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得到的平面与底面之间的部分 解析:A、B 中不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行” ,所以不是棱柱;C 中,不满足 各个三角形有唯一的公共顶点.所以选 D. 答案:D 2.有下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;③在圆台的上、下底面圆周上各 取一点, 则这两点的连线是圆台的母线; ④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的. 其 中正确的是 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 解析:①不符合圆柱母线的定义;③不符合圆台母线的定义. 答案:D 3.下列结论不正确的是( )

①各个面都是三角形的几何体是三棱锥; ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥; ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥; ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线. A.①② B.②③ C.①②③ D.②③④

解析: ①错误.如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几 何体,各面都是三角形,但它不一定是棱锥. ②错误.如下图,若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不 是直角边,所得的几何体都不是圆锥. ③错误.若六棱锥的所有棱长都相等, 则底面多边形是正六边形.由几何图形知, 若以正六边 形为底面,侧棱长必然要大于底面边长. ④正确.选 C. 考点二 空间几何体的三视图 4. 在 一 个 几 何 体 的 三 视 图 中 , 正 视 图 和 俯 视 图 如 图 所 示 , 则 相 应 的 侧 视 图 可 以 为 ( )

解析:通过正视图及俯视图可看出,该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起,故侧视 图为 D. 答案:D 5.(2012· 福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不 可以是( A.球 C.正方体 解析:选 D ) B.三棱锥 D.圆柱 球、正方体的三视图形状都相同,大小均相等,首先排除

选项 A 和 C.对于如图所示三棱锥 O-ABC,当 OA、OB、OC 两两垂直且 OA =OB=OC 时,其三视图的形状都相同,大小均相等,故排除选项 B.不论圆 柱如何放置,其三视图的形状都不会完全相同. 6.(2012· 北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( A.28+6 5 C.56+12 5 B.30+6 5 D.60+12 5 )

解析:选 B 该三棱锥的直观图,如图所示,其中侧面 PAC⊥底面 ABC, 1 PD⊥AC,AC⊥BC,可得 BC⊥平面 PAC,从而 BC⊥PC.故 S△PAC= ×5×4 2 1 1 =10;S△ABC= ×5×4=10;PC=5,所以 S△PBC= ×4×5=10;由于 PB= 2 2 PD2+BD2= 16+25= 41,而 AB= 52+42= 41,故△BAP 为等腰三角形,取底边 AP 1 1 的中点 E, 连接 BE, 则 BE⊥PA, 又 AE= PA= 5, 所以 BE= 41-5=6, 所以 S△PAB= ×2 5 2 2 ×6=6 5.所以所求三棱锥的表面积为 10+10+10+6 5=30+6 5.

7.如图,E、F 分别是正方体面 ADD1A1、面 BCC1B1 上的中点,则四边形 D1EBF 在该正方体的 面上的投影可能是 .(把可能的序号填上,少填、多填均不给分)

解析:四边形 D1EBF 在该正方体的面 AD、BC1 内的射影均为图①,在面 AC、A1C1、A1B、D1C 内的射影均为图③,故应填①③. 答案:①③ 8. (1)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3.

(2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.

[思路点拨] 将三视图还原为直观图后求解. [规范解答] (1)由三视图可知, 该几何体为一个长方体与四棱柱的组合体, 长方体的长、 宽、高分别为 4、3、2,四棱柱的高为 4,其上、下底面为两底长分别为 1、2,高为 1 的直 角梯形,故组合体的体积 1 V=3×4×2+ ×(1+2)×1×4=30. 2 (2)根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱, 所以 S=2×(4+3+12)+2π-2π =38. [答案] (1)30 (2)38 9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

8π A. 3 10π C. 3

B.3π D.6π

解析:选 B 由三视图可知,此几何体(如图所示)是底面半径为 1,高为 1 4 的圆柱被从一平面截去了 , 4 3 所以 V= ×π×12×4=3π. 4 考点三 空间几何体和直观图 10:如图所示,矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 O′A′ =6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是 () A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 一般的平行四边形

解析:因为在直观图中, 平行于 x 轴的边的长度不变, 平行于 y 轴的边的长度变为原来的 所以原图中,OA=6 cm,OD=4 2 cm,所以 OC=6 cm,BC=AB=6 cm,所以原图形为菱形. 答案:C

1 , 2

11. 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面四边形的 面积等于________. 12. 关于“斜二测画法” ,下列说法不正确的是( ) A.原图形中平行于 x 轴的线段,其对应线段平行于 x′轴,长度不变 B.原图形中平行于 y 轴的线段,其对应线段平行于 y′轴,长度变为原来的 C.在画与直角坐标系 xOy 对应的 x′O′y′时,∠x′O′y′必须是 45°

1 2

D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同 12. 分析:在画与直角坐标系 xOy 对应的 x′O′y′时,∠x′O′y′也可以是 135°,所以 C 不正 确. 答案:C

考点四 空间几何体的表面积和体积 13.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的 A.2 倍 B.2 2 倍
2





C.

2倍

D.

3

2倍

解析:设球原来半径为 r,则 S ? 4?r , V ? 所以 R= 2 r.所以 V扩 ?

