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5 定积分


§5.1
5.1.1 定积分问题举例 1.曲边梯形的面积

定积分的概念与性质

(1) 分割: 将区间[a, b]任意分为 n 个子区间,

? x1 ? x2 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? xn ? b, ?xi ? xi ? xi ?1 (i ? 1,2,? n). (2) 近似:任取?i

?[ xi ?1 , xi ], ?S i ? f (?i )?xi (i ? 1,2,?, n)
(3) 作和:

a ? x0 分点为:

S ? ? ?Si? ? f (? i )?xi
i ?1
i ?1

n

n

(4) 取极限:记 ?x

? max {?xi },
1?i ? n
i i

S ? lim

?x ?0

? f (? )?x
i ?1

n

2. 变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度 v ? v(t ) 是时间间隔 [a, b] 上的 连续函数, 且 v(t ) ? 0 , 计算在这段时间内物体所经过的路程. 若是匀速直线运动, 路程 = 速度 (1) 分割:

? 时间

a ? t0 ? t1 ? L ? ti ?1 ? ti ? L ? tn ? b, ?ti ? ti ? ti ?1 , (i ? 1,2, ?, n)
n

(2) 近似:任取? i
n

? [ti ?1 , ti ], ?si ? v(? i )?ti (i ? 1,2, ?, n)
? ? ?si ? ? v (? i ) ?ti
i ?1 i ?1 n
n

(3) 作和: s

S ? lim
i

f (?i )?xi ? ?x ?0
i ?1
i

(4) 取极限:记 ?t

? max {?ti }, s? lim
1?i ? n

?t ?0

? v(? )?t
i ?1

5.1.2

定积分的概念

1.定积分的定义 定义5.1.1 设函数 f (x) 在 [a , b] 上有定义,把 [a , b] 任意分 割成 n 个小区间:
n

a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? xn ? b,
任取
1?i ? n

?xi ? xi ? xi ?1 (i ? 1,2,?n);
作和
n

?i ?[ xi ?1 , xi ] (i ? 1,2,?, n)
i

? f (?i )?xi ; 记 ?x ? max{?x }, i ?1 若极限 lim ? f (? )?x 存在, 则称函数 f (x) 在[a,b]上可积, 此极限值为函数f (x)在[a,b]上的定积分. 记作: ? f ( x)dx
?x ?0 i ?1 i i

b

a



?

b

a

f ( x)dx ? lim

?x ?0

? f (? )?x
i i ?1

n

i

[a,b]—积分区间 b—积分上限 a—积分下限

2.定积分的几何意义 曲边梯形的面积

S ? lim

f (?i )?xi ? ?x ?0
i ?1

n

S ? ? f ( x)dx
a

b

——定积分的几何意义

注意 (1).函数 f (x) 在[a,b]上可积, 是指极限 lim 它与区间的分法及点的取法无关.

?x ?0

? f (? )?x 存在,
i i i ?1

n

(2). 定积分是一个数, 只取决于被积函数和积分区间,
与积分变量用什么记号无关.
b a

结论

? f ( x)dx? ? f (t )dt ? ? f (u)du (3). 规定: ? f ( x)dx ? ?? f ( x)dx ; ? f ( x)dx ? 0
a a a a a b a

b

b

b

1. 若函数 f (x) 在[a,b]上可积, 则 f (x) 在[a,b]上有界. 2. 若函数 f (x) 在[a,b]上连续, 则 f (x) 在[a,b]上可积. 3. 若函数 f (x) 在区间[a,b]上有界, 且只有有限个间断点, 则 f (x) 在[a,b]上可积.

例1. 利用定积分定义计算

?

1

0

x dx

2



?

n 1 i 1 ? ? 2 2 ? ? i f ( ? ) ? x ? ? ? x ? ? ? ? ? i i i i 3 n n ? ? i ? 1 n i ?1 i ?1 i ?1 1 n( n ? 1)( 2n ? 1) ? 3 n 6 n 1 1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 1 2 x dx? lim ? f (?i )?xi? lim 3 ? 0 n ?? n ?x ?0 6 3 i ?1
n

x dx存在. 0 把区间[0 , 1] n 等分, 分点为 xi ? i , n 取 ?i ? xi ? i , ?xi ? 1 , (i ? 1,2, ? , n ) n n
n
n 2

? f ( x) ? x ? C[0,1]
2

?

