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山东省东营市胜利一中2009-2010学年上学期高三年级模块考试数学试卷(文科)


高三数学试卷(文科)
一、选择题( 1.已知抛物线 x 2 ? 4ay ,则焦点到其准线的距离为 A. a 2. 集合 A ? {x y ? A. {(? 2,1),( 2,1)} B.2 a C.| a | D.2| a | ) ( )

3 ? x 2 , x ? R} , B ? { y y ? x 2 ? 1, x ? R} ,则 A ? B

=(
B. {z 1 ? z ? 3} C. {z ?1 ? z ? 3}

D. {z 0 ? z ? 3} ( )

3.若 a ? 2 ,则函数 f ( x ) ?

1 3 x ? ax 2 ? 1 在区间(0,2)上恰好有 3
D.3 个零点

A.0 个零点 B.1 个零点 C.2 个零点 4.如果执行如图所示的程序框图,那么输出的 S= A.1 B.

( D.



101 100

C.

99 100

98 99

2 0 5.给出下列关于互不相同的直线 l , m, n 和平面 ? , ? 的四个命题: 0 9 ①若 m ? ? , l ? ? ? A, A ? m ,则 l 与 m 不共面; 0 4 ②若 l , m 是异面直线, l ∥ ? , m ∥ ? 且 n ? l , n ? m ,则 n ? ? ; 0 2 ③若 l ∥ ? , m ∥ ? , ? ∥ ? ,且 n ? l , n ? m ,则 l ∥ m ; ④若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? A, l ∥ ? , m ∥ ? 则 ? ∥ ? ; 其中为假命题的是 ( ... ) A.① B.② C.③ D.④

6. ? , ? , ? 成等差数列”是“等式 sin( ? + ? )=sin2 ? 成立”的 “ A.充分而不必要条件 B.必要则不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 7.某个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A. 2 3 B. 3 C.





3 3 4

D.

3 3 2

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1

8.两个正数 a、b 的等差中项是 5,等比中项是 4,若 a ? b ,则双曲线 率 e 等于 A.

x2 y2 ? ? 1 的离心 a b
( )

3 2

B.

5 2

C.

17 50

D. 3

9.已知平面直角坐标系 xoy 中,△OFP 面积为 2 3 ,且 OF ? FP ? t ,设 4<t<4 3 , 则向量 OF 、 FP 的夹角 ? 的取值范围是 A. ( ( C. ( )

? ?
18 15 ,

)

B. (

? ? , ) 5 4

? ? , ) 4 3

D. (

? ? , ) 3 2
( )

10.已知函数 f ( x) ? 4 ? x 2 , g ( x)是定义在 ??,0) ? (0,??) 上的奇函数,当 x>0 时, (

g ( x) ? log2 x, 则函数y ? f ( x) ? g ( x) 的大致图象为

11.已知在平面直角坐标系 xOy中, O(0,0), A(1,?2), B(1,1), C (2,?1),动点M ( x, y) 满足条件

?? 2 ? OM ? OA ? 2, ? ? ?1 ? OM ? OB ? 2, ?
A.-1

则 OM ? OC 的最大值为 C.3 D.4





B.0

x 12 . 已 知 f (x) 为 偶 函 数 , 且 f (2 ? x) ? f (2 ? x),当 ? 2 ? x ? 0时, f ( x) ? 2 , 若

an ? f (n), n ? N*,则a2 0 1 0 ?
A. 2010 B. 4 C. ? 4 D.

1 4

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2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13 . 不 等 式 | x ? 2 | ? | x ? 1 |? 5 的 解 集 为 。

14 . 已 知 函 数 f ( x) ? 2a sinx? b cosx , 对任意实数 x 满足 f ( x ?

?

且 f ( ) ? 6 ,则 ab 的最大值为

?

) ? f ( ? x) , 8 8
.

?

8

15.在数列 {a n }中, a n ? 为 .

1 2 n 2 ? ??? , 又bn ? , 则数列 {bn } 的前 n 项和 n ?1 n ?1 n ?1 an a n?1

16.已知命题①函数 f ( x) ?