4 3 ?r ,又设扩大后半径为 R,则 4?R 2 ? 8?r 2 , 3

V 4 3 4 ?R ? ? ( 2r ) 3 , 所以 扩 ? 2 2. 3 3 V
( )

答案:B 14.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S, 那么圆柱的体积等于 A.

S S 2

B.

S S 2 ?

C.

S S 4

D.

S S 4 ?

解析:设圆柱的底面半径为 r,则高为 2r,S=2π r×2r,所

答案:D 15.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是

( )

A.32

B.16+16 2

C.48

D.16+32 2

解析:该空间几何体是底面边长为 4,高为 2 的正四棱锥,这个四棱锥的斜高为 2 2 ,故 其表面积是 4×4+4× 答案:B

1 ×4×2 2 =16+16 2 . 2

16.某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形且体积为 以是

1 ,则该几何体的俯视图可 2
( )

解析:当俯视图是 A 时,正方体的体积是 1;当俯视图是 B 时,该几何体是圆柱,底面积 S=

? ?1? ? π × ? ? = ,高为 1,则体积是 ;当俯视图是 C 时,该几何体是直三棱柱,故体积 V= 4 ?2? 4
1 1 ? 1 ? ×1×1×1= ;当俯视图是 D 时, 该几何体由圆柱切割而成, 其体积是 V= × ×1= . 2 2 4 2 4
故选 C. 答案:C 17.(2011 届·永安质检)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个 球的体积是 A.96 3 解析:由 ?R ?
3

2

32 π ,则这个三棱柱的体积是 3
B.16 3 C.24 3



) D.48 3

4 3

32 ? ,得 R=2.所以正三棱柱的高为 h=4. 3

设其底面边长为 a,则 ?

1 3

3 a ? 2.所以a ? 4 3. 2

所以 V ?

3 ? (4 3 ) 2 ? 4 ? 48 3. 4

答案:D 18.一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形,如图所示,则多面体的体积为 ( )A.48 cm
3

B.24 cm

3

C.32 cm

3

D.28 cm

3

解析:结合图示三视图及尺寸可得该多面体为直三棱柱,

19. 已知直角三角形的两直角边长分别为 3 cm 和 4 cm,则以斜边为轴旋转一周所得几何体 的体积为 cm .
3

解析:所得的几何体如图所示,它是由两个圆锥将底面重合在一起组成的几何体, 设圆锥的底面半径为 r,底面分原直角三角形的斜边为 h1,h2,且斜边长为 5,

1 1 12 ×3×4= ×5×r ? r= .又 h1+h2=5,所以得该几何体的体积为 2 2 5 1 1 1 1 12 48 2 2 2 3 ( ) 2 ×5= ? (cm ). V= π r h1+ π r h2= π r (h1+h2)= π× 3 3 3 3 5 5 48 ? 答案: 5
则 20. 四棱台的上下底面均为正方形,它们的边长分别为 2 cm 和 6 cm,两底面之间的距离为 2 cm,则该四棱台的侧棱长为 ( ) A.3cm B.2 2 cm C.2 3 cm D. 5 cm

解析:构造一直角三角形,以棱台的高为一直角边, 另一直角边长为

2 2 ×6×2=2 2 (cm) , 2 2

2 侧棱为斜边,所以侧棱长为 22 ? (2 2) ? 2 3 (cm).

答案:C 21.正四棱锥的高为 3 ,侧棱长为 7 ,求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少? 解:如图所示,正四棱锥 S—ABCD 中高 OS= 3 ,

侧棱 SA=SB=SC=SD= 7 , 在 Rt△SOA 中, OA ?

SA2 ? OS 2 ? 2, 所以 AC=4.

所以 AB=BC=CD=DA=2 2 .作 OE⊥AB 于 E,则 E 为 AB 中点.连结 SE,则 SE 即为斜高,SO⊥OE. 在 Rt△SOE 中,因为 OE=

1 BC= 2 ,SO= 3 ,所以 SE ? SO2 ? OE 2 ? 5. 2

22. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等于 392 cm 轴的夹角是 45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.

2

,母线与

点线面之间的位置关系
1.平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 公理 2:过 ,有且仅有一个平面。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 . 平面基本性质的推论 推论 1.经过一条直线和___________的一点,有且只有一个平面

推论 2.经过两条___________直线,有且只有一个平面 推论 3.经过两条___________直线,有且只有一个平面 2.空间中直线与直线的位置关系 (1)空间两条直线的位置关系有且只有三种: ? _ :在同一个平面内,有 且仅有一个公共点; ? __________ ? __________ ? _ :在同一个平面内,没 有公共点; ? ? __________ ? :不在任何平面内,没 有公共点。 ? __________ (2) 公理 4 :平行于同一条直线的 . 这一性质称为空间平行线 的 . (3)定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个 角 。 3.空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种: (1)直线在平面内:有 个公共点; (2)直线在平面外:①直线与平面相交:有 个公共点 ②直线与平面平行:有 个公共点 4.空间中平面与平面的位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有两种: 两个平面平行—— ; 两个平面相交—— ; 5.直线与平面平行 ⑴定义: 若_________________________________, 则这条直线和这个平面平行。 ⑵判定方法: ①定义 ②判定定理: _____________________________________________ ③其他方法: ⑶性质定理: ___________________________ __________________ 6. 平面与平面平行 ⑴定义:若__________________________________,就说这两个平面互相平行。 ⑵判定方法: ①定义 ②判定定理: _____________________________________________ ③其他方法: ⑶性质定理: 7、直线与平面垂直 ⑴直线与平面垂直的判定方法 ①定义法: ②判定定理:

⑵直线与平面垂直的性质

8、平面与平面垂直 ⑴平面与平面垂直的判定方法 ①定义法: ②判定定理: ⑵平面与平面垂直的性质
1.下列四个命题中,真命题的个数为 (1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; (2)两条直线可以确定一个平面; (3)若 M∈α ,M∈β ,α ∩β = l ,则 M∈ l ; (4)空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内. A.1 B.2 C.3 解析:命题(1) ( 2) (4)错误,只有(3)是真命题. 答案:A ( )

D.4

2. 如图所示各图是正方体或正四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面 的是 ( )

解析:由正方体的性质可证 A 中 PS∥QR;B 中 PQ∥RS;在正四 面体中,由三角形中位线性质及公理 4 可证 C 中 PQ∥RS. 答案:D 3. 若 直 线 a ∥ b,b ∩ c=A , 则 直 线 a 与 c 的 位 置 关 系 是 ( )

A. 异 面 D.异面或相交

B. 相 交

C. 平 行

解析:容易判断 a,c 不平行,它们可能相交或异面,故选 D. 答案:D 4.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在 空 间 中 与 三 条 直 线 A1D1 、 EF 、 CD 都 相 交 的 直 线 ( ) B.有且只有两条 D.无数条

A.不存在 C.有且只有三条

解析:在 EF 上任意取一点 M,直线 A1D1 与 M 确定一个平面,这 个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N,当 M 取不同的位置确定不同 的平面,从而与 CD 有不同的交点 N,而直线 MN 与这 3 条异面直 线都有交点,故选 D. 答案:D 5.a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出五个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ③若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ④若 a ? 平面α ,b ? 平面β ,则 a,b 一定是异面直线; ⑤若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. 上述命题中正确的是 (只填序号).

6. 如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线只和这个平面

内的 A.一条直线不相交 C.无数条直线不相交



) B.两条相交直线不相交 D.任意一条直线都不相交

解析:由线面平行的定义易知,选 D. 答案:D 7. ( ) 下 列 说 法 正 确 的 是

A.若直线 l 平行于平面α 内的无数条直线,则 l∥α B.若直线 a 在平面α 外,则 a∥α C.若直线 a∥b,b ? α ,则 a∥α D.若直线 a∥b,b ? α ,则直线 a 平行于平面内的无数条直线 解析:对于 A 有可能 l ? α ;对于 B 有可能 a∩α =A;对于 C 应 强调 a ? α . 答案:D 8. 在空间四边形 ABCD 中, E、 F 分别是 AB 和 BC 上的点, 若 AE∶ EB=CF ∶ FB=1 ∶ 2 , 则 对 角 线 AC 和 平 面 DEF 的 位 置 关 系 是 ( ) B.相交 D.不能确定
AE CF ? 得 EB FB

A.平行 C.在平面内 解析:如图:由

AC∥EF.

EF ? 平面 DEF,AC ? 平面 DEF,所以 AC∥面 DEF. 答案:A

9.(2011 届·宁德质检)给出下列关于互不相同的直线 l 、m、n 和平面α 、β 、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线, l ? α ,m ? β ,则α ∥β ; ②若α ∥β ,
l ?α

,m ? β ,则 l ∥m;

③若α ∩β = l ,β ∩γ =m,γ ∩α =n, l ∥γ ,则 m∥n. 其 ( A.3 D.0 解析:①中,当α 与β 不平行时,也能存在符合题意的 l,m. ②中, l 与 m 也可能异面. ③中, l ∥γ , 答案:C 10.设α 、β 、γ 为平面,a、b 为直线,给出下列条件: ①a ? α ,b ? β ,a∥β ,b∥α ; ②α ∥γ ,β ∥γ ; ③α ⊥γ ,β ⊥γ ; 其 ( A. ①② D.③④ 解析:②正确,易知平行于同一平面的两平面平行;④正确,a ⊥α ,a∥b ?b⊥α .又 b⊥β ,所以α ∥β . 中 能 ) B. ②③ C. ②④ 使 α ∥ β ④a⊥α ,b⊥β ,a∥b. 成 立 的 条 件 是
l ?β

中 )















B.2

C.1

,β ∩γ =m ? l ∥m,同理 l ∥n,则 m∥n 正确.

答案:C 11.(2012· 浙江高考)设 l 是直线,α,β 是两个不同的平面 ( ) A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 解析:选 B 对于选项 A,两平面可能平行也可能相交;对 于选项 C,直线 l 可能在 β 内也可能平行于 β;对于选项 D,直 线 l 可能在 β 内或平行于 β 或与 β 相交. 12.已知 m,n 表示直线,α,β,γ 表示平面,给出下列四个 命题,其中真命题为( )

①α∩β=m,n?α,n⊥m,则 α⊥β; ②α⊥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则 n⊥m; ③m⊥α,m⊥β,则 α∥β; ④m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β. A.①② C.②③ B.③④ D.②④

13.已知三条不重合的直线 m,n,l,两个不重合的平面 α, β,有下列命题: ①若 m∥n,n?α,则 m∥α; ②若 l⊥α,m⊥β 且 l∥m,则 α∥β; ③若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ④若 α⊥β,α∩β=m,n?β,n⊥m,则 n⊥α.