1

2

?

5.1.3 定积分的基本性质

(

性质1.

? kf ( x)dx ? k ?
a b a

b

b

a

f ( x)dx
b a

性质2.

? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ?
c

f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a

b

线 性 性 质

)

说明 可推广到有限多个函数代数和的情形.

性质3. 定积分关于积分区间具有可加性

?
?

b

a

f ( x)dx ?? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a c

b

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a c1 c2

c1

c2

b

证(1)若 a ? c ? b , 由几何意义知,

?a f ( x)dx? ?
(2)若

b

c

a

f ( x)dx? ? f ( x)dx
c b c

b

y

a ? b ? c , 由(1)知
c c

? ?

c

a b a

f ( x)dx ? ?a f ( x)dx ? ?b f ( x)dx f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a c a c b b

o a

c

b

x

其他情况类似可证.

性质4. 若

f ( x) ? 0, ?x ? [a, b],
b



推论1. 若
则 推论 2. 性质5.

f ( x) ? g ( x), ?x ?[a, b]
f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a b
a

?

b

a

f ( x)dx ? 0

(保号性)

? ?
b a

b

a b

(不等性)

a

f ( x)dx ? ? f ( x) dx (a ? b).
b a

? 1dx ?? dx ? b ? a ? kdx ?k (b ? a)
a b

性质6. 设 则

M ? max f ( x), m ? min f ( x),
x?[ a ,b ]
b

x?[ a ,b ]

m(b ? a) ? ? f ( x)dx ? M (b ? a) (估值定理)
a

性质7. (积分中值定理)

若函数 f (x) 在[a,b]上连续, 则至少存在一点 ? ? [a, b], 使
b 1 f (? ) ? f ( x)dx (a ? ? ? b) ? b?a a

证 设 f (x) 在[a,b]上取得最小值 m 与最大值 M, y
b 1 f ( x)dx ? M 由性质6知 m ? ? b?a a 由连续性介值定理知, ?? ? [a, b] , 使 b 1 f (? ) ? b?a ?a f ( x)dx

f (? )

y ? f ( x)



?

b

a

f ( x)dx ? f (? )(b ? a) (a ? ? ? b)

o a

?

bx

1 b f ( x)dx b?a ?a

-----平均值

例1. 估计积分值:

2

? (x
1

4

2

? 1)dx

f ( x) ? x ? 1 在 [1,4]上单调递增,最小、最大值分别为

m ? 2, M ? 42 ? 1 ? 17. 2(4 ? 1) ? ? ( x 2 ? 1)dx ? 17(4 ? 1)
1 4

所以

6 ? ? ( x 2 ? 1)dx ? 51
1

4

例2. 比较大小: (1).

? ? (2).? ln xdx, ? (ln x)
1

2

x dx,

2

2

1

x 3dx

2

2

2

1

1

dx

解(1)因为在[1, 2]上,
2 2 2 1 1

x ?x ,
2 3
3

? ? x dx ? ? x dx
(2)因为在[1, 2]上,
2 2 1 1

ln x ? (ln x) 2 ,
2

? ? ln xdx ? ? (ln x) dx

§5.2 微积分基本定理
5.2.1 积分上限函数 设函数 f (x) 在[a,b]上可积, ?x ? [a, b],

a

x

b

x

P( x) ? ? f (t )dt
a

x

(a ? x ? b)
x

—积分上限函数

定理5.2.1

如果函数 f (x) 在[a,b]上连续, 则函数

P( x) ? ? f (t )dt , x ? [a, b]
a

在[a,b]上可导, 且

P?( x) ? f ( x) , x ?[a, b]