1 在 (0,??) 上是减函数; lg x

②已知 a ? (3, 4), b ? (0, ?1), 则 a 在 b 方向上的投影为 ? 4 ; ③函数 f ( x) ? 2 sin x cos x 的最小正周期为 ? ; ④函数 f (x) 的定义域为 R, 则 f (x) 是奇函数的充要条件是 f (0) ? 0 ; ⑤在平面上, 到定点 (2,1) 的距离与到定直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离相等的点的轨迹是抛 物线. 其中正确命题的序号是 . (写出所有正确命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答出应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2 17. (本小题满分 12 分) 0 0 已知 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,且 2 a 2 ? b2 ? c 2 ? 3ab . 9 A? B 0 (1)求 sin 2 (2)若 c ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值. 2 4 0 2

?

?

?

?

?

?

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3

18 (本小题满分 12 分) 对甲、乙两种商品的重量的误差进行抽查,测得数据如下(单位: mg ): 甲:13 15 14 14 9 14 21 9 10 11 乙:10 14 9 12 15 14 11 19 22 16 ⑴ 画出样本数据的茎叶图,并指出甲,乙两种商品重量误差的中位数; ⑵ 计算甲种商品重量误差的样本方差; ⑶ 现从重量误差不低于 15 的乙种商品中随机抽取两件,求重量误差为 19 的商品被抽中的 概率
[来源:学科网 ZXXK]

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a 2 ?

1 , 2

且 [3 ? (?1) n ]an?2 ? 2an ? 2[(?1) n ? 1] ? 0 ,

(Ⅰ)求 a3 , a4 , a5 , a6 的值及数列 {an } 的通项公式; n? N* . (Ⅱ)设 bn ? a2 n?1 ? a2 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

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4

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知 ?BCD 中, ?BCD ? 90? , BC ? CD ? 1 , AB ⊥平面 BCD ,?ADB ? 60? , E 、 F 分 别 是 AC 、 AD 上 的 动 点 , 且 A

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) . AC AD (1)求证:不论 ? 为何值,总有平面 BEF ⊥平面 ABC ;
(2)求棱锥 A-BCD 的体积及全面积。

E C F

B

D

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ?x? ? x 2 ? b ln?x ? 1? ,其中 b ? 0 . (1)若 b ? ?12 ,求 f ?x ? 的单调递增区间; (2)如果函数 f ?x ? 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围;

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5

x2 y 2 ? ? 1 的上、下焦点分别为 M 、N ,点 P 为坐标平 12 16 ???? ???? ???? ??? ? ? ? 面内的动点,满足 | MN | ? | MP | ?MN ? NP ? 0 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 A(3, ?2) 作曲线 C2 的两条切线,切点分别为 H、I ,求直线 HI 的方程:
22. (本小题满分 14 分)已知椭圆 (3)在直线 l : x ? y ? 0 上否存在点 Q ,过该点作曲线 C 的两条切线,切点分别 为 B、C ,使得 | QB ? QC |?| QB ? QC | ,若存在,求出该点的坐标;若不存在,试说明理 由.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

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6

文科数学参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1—5 DCBCC 6—10 ABBCB 11—12 DD 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.[-3,2] 三、解答题。 14.9 15.

8n n ?1

16.②③。

3 a2 ? b2 ? c2 3 ? ?2分? 17. (Ⅰ)? a ? b ? c ? ab,? cosC ? 2 2ab 4
2 2 2

A ? B 1 ? cos ? A ? B ? 1 ? cos C 7 ? ? ? ?6分? 2 2 2 8 3 3 2 2 2 2 ? 2 (Ⅱ)? a ? b ? c ? ab, 且c ? 2, a ? b ? 4 ? ab, 2 2 3 2 2 又? a ? b ? 2ab,? ab ? 2ab ? 4,? ab ? 8?8分? 2 ? A ? B ? ? ? C ,? sin 2

3 7 ?3? ?10分? ? cosC ? ,? sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ? ? ? ? 4 4 ?4?
? S ?ABC ? 1 ab sin C ? 7 , 2

2

当且仅当 a ? b ? 2 2 时,△ABC 面积取最大值,最大值为 7 . (12 分) 18.解:⑴ 茎叶图如. 甲 9 9 0 5 4 4 4 3 1 0 1 1 2 乙 9 0 1 2 4 4 5 6 9 2 ??? 4 分 ???????? 2 分

甲,乙两种商品重量误差的中位数分别 为 13.5,14 ⑵ x ?