其中正确命题的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4

)

[思路点拨] 对每一个命题进行逐一分析、判断,看其是否 满足相关定理的条件. [规范解答] (1)由面面垂直判定定理可知,①错误;若 α⊥ β,α∩γ=m,β∩γ=n,则 n⊥m 或 n∥m,故②错误. (2)若 m∥n,n?α,则 m 与 α 可平行也可在 α 内,故①错 误;l⊥α,l∥m,则 m⊥α,又 m⊥β,所以 α∥β,故②正确; ③中若 m 与 n 相交则命题成立,否则不成立,故③错误;由面 面垂直的性质定理可知④正确,综上可知②④正确,①③错误. [答案] (1)B (2)B

14.如图所示,在正三棱柱 ABC— A1B1C1 中,D 是 AC 的中点,AA1∶ AB= 2 ∶1,则异面直线 AB1 与 BD 所成的角为 .

解析:取 A1C1 的中点 D1,连结 B1D1,

因为 D 是 AC 的中点,所以 B1D1∥BD, 所以∠AB1D1 即为异面直线 AB1 与 BD 所成的角. 连结 AD1,设 AB=a,则 AA1= 2 a,

所以 AB1= 3 a,B1D1=

1 3 3 a, AD1 ? a 2 ? 2a 2 ? a. . 2 4 2

3 9 3a 2 ? a 2 ? a 2 4 4 ? 1, 所以 cos?AB1D1 ? 2 3 2 ? 3a ? a 2

所以∠AB1D1=60°. 答案:60° 15. 在长方体 ABCD — A1B1C1D1 中 ,AB=BC=1,AA1=2, 点 M 是 BC 的中点,点 N 是 AA1 的中点. (1)求证:MN∥平面 A1CD; (2)过 N,C,D 三点的平面把长方体 ABCD—A1B1C1D1 截成两部分几何 体,求所截成的两部分几何体的体积的比值.

(1)证明:设点 P 为 AD 的中点,连结 MP、NP,

因为点 M 是 BC 的中点,所以 MP∥CD.

因为 CD ? 平面 A1CD,MP ? 平面 A1CD, 所以 MP∥平面 A1CD. 因为点 N 是 AA1 的中点,所以 NP∥A1D. 因为 A1D ? 平面 A1CD,NP ? 平面 A1CD, 所以 NP∥平面 A1CD. 因为 MP∩NP=P,MP ? 平面 MNP,NP ? 平面 MNP, 所以平面 MNP∥平面 A1CD.因为 MN ? 平面 MNP,所以 MN∥平面 A1CD. (2)解:取 BB1 的中点 Q,连结 NQ、CQ、ND, 因为点 N 是 AA1 的中点, 所以 NQ∥AB.因为 AB∥CD, 所以 NQ∥CD, 所以过 N、C、D 三点的平面 NQCD 把长方体 ABCD—A1B1C1D1 截成两 部分几何体,其中一部分几何体为直三棱柱 QBC—NAD,另一部 分几何体为直四棱柱 B1QCC1—A1NDD1, 所以 S ?QBC = QB·BC= ×1×1= . 所以直三棱柱 QBC—NAD 的体积 V1= S ?QBC ·AB= . 因为长方体 ABCD—A1B1C1D1 的体积 V=1×1×2=2, 所以直四棱柱
1 V 3 1 B1QCC1—A1NDD1 的体积 V2 ? V ? V1 ? .所以 1 ? 2 ? . 2 V2 3 3 2
1 2 1 2 1 2 1 2

所以所截成的两部分几何体的 体积的比值为 . 16.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中, AB⊥平面 PAD,
1 3

1 AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF= 2 AB,PH 为△PAD 中 AD 边上的高. (1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH=1, AD= 2, FC=1, 求三棱锥 E-BCF 的体积; (3)证明:EF⊥平面 PAB. 解:(1)证明:因为 AB⊥平面 PAD,所以平面 PAD⊥平面 ABCD;因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高,所以 PH⊥AD,又 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PH?平面 PAD,所以 PH⊥平面 ABCD. (2)因为 E 为 PB 的中点, 所以 E 点到平面 ABCD 的距离为 1 1 1 2 PH= ,S△BCF= ×CF×AD= ×1× 2= . 2 2 2 2 1 1 2 所以三棱锥 E-BCF 的体积 V= × × 3 2 2 = 2 . 12 (3)证明:如右图,取 AB 的中点 M,连接 MF、EM,取 PA 的中点 N,连接 NE、DN. 1 因为 AB∥CD,DF= AB,所以 NE 綊 AM 綊 DF,所以四 2 边形 DNEF 为平行四边形,所以 EF 綊 DN. 因为 PD=AD,所以 DN⊥PA,又因为 AB⊥平面 PAD,所 以 DN⊥AB,PA∩AB=A,所以 DN⊥平面 PAB,所以 EF⊥平 面 PAB. 1 2