?x, x ? ?x ? (a, b), P( x ? ?x) ? ?
x ? ?x x a

x ? ?x

a
x

f (t )dt

?P ? P( x ? ?x) ? P( x) ? ?

f (t )dt ? ? f (t )dt
a

? ? f (t )dt ? ?
a

x

x ? ?x

x

f (t )dt ? ?a f (t )dt

??

x ? ?x

x

f (t )dt ? f (? )?x,

(? 在 x 与 x ? ?x 之间)
?P ? f (? ), ? f ( x ) ? C[a, b], ?x ? 0 ? ? ? x ?x ?P P ' ( x) ? lim ? lim f (? ) ? lim f (? ) ? f ( x). 证毕. ?x ? 0 ?x ?x ?0 ? ?x

定理5.2.1 (原函数存在定理)
如果函数 f (x) 在[a,b]上连续, 则 P( x) ? 是 f (x) 在[a,b]上的一个原函数, 即

?a f (t )dt , x ?[a, b]
公式

x

[ ? f (t )dt]? ? f ( x)
a

x

例1 .

[? e dt]? ? e ,
x2
?2

x t2

[ ? cos2 tdt]? ? ? cos2 x
x

3

2 2 d x 2 sin t sin x sin x 2 dt 例2 . ? ?2 ? ( x )' ? 1 2 dx t x x

?

x2

1

sin t dt ? t

?

u

1

sin t 2 dt , u ? x t

说明: 变限积分求导公式:

[? f (t )dt]? ? f ( x)
a x

x

[ ? f (t )dt]?? ? f ( x)

b

[?

? ( x)

a

f (t )dt]?? f [? ( x)]? ? ?( x)

? ? ?? ( x ) ?

? ( x)

? ? a ? ( x ) ? ? ? f)] (t? )dt ?)? f (tx ))] dt ? (x ' (x ? f [? ? ' ( x) f (t )dt ? ? ?f?[ ? a ? ? ? ? ( x) ? f [ ? ( x)]? ' ( x) ? f [? ( x)]? ' ( x)

1 1 d x3 dt 3 2 ? ? ? ? ? ( x ) ? ( x ) 例3 . 2 ? 6 4 dx x 1 ? t 2 1? x 1? x 3x 2 2x ? ? 1 ? x6 1 ? x4 ? 0 0 ? sin t 2 dt ? 2 ? ?2 x ? 2 sin t dt ? sin( 2 x ) ? ( 2 x )' ? ? ? 2x ? lim ? lim 例4. lim 2 3 3 x ? 0 x ?0 x ?0 3 x x ( x )'

2 sin 4 x 2 2 4x2 8 ? ? lim ? ? lim 2 ? ? 2 3 x?0 x 3 x?0 x 3

5.2.2 牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式
定理5.2.2 设函数 f (x) 在[a,b]上连续, F(x)是f (x)的一个原函数, 则

? ?

b a

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
b

微积分学基本公式



f ( x)dx ? F ( x) a ? F (b) ? F (a)
F(x)是f (x)的一个原函数, P( x) ? ? f (t )dt
a x

也是 f (x)的一个原函数,所以

F ( x) ? P( x) ? c (a ? x ? b)
b

F (b) ? P(b) ? c, F (a) ? P(a) ? c F (b) ? F (a ) ? P(b) ? P(a) ? P(b) ? ? f (t )dt


?

b

a

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

证毕.

例1.

?

1

0

x 2 dx ? 1 x 3 ? 1 ? 0 ? 1
3
0

1

3

3

?1 dx ? (ln x ) ? 2 ? ln 1 ? ln 2 ? ? ln 2 例2. ? ?2 x 2 2 2 1 1 x 2 2 1 1 ? dx ? d ( 1 ? x ) dx 例3. ? ? ? 2 0 0 2 2 0 1 ? x2 1? x 1 ? x2

?1

? 1 ? x 2 ? 5 ?1
0

2

例4. .