13 ? 15 ? 14 ? 14 ? 9 ? 14 ? 21 ? 11 ? 10 ? 9 ? 13 . 10 1 2 2 2 2 2 ∴ 甲种商品重量误差的样本方差为 [(13 ? 13) ? ?15 ? 13? ? ?14 ? 13? ? ?14 ? 13? ? ? 9 ? 13? 10
? ?14 ? 13? ? ? 21 ? 13? ? ?11 ? 13? ? ?10 ? 13? ? ? 9 ? 13? ] =11.6
2 2 2 2 2

?8 分

⑶ 设重量误差为 19 的乙种商品被抽中的事件为 A. 从重量误差不低于 15 的乙种商品中随机抽取两件共有(15,16),(15,19), (15,22),(16,19),(16,22),(19,22)6 个基本事件,????? 9 分 其中事件 A 含有(15,19),(16,19),(19,22)3 个基本事件??? 10 分

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7

3 1 ∴p(A)= = 6 2 19.解: (Ⅰ)经计算 a3 ? 3 , a 4 ?

????? 12 分

1 1 , a5 ? 5 , a 6 ? 。????2 分 4 8

当 n 为奇数时, an?2 ? an ? 2 ,即数列 {an } 的奇数项成等差数列,

? a2n?1 ? a1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ;
当 n 为偶数, a n ? 2 ?

1 ? a 2 n ? a 2 ? ( ) n ?1 2

1 a n ,即数列 {an } 的偶数项成等比数列, 2 1 ? ( )n . 2

? n ? n 因此,数列 {an } 的通项公式为 a n ? ? 1 2 ? ( ) ? 2
(Ⅱ)? bn ? (2n ? 1) ? ( ) ,
n

(n为奇数) (n为偶数)
. ?????6 分

1 2

? S n ? 1?

1 1 1 1 1 ? 3 ? ( ) 2 ? 5 ? ( ) 3 ? ? ? (2n ? 3) ? ( ) n ?1 ? (2n ? 1) ? ( ) n ??(1) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? ( ) 2 ? 3 ? ( ) 3 ? 5 ? ( ) 4 ? ? ? (2n ? 3) ? ( ) n ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 ?(2) 2 2 2 2 2 2


(1)(2)两式相减, 、

1 1 1 1 1 1 S n ? 1 ? ? 2[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 ? [1 ? ( ) n ?1 ] 3 1 1 1 2 ? ?2 ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 ? ? (2n ? 3) ? ( ) n ?1 . 1 2 2 2 2 1? 2 1 ? S n ? 3 ? (2n ? 3) ? ( ) n 。???????12 分 2 20. (1)证明:∵ AB ⊥平面 BCD
∴ AB ? CD 又在 ?BCD 中, ?BCD ? 90? ∴ BC ? CD 又 AB ? BC ? B ∴ CD ⊥平面 ABC 又在 ?ACD 中, E 、 F 分别是 AC 、 AD 上的动点, 且 ????.1 分 ????.2 分 ????.3 分

AE AF ? ?? AC AD
????.4 分 ????.5 分 ????.6 分

∴ EF // CD ∴ EF ⊥平面 ABC 又 EF ? 平面 BEF ∴不论 ? 为何值,总有平面 BEF ⊥平面 ABC .

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8

(2)解: 据已知,易求得: BD ? ∴棱锥 A-BCD 的体积 V ?

2 , AB ? 6 , AC ? 7 ,
????.9 分

1 1 6 ? ? 1? 1? 6 ? 3 2 6

棱锥 A-BCD 的全面积 S ?

1 1 1 1 ? 1? 1 ? ? 2 ? 6 ? ? 1? 6 ? ? 1? 7 2 2 2 2

?