17.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是线段 AB 上 的两点,且 DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4 2, DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两 点重合于点 G,得 到多面体 CDEFG. (1) 求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (2) 求 多 面 体 CDEFG 的体积. 解:(1)证明:因为 DE⊥EF,CF⊥EF,所以四边形 CDEF 为矩形, 由 GD=5,DE=4, 得 GE= GD2-DE2=3, 由 GC=BC=4 2,CF=DE=4, 得 FG= GC2-CF2=4, 所以 EF=5, 在△EFG 中,有 EF2=GE2+FG2,所以 EG⊥GF. 因为 CF⊥EF,CF⊥FG,得 CF⊥平面 EFG, 所以 CF⊥EG,所以 EG⊥平面 CFG, 即平面 DEG⊥平面 CFG. (2)在平面 EGF 中,过点 G 作 GH⊥EF 于 点

H, EG· GF 12 则 GH= EF = . 5 因为平面 CDEF⊥平面 EFG,所以 GH⊥平面 CDEF, 1 所以 VCDEFG= SCDEF· GH=16. 3 18、如图,四边形 ABCD 中, AB ? AD ,AD∥BC,AD =6,BC =4,AB =2,点 E、F 分别在 BC、AD 上, EF∥AB.现将四边形 ABEF 沿 EF 折起,使平面 ABEF ? 平面 EFDC,设 AD 中点为 P. ( I )当 E 为 BC 中点时,求证:CP//平面 ABEF (Ⅱ)设 BE=x,问当 x 为 何值时,三棱锥 A-CDF 的体积有最大值?并求 出这个最大值。

19.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=AD=1,AA1=2,M 为棱 DD1 上的一点. (1)求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2)当 A1M+MC 取得最小值时, 求证: B1M ⊥平面 MAC. [思路点拨] (1)可证明 AD⊥平面 CDD1C1,故可求点 A 到

底面 MCC1 的高,然后利用体积公式求解; (2)可将侧面展开,判定 M 点的位置. [规范解答] (1)由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知, AD⊥平面 CDD1C1, 所以点 A 到平面 CDD1C1 的距离等于 AD=1. 1 1 又 S△MCC1= CC1×CD= ×2×1=1, 2 2 1 1 所以 VA-MCC1= AD· S△MCC1= . 3 3 (2)证明: 将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转 90° 展开,与侧面 ADD1A1 共面(如图),当 A1,M,C′ 共线时,A1M+MC 取得最小值. 由 AD=CD=1,AA1=2,得 M 为 DD1 中点. 连接 C1M,在△C1MC 中,MC1= 2,MC= 2,CC1=2,
2 2 ∴CC2 ,即 CM⊥MC1. 1=MC1+MC ,得∠CMC1=90°

又由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知,B1C1⊥平面 CDD1C1, ∴B1C1⊥CM. 又 B1C1∩C1M=C1, ∴CM⊥平面 B1C1M,得 CM⊥B1M; 同理可证,B1M⊥AM, 又 AM∩MC=M,∴B1M⊥平面 MAC. 20.如图,在△CEF 中,tan E=2,CD⊥EF,且 DE=1, DF=2,A、B 分别是 DF、CF 的中点.现将△ABF、△DEC 分 别沿 AB、 CD 折起, 使得平面 ABF、 平面 DEC 都与四边形 ABCD 所在的平面垂直.

(1)求证:BC⊥BE; (2)在 EC 上找一点 M,使得 BM∥平面 ADEF,请确定 M 点的位置,并给出证明. [思路点拨] 由题意可知 FA=AD=DE,AB⊥AD,CD⊥

AD,故四边形 ABCD 为直角梯形且面 ADEF⊥面 ABCD. [规范解答] (1)证明:在原三角形 CEF 中,因 为 A、B 分别是 DF、CF 的中点,所以 AB∥CD, 1 且 AB= CD. 2 因为 CD⊥EF,所以 AB⊥EF. 在 Rt△DEC 中,DE=1,tan E=2,故 CD=2. 1 1 在 Rt△DCF 中,AB= CD=1,AF=AD= DF=1. 2 2 又因为 DF=CD=2,B 为 CF 的中点,所以 DB⊥CF.则有 DB⊥BC. 因为平面 DEC 与四边形 ABCD 所在的平面垂直,且平面 DEC∩平面 ABCD=CD,DE⊥CD, 所以 DE⊥平面 ABCD,

故 DE⊥BC,所以 BC⊥平面 BDE,故 BC⊥BE. (2)由(1)可知四边形 ADEF 为正方形,且其所在平面与平面 ABCD 垂直. 取 EC 的中点 M,则有 BM∥平面 ADEF. 证明如下:如图,取 CD 的中点 N,连接 MN、BN, 由(1)知 BN∥AD,所以 BN∥平面 ADEF. 因为 M、N 分别为 CE、CD 的中点,所以 MN∥DE, 则 MN∥平面 ADEF, 则平面 BMN∥平面 ADEF,所以 BM∥平面 ADEF. 21.在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,且 AB=AD 1 = CD=1.现以 AD 为一边向梯形外作正方形 ADEF,然后沿边 2 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面 ADEF 与平面 ABCD 垂直, M 为 ED 的中点,如图(2).