? | 1 ? x | dx ? ? (1 ? x)dx ? ? ( x ? 1)dx
0 0 1

2

1

2

? ( x ? 1 x 2 ) ? ( 1 x 2 ? x) ? 1 ? 0 ? [0 ? (? 1 )] ? 1 2 2 2 1 2 0

1

2

? x2 , x ? 1 例5 .计算 ? f ( x )dx, 其中f ( x) ? ? 0 ? x ? 1, x ? 1
2



? f ( x)dx ? ? x dx ? ? ( x ?1)dx
2
0

2

1

2

0

1

1?1 ? 5 2 3 1 1 ? ? x ? [ x ? x] 3 2 6 3 0 2 1
例6 .求 F ( x ) ?

1

2

2t ? 1 dt ?0 t 2 ? t ? 1 在区间[0,1]上的最大值和最小值. 解 因为F ?( x) ? 2 x ? 1 ? 0, 所以F(x)在区间[0,1]上单增, 2 x ? x ?1 最大值为F(1), 最小值为F(0), 且 1 1 2 t ? 1 2 F (1) ? ? 2 dt ? ln(t ? t ? 1) ? ln 3, F(0)=0. 0 t ? t ?1 0
x

? x 2 , x ?[0,1) , 例7.设 f ( x) ? ? ? x, x ?[1,2]

x 0 x

0

x

1

x

2

? ( x) ? ? f (t )dt 在[0,2]上的表达式.
x 2

3 1 ? x ? ( x ) ? f ( t ) dt ? ? t dt 解. 当 x ? [0,1) 时, ?0 3 0

当 x ? [1,2] 时,
2 2 ? ( x) ? ? f (t )dt ? ? t dt ? ? t dt ? 1 ? 1 ( x ? 1) ? 1 x ? 1 3 2 2 6 0 0 1

x

1 2

x

所以

? 1 x3 , x ? [0,1) ? 3 ? ( x) ? ? 1 x 2 ? 1 , x ? [1,2] ?2 6 ?

§5.3 换元积分法和分部积分法
5.3.1 例
4

定积分的换元积分法

2 1 ? t ?1 2 t ?0 1 ? x ? ? dt ? 2?0 dt 1? t 01 ? t x?t 2 1 2 ? 2? (1 ? )dt ? 2(t ? ln | 1 ? t |) 0 ? 2(2 ? ln 3) 0 1? t 定理5.3.1 设函数 f ( x )在 [a , b] 上连续, 函数 x ? ? (t ) 满足: t) ? (t ) 在 [? , ? ] 上有连续导数 ? ?(,

dx

x ?t

2

2

(2) 当? ? t ? ? 时, 则有

a ? ? (t ) ? b,且 ? (? ) ? a,? ( ? ) ? b;
? ?

?

b

a

f ( x)dx ? ? f [? (t )]? ' (t )dt.

例1. 解 设

x?2 ?0 2 x ? 1dx. 2 t ?1 , dx ? tdt , 2 x ? 1 ? t, x ? 2 x : 0 ? 4; t : 1 ? 3.
4

?

4

0

t 2 ?1 ? 2 3 1 3 2 x?2 2 dx ? ? tdt ? ? (t ? 3)dt 1 t 2 1 2x ?1

22 1 t ? ( ? 3t ) ? 3 2 3 1

3

3

例2 计算 解 设

x ? a sin t (0 ? x ? a), dx ? a cos tdt ? x : 0 ? a, t : 0 ? . 2
a ? x dx ? ?
2 2

?

a

0

a ? x dx (a ? 0)
2 2

?

a

?

0

2 0

a ? a sin t ? a cos tdt
2 2 2

2 2 1 ? cos 2t 2 2 2 dt ? a ? cos tdt ? a ? 0 0 2 ? 2 2 2 ? a a 1 ? (t ? sin 2t ) ? 4 2 2 0

?

?

y

y ? a2 ? x2

o

a x

例3 计算 解 设

x ? tan t , dx ? sec2 tdt
3 2

?

1

0

(1 ? x 2 )

?

3 2

dx

x : 0 ? 1; t : 0 ? ? 4

?

1

0

(1 ? x 2 )

?

dx ? ? 4 (1 ? tan 2 t )
0

?