1 6 7 ? 3? ? 2 2 2

????.12 分

21. 解:(1)由题意知, f ( x) 的定义域为 (?1, ??) ,
b ? ?12 时,由 f ?( x) ? 2 x ?
12 2 x2 ? 2 x ? 12 , ? ? 0 ,得 x ? 2 ( x ? ?3 舍去) x ?1 x ?1

当 x ? (?1,2) 时, f ?( x ) ? 0 ,当 x ? ?2,??? 时, f ?( x ) ? 0 , 所以当 x ? ?2,??? 时, f ( x) 单调递增。 (2)由题意 f ?( x) ? 2x ? ????????????6 分

b 2x2 ? 2x ? b ? ? 0 在 ( ?1, ?? ) 有两个不等实根, x ?1 x ?1

即 2 x 2 ? 2 x ? b ? 0 在 ( ?1, ?? ) 有两个不等实根, 设 g ( x) ? 2 x 2 ? 2 x ? b ,则 ?
1 ?? ? 4 ? 8b ? 0 ,解之得 0 ? b ? ???????????12 分 2 ? g (?1) ? 0

22. 解: (1)因为 M 、N 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的上、下焦点,所以 M (0, 2), N (0, ?2), 设 12 16

P( x, y) 。 ???? ? ???? ??? ? 所以 MN ? (0, ?4), MP ? ( x, y ? 2), NP ? ( x, y ? 2) ???? ???? ???? ??? ? ? ? 因为 | MN | ? | MP | ?MN ? NP ? 0
2 2 2 所以 4 ? x ? ( y ? 2) ? 4( y ? 2) ? 0 ,整理可得 x ? 8 y

所以所求动点 P 的轨迹 C 的方程为 x ? 8 y ???????????4 分 (2) (法一)设过点 A(3, ?2) 所作曲线的切线的斜率为 k ,则切线方程为 y ? kx ? 3k ? 2
2

由?

? x2 ? 8 y ? y ? kx ? 3k ? 2

可得: x ? 8kx ? 24k ? 16 ? 0
2

1 ? ? 64k 2 ? 96k ? 64 ? 32(2k 2 ? 3k ? 2) ? 0 ,所以 k ? ? 或 k ? 2 2 1 1 过点 A(3, ?2) 所作曲线的切线方程为 y ? ? x ? 和 y ? 2 x ? 8 2 2 2 ?x ? 8y ? x2 ? 8 y 1 ? 由? 和? 可分别解得: H (?2, ) 和 I (8,8) 1 1 2 ? y ? 2x ? 8 ?y ? ? x ? 2 x ? 所以直线 HI 的方程的方程为: 3x ? 4 y ? 8 ? 0 ???????????9 分 (法二)设过点 A(3, ?2) 所作曲线的两切线的切点为 H ( x1 , y1 ), I ( x2 , y2 ) ,
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x x2 则 f '( x ) ? , 4 8 2 x x x x 则两条切线的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) ? 1 x ? 1 ? 1 x ? 2 y1 4 4 4 4 即 : x1 x ? 4 y ? 4 y1 ? 0
则 x12 ? 8 y1 , x22 ? 8 y2 记 y ? f ( x) ?

x2 x x2 x ( x ? x2 ) ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 2 y2 4 4 4 4 即: x2 x ? 4 y ? 4 y2 ? 0 因为两条切线均经过点 A(3, ?2) ,所以 3x1 ? 4 y1 ? 8 ? 0 且 3x2 ? 4 y2 ? 8 ? 0 所以 直线 HI 的方程的方程为: 3x ? 4 y ? 8 ? 0 (3)若 Q 存在,不妨设其坐标为 (m, m) ,过 Q 点所作曲线 C 的切线斜率为 k , 则切线方程为 y ? m ? k ( x ? m) ,即 y ? kx ? m ? km
和 y ? y2 ? 由?

? x2 ? 8 y ? y ? kx ? m ? km

可得: x ? 8kx ? 8km ? 8m ? 0
2
2

因为直线和抛物线相切,所以 ? ? 64k ? 32km ? 32m ? 0

32m m ? 64 2 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? 因为 | QB ? QC |?| QB ? QC | 所以 QB ? QC ? 0 32m m ? ? ?1 所以 m ? ?2 所以 两条切线垂直 所以 k1k2 ? 64 2 所以 在直线 l : x ? y ? 0 上是存在点 Q(?2, ?2) 满足题意。 ???????????14 分
设两条切线的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1k2 ?

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