图(1) (1)求证:AM∥平面 BEC; (2)求证:BC⊥平面 BDE. 证明:(1)如图取 EC 的中点 N,连 BN. 在△EDC 中,M,N 分别为 ED,

图(2)

接 MN,

EC



中点, 1 所以 MN∥CD,且 MN= CD. 2 1 由已知 AB∥CD,AB= CD, 2 所以 MN∥AB,且 MN=AB. 所以四边形 ABNM 为平行四边形,所以 BN∥AM. 又因为 BN?平面 BEC,且 AM? 平面 BEC, 所以 AM∥平面 BEC. (2)在正方形 ADEF 中,ED⊥AD. 又因为平面 ADEF⊥平面 ABCD, 且平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, 所以 ED⊥平面 ABCD,所以 ED⊥BC. 在直角梯形 ABCD 中,AB=AD=1,CD=2, 可得 BC= 2. 在△BCD 中,BD=BC= 2,CD=2, 所以 BD2+BC2=CD2,所以 BC⊥BD. 又因为 BD∩ED=D,所以 BC⊥平面 BDE. 22. (本小题满分 12 分)如图,几何体 ABCD ? B1C1D1 中,四边形
ABCD 为菱形, ?BAD

? 60 ,
D1

AB ? a ,面 B1C1D1 ∥面
ABCD , BB1 、

C1 B1
E

CC1 、DD1 都垂

直于面

ABCD ,且
D

C
B

A

BB1 ? 2a , E 为 CC1 的中点.
(Ⅰ)求证: ?DB1E 为等腰直角三角形; (Ⅱ)求证:

AC ∥面 DB1E .

22. (本小题满分 12 分)
?BAD ? 60 , 解: (I) 连接 BD , 交 AC 于 O , 因为四边形 ABCD 为菱形,

所以 BD ? a 因为 BB1 、 CC1 都垂直于面 ABCD ,? BB1 // CC1 又面 B1C1D1 ∥面
ABCD ,? BC // B1C1

所以四边形 BCC1B1 为平行四边形 ,则 B1C1 ? BC ? a ………2 分 因为 BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,则
DB1 ? DB 2 ? BB12 ? a 2 ? 2a 2 ? 3a

DE ? DC 2 ? CE 2 ? a 2 ?

a2 6a ? 2 2

a2 6a …………………………………… B1E ? B C ? C1E ? a ? ? 2 2
2 1 1 2 2

…………4 分 所以 DE 2 ? B1E 2 ? 形 ……6 分
6a 2 ? 6a 2 ? 3a 2 ? DB12 所以 ?DB1E 为等腰直角三角 4

(II)取 DB1 的中点 F ,连接 EF 、 OF 因为 O, F 分别为 DB, DB1 的中点,所以 OF ∥ BB1 ,且 OF ? 因为 EC ∥ BB1 ,且 EC ?
1 BB1 ,所以 OF 2 1 BB1 2

∥ EC ,且 OF ? EC

所以四边形 EFOC 为平行四边 形…………………………………………………………10 分 所以 EF ∥ AC ,因为 AC ? 面 DB1E , EF ? 面 DB1E , 所以 AC ∥面
DB1E .

…………………………………………………………………

……12 分

23.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AA1,∠CAB π = . 2 (1)证明:CB1⊥BA1; (2)已知 AB=2,BC= 5,求三棱锥 C1-ABA1 的 体积. 解:(1)证明:如图所示,连接 AB1. π ∵三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,∠CAB= , 2 ∴AC⊥平面 ABB1A1, 故 AC⊥BA1. ∵AB=AA1,四边形 ABB1A1 是矩形,

∴四边形 ABB1A1 是正方形,∴BA1⊥AB1. 又 CA∩AB1=A,∴BA1⊥平面 CAB1,故 CB1⊥BA1. (2)∵AB=AA1=2,BC= 5,∴AC=A1C1=1. 由(1)知,A1C1⊥平面 ABA1, 1 1 2 ∴VC1-ABA1= S△ABA1· A1C1= ×2×1= . 3 3 3

24.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,P, Q 分别是 BC,C1D1,AD1,BD 的中点. (1)求证:PQ∥平面 DCC1D1; (2)求 PQ 的长; (3)求证:EF∥平面 BB1D1D. 解:(1)连结 AC,CD1,因为 P, Q 分别为 AD1,AC 中点, 因此 PQ∥CD1,又 CD1 ? 平面 DCC1D1, 所以 PQ∥平面 DCC1D1. (2)PQ= D1C=
1 2

2 2

a.

(3)取 B1D1 中点 O1,连结 BO1,FO1, 则有 FO1∥B1C1 且 FO1= B1C1,所以 FO1∥BE 且 FO1=BE,
1 2

因此四边形 FO1BE 为平行四边形,所以 EF∥BO1. 又 EF ? 平面 BB1D1D,BO1 ? 平面 BB1D1D, 所以 EF∥平面 BB1D1D.