?

3 2

sec 2 tdt

? ? cos tdt ? sin t 4 0
4 0

?

?

注意 (1).代换 x ? ? (t ) 必须单值且有连续导数; (2).换元的同时,必须换积分限; (3).积分后不必还原,只要把新的积分限代入即可.

2 ? 2

例4.证明若
证 ?

f ( x) 为偶函数, 则有 ? f ( x)dx ? 2? f ( x)dx
?a 0

a

a

?

a

?a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
?a 0

0

a

结论
a

?

0

?a

f ( x )dx

x??t

? ?a
a 0

0

f (?t )d (?t ) ? ? ?a f (t )dt ? ?0 f (t )dt
a

0

? ? f ( x)dx
所以,

?

a

?a

f ( x)dx ? 2? f ( x )dx.
0

结论

同理 若 f ( x) 为奇函数, 则 例如,

?

a

?a

f ( x)dx ? 0.

?

2

?2

x sin xdx ? 0.
5 4

? xe , x ? 0, ? 4 例5.设 函数 f ( x) ? ? 1 计算 ? f ( x ? 2)dx. 1 , - 1 ? x ? 0, ? ?1?cosx
? x2

解 设 x ? 2 ? t,

dx ? dt , x : 1 ? 4; t : ?1 ? 2. 0 2 2 4 dt ?t 2 ? ? ? te dt ? f ( t ) dt f ( x ? 2 ) dx ? ? ?1 ? 1 ?1 1 ? cos t 0
0

1 ?t 2 t 1 2 ?t 2 2 ? e ?? ? ? e d ( ?t ) ? tan ?1 2 2 0 2 2 t ? 1 2 cos 2 1 1 ?4 1 ? tan ? e ? . 2 2 2

dt

0

2

0

5.3.2 定积分的分部积分法
定理 设函数 u( x ), v( x ) 在 [ a , b]上有连续导数,则

?


b

a

udv ? (uv) a ? ? vdu.
b a
b

b

定积分的分部积分公式

? (uv)' ? u' v ? uv'.

(uv ) a ?
b a b

b

? (uv)'dx ? ?a vu' dx ? ?a uv' dx.
a

b

b

? uv' dx ? (uv) ? ? vu' dx, ? udv ? (uv) ? ? vdu.
b a a
b b a a a

b

定积分的分部积分公式的适用范围及使用方法与不定积分类同 .

例1. 计算 解
1 0

? arctanxdx ? ( x arctan x) ? ? xd arctanx x ? 1 ? ? ? 1 dx ? ? ln(1 ? x ) ? ? ln 2. ? ? 1? x 4 2 4 4 2
1 0

? arctanxdx.
0
1 0 2

1

1

0

2 1

0

例2. 计算 解令

?e
0

1

x

dx.
2

x ? t, x ? t , dx ? 2tdt, x : 0 ? 1, t : 0 ? 1.
x

?e
0

1

dx ? 2? te dt ? 2?0 td (e ) ? 2(te ) ? 2? e dt 0
t
t

1

1

t

1

1

t

0

0

? 2e ? 2e

t 1 0

? 2.

例3. 计算 解

?

?

?

?

2 0

e x sin xdx
?
?

2 0

e sin xdx ? ? sin xde ? e sin x ? ? e d sin x
x 2 0 x
x 2 0

?

2 0

x

? ? ? ? x x 2 2 ? 2 cos xde x ? e 2 ? ?e cos x 2 ? e d cos x ? ? e ?0 ? 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 x 2 ? ? 1 ? 2 e x sin xdx 2 ?e ? ? ? e ? 1 ? ?0 e sin xdx ? 0 ? ? ? ? 1 2 2 x ? ? e sin xdx ? (e ? 1) 0 2

?

?

?

§5.4
5.4.1 平面图形的面积

定积分的应用

1. f ( x ) ? 0,
S ? ? f ( x)dx
a b

y

y ? f ( x)

2. f ( x ) ? 0,
b a

y
o

a

b x

S
a
b

S ? ?? f ( x)dx
x

S
y ? f ( x)

o

3. f ( x) 正、负号不定.