25.(2012· 合肥模拟)如图所示,在四棱锥 S-ABCD 中,AB ⊥AD,AB∥CD,CD=3AB,平面 SAD⊥平面 ABCD,M 是线 段 AD 上一点,AM=AB,DM=DC,SM⊥AD. (1)证明:BM⊥平面 SMC; (2)设三棱锥 C-SBM 与四棱 锥 S-ABCD 的体积分别为 V1 与 V1 V,求 V 的值. 解:(1)证明:∵平面 SAD⊥ 平面 ABCD ,平面 SAD∩ 平面 ABCD=AD,SM?平面 SAD,SM⊥AD, ∴SM⊥平面 ABCD. ∵BM?平面 ABCD,∴SM⊥BM.

∵四边形 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,AM=AB, DM=DC ∴△MAB,△MDC 都是等腰直角三角形, ∴∠AMB=∠CMD=45° ,∴∠BMC=90° ,∴BM⊥CM. ∵SM?平面 SMC,CM?平面 SMC,SM∩CM=M, ∴BM⊥平面 SMC. (2)三棱锥 C-SBM 与三棱锥 S-CBM 的体积相等,由(1) 知,SM⊥平面 ABCD, 1 1 × ?CM×BM?×SM 3 2 V1 故V= , 1 1 SM× ?AB+CD?×AD 3 2 设 AB=a, 由 CD=3AB, AM=AB, DM=DC, 得 CD=3a, BM= 2a,CM=3 2a,AD=4a, 2a× 3 2a 3 V1 从而 V = = . ?a+3a?×4a 8

26.(2012· 北京高考)如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90° , D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点.将△ ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图(2).

(1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理 由. 解:(1)证明:因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点, 所以 DE∥BC. 又因为 DE? 平面 A1CB,所以 DE∥平面 A1CB. (2)证明:由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC,所以 DE⊥AC. 所以 DE⊥A1D,DE⊥CD.所以 DE⊥平面 A1DC. 而 A1F?平面 A1DC,所以 DE⊥A1F. 又因为 A1F⊥CD,所以 A1F⊥平面 BCDE,

所以 A1F⊥BE. (3)线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ. 理由如下: 如图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ ∥BC.又因为 DE∥BC,所以 DE∥PQ. 所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知,DE⊥平面 A1DC,所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP.所以 A1C⊥平面 DEP. 从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ.

27.一个四棱锥 P-ABCD 的三视图如图所示:

(1) 根据图中标出的尺寸画出四棱锥 P-ABCD 的直观图 (不要求 写画法步骤); (2)求三棱锥 D-PBA 的体积; (3)若在四棱锥 P-ABCD 中,PB 边的中点为 M,求证:CM∥平面 PDA.

(1)解:四棱锥的直观图如图所示.

(2)解:由三视图可知:PB⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为直角梯

形, PB=BC=1,AB=2. 所以 VD-PBA=VP-ABD= × ×2×1×1= . (3)证明:取 PA 中点 N,连结 MN,DN, 又 M 为 PB 的中点,所以 MN∥AB∥CD, 且 MN= AB=CD, 故四边形 MNDC 为平行四边形,所以 CM∥DN. 又 DN ? 平面 PAD,CM ? 平面 PDA, 故 CM∥平面 PDA. 3.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线 段 AD 上,且 CE∥AB. (1)求证:CE⊥平面 PAD; (2) 若 PA=AB=1,AD=3,CD=2,∠CDA=45°,求四棱锥 P-ABCD 的体 积.
1 2
1 3 1 2 1 3

(1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,CE ? 平面 ABCD, 所以 PA⊥CE. 因为 AB⊥AD,CE∥AB,所以 CE⊥AD. 又 PA∩AD=A,所以 CE⊥平面 PAD. (2)解:由(1)可知 CE⊥AD. 在 Rt△ECD 中,DE=CD·cos 45°=1,

CE=CD·sin 45°=1, 又因为 AB=CE=1,AB∥CE, 所以四边形 ABCE 为矩形. 所以 S 四边形 ABCD=S 矩形 ABCE+S△ECD=AB·AE+ CE·DE=1×2+ ×1×1= , 又 PA⊥平面 ABCD,PA=1, 所以 V 四棱锥 P-ABCD= S 四边形 ABCD·PA= × ×1= .
1 3 1 3 5 2 5 6 1 2 1 2 5 2

2.如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE∥AB,△ ACD 是正三角形,AD=DE=2AB,且 F 是 CD 的 中点. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE. 证明:(1)如图,取 CE 中点 P,连 BP, ∵F 为 CD 的中点, 1 ∴FP∥DE,且 FP= DE. 2 1 又∵AB∥DE,且 AB= DE, 2 ∴AB∥FP,且 AB=FP, ∴ABPF 为平行四边形,∴AF∥BP. 又∵AF? 平面 BCE,BP?平面 BCE, 接 FP ,

∴AF∥平面 BCE. (2)∵△ACD 为正三角形,F 为 CD 的中点,∴AF⊥CD. ∵AB⊥平面 ACD,DE∥AB,∴DE⊥平面 ACD. 又∵AF?平面 ACD,∴DE⊥AF. 又∵AF⊥CD,CD∩DE=D,∴AF⊥平面 CDE. 又 BP∥AF,∴BP⊥平面 CDE. 又∵BP?平面 BCE,∴平面 BCE⊥ 平面 CDE. 28.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S-ABC 中,底面 ABCD 是 矩 形 , SA
?

底 面 ABCD ,

SA=AD,点 M 是 SD 的中点,AN ? SC, 且交 SC 于点 N. (I)求证:SB∥平面 ACM; (II)求证:平面 SAC ? 平面 AMN。

19.证明: (Ⅰ)连接 BD,交 AC 于点 O,连接 MO ABCD 为矩形, ?O 为 BD 中点 又 M 为 SD 中点,
? MO//SB

????????????3 分

MO ? 平面 ACM,SB ? 平面 AC??????4 分

? SB//平面

ACM

??????????5 分

O

(Ⅱ)

SA ? 平面 ABCD,? SA ? CD ABCD 为矩形,?CD ? AD,且 SA AD=A

? CD ? 平面

SAD,? CD ? AM???????8 分

SA=AD,M 为 SD 的中点
? AM ? SD,且 ? AM ? SC

CD SD=D ? AM ? 平面 SCD

?????????????????????

?????10 分 又 SC ? AN,且 AN AM=A ? SC ? 平面 AMN SC
?

平 面

SAC , ? 平 面

SAC

?

平 面

AMN. ??????????????12 分

29. (本小题满分 12 分)

AC ? AB ? 1 , 如图, 在多面体 ABC ? A1B1C1 中, 四边形 ABB1 A1 是正方形,

AC ? A1B , B1C1 // BC , B1C1 ? 1

1 BC . 2

A1 C1

B1

(Ⅰ)求证:面 A1 AC ? 面 ABC ; (Ⅱ)求证: AB1 // 面 AC 1 1C .
A

B

C

19. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ) 四边形 ABB1 A1 为正方形, ? A1 A ? AB ? AC ? 1 , A1 A ? AB
? A1B ? 2

?????

????????2 分
AC ? A1B 1

? AC ? 2 1

? ?A1 AC ? 90?

? A1 A ? AC

????

????????4 分
AB AC ? A ,? A1 A ? 面 ABC


ABC

A1 A ?



A1 AC



?



A1 AC ?



????????????6 分

(Ⅱ)取 BC 的中点 E ,连结 AE , C1E , B1E
B1C1 // BC , B1C1 ?
1 BC ,? B1C1 // EC, B1C1 ? EC 2

? 四边形 CEB1C1 为平行四边形
? B1E // C1C
C1C ? 面 AC 1 1C , B 1 1C 1 E ? 面 AC

A1 C1

B1

A E

B

C

? B1E // 面 AC 1 1C ????????8
B1C1 // BC , B1C1 ? ? B1C1 // BE, B1C1 ? BE
1 BC , 2



? 四边形 BB1C1E 为平行四边形? B1B // C1E ,且 B1B ? C1E

又 ABB1 A1 是正方形,? A1 A // C1E ,且 A1 A ? C1E
? AEC1 A1 为平行四边形,? AE // AC 1 1, ?
AC 1 1C
AE // AE ? 面 AC A1C1 ? 面 AC 1 1C , 1 1C



????????????????????????

???10 分
AE B1E ? E ,? 面 B1 AE // 面 AC 1 1C AB1 ?
AC 1 1C



B1 AE



?

AB1 //



??????????????????12 分

30.如图,已知正方形 ADEF 所在平面和等腰梯形 ABCD 所在 平面互相垂直,BC=2AD=4,∠ABC=60°,BF⊥AC.

(1)求证:AC⊥平面 ABF; (2)求异面直线 BE 与 AF 所成角的大小; (3 ) 求该几何体的表面积.

19. 已知某几何体的直观图(图 1)与它的三视图(图 2),其 中俯视图为正三角形,其它两个视图是 矩形.已知 D 是这个几何体的棱 A1C1 的中 点. (1)求出该几何体的体积; (2)求证:直线 BC1 / /平面AB1D ; (3)求证:平面 AB1 D ? 平面AA1 D .
A A1 B1 C B D C1

B1

图1

7.若 A(4,-7,1) ,B(6,2,z),|AB|=11,则 z= 解析:|AB|= 答案:7 或-5 8.点 P(-3,4,-5)关于 Oz 轴的对称点的坐标为 关于点 Q(1,2,3)的对称点的坐标为 .
(6 ? 4) 2 ? (2 ? 7) 2 ? ( z ? 1) 2 ? 11 ,解得

.

z=7 或-5.

,点 P

解析:点 P 关于 Oz 轴对称,竖坐标不变,横坐标和纵坐标互为 相反数. 点 P 关 于 点 Q ( 1 , 2 , 3 ) 的 对 称 点 可 设 为 ( x,y,z), 则
?? 3 ? x ? 2 ? 1, ? x ? 5, ? ?4 ? y ? ? 2, 解得? y ? 0, ? ? 2 ? z ? 11. ? ?? 5 ? z ? 3 , ? 2 ?

答案:(3,-4,-5)

(5,0,11)

9. 已知点 A(1,2,-1) ,点 C 与点 A 关于平面 xOy 对称,点 B

与点 A 关于 x 轴对称,则|BC|的长为

.

解析:因为 C(1,2,1) ,B(1,-2,1) ,所以|BC|=4. 答案:4


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