S?

?

c1

a

f ( x)dx? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
c1 c2

c2

b

4. x ? ? ( y ) ? 0 S ? ? ? ( y )dy
c d

5.

X---型 区域

Y---型 区域

S ? ? [ g ( x) ? f ( x)]dx
a

b

S ? ? [? ( y) ? ? ( y)]dy
c

d

例1.计算 解

S ? ? sin xdx ? (? cos x) 0
2 2

?

y ? sin x 在 [0, ? ] 上与x 轴所围成的平面图形的面积
?
0

? ?( ?1) ? 1 ? 2
y

x y ? ? 1 所围图形的面积. 例2. 求椭圆 2 2 a b 解 设椭圆在第一象限部分的面积为 S1
则整个椭圆的面积为 其中

y ? sin x

S

y ? b a2 ? x2 a a a 2 2 b ? 4 a ? x dx ? S ? 4? ydx ? 0a 0 a 2 2 4 b ? a ? x dx ? ?ab ? a 0

S ? 4S1 ? 4? ydx
0

a

o

?

x

2 例3. 计算由 y

? x, y ? x

2

所围成图形的面积.

y 解方程组 ? ?
1

? x 得交点 (0, 0) 和 (1, 1) 2 y ? x ? 取 x 为积分变量,积分区间为[0,1],
2

解 画草图.

y
y2 ? x

(1,1)
y ? x2

S ? ? ( x ? x 2 )dx
0

o

1

x

? (2 3
1

3 x2

积分区间为[0,1], 另解. 取 y 为积分变量,

1 3 1 ? x ) ? 3 3 0
2

1

2 ? ( S ? ? ( y ? y )dy 3 0

3 y2

1 3 1 ? y ) ? 3 3 0

1

例4 计算抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围成图形的面积. 解. 画草图. ? y 2 ? 2x 由? 得交点 (2, ? 2), (8, 4) ?y ? x ? 4 取x为积分变量, 积分区间为[0, 8]. 所求面积为: S

y
4 y 2 ? 2x

y ? x?4

(8,4)

? ? [ 2 x ? (? 2 x )]dx

2

o

? ? [ 2 x ? ( x ? 4)]dx
2

0 8

-2 -4

(2,?2)

x

取y 为积分变量, 积分区间为[-2, 4].
4

y y 1 2 S ? ? ( y ? 4 ? y )dy ? ( ? 4 y ? ) ? 18 ?2 2 6 ?2 2

2

3

4

5.4.2 立体的体积
1、平行截面面积为已知的立体的体积 设一立体介于过点 x = a , x = b 且垂直于 x 轴的两平面之间, 过任意点

x ? [a, b] 且垂直于 x 轴的截面面积 A(x) 为 x 的
A(x)

连续函数,求该立体的体积. 取 x 为积分变量, 积分区间为 [a, b], 所求体积为:

V ? ? A( x)dx
a

b

o a

x

b

x

2、旋转体的体积
旋转体: 就是由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周 而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 圆柱体、 圆台体、 圆锥体 球体

都是旋转体.

1. 求由 y ? f ( x), x ? a, x ? b, y ? 0 围成的曲边梯形,
绕 x 轴旋转一周而成的立体的体积V.

A( x) ? ?y ? ? [ f ( x)]
2

2

y

y ? f ( x)
A( x)
x

取 x 为积分变量, 积分区间为 [a, b],

o a

b

x

Vx ? ? ? y dx ? ? ? [ f ( x)]2 dx
2 a a

b

b

2. 由

x ? ? ( y ), y ? c, y ? d , x ? 0 围成的曲边梯形, 绕 y 轴旋转一周

y

d
x ? ? ( y)

而成的立体的体积为:

Vy ? ? ? [? ( y)] dy
2 c

d

c o

x

x2 y2 例1. 计算由椭圆 2 ? 2 ? 1 分别绕 x 轴与 y 轴旋转产生 a b
的旋转体 (旋转椭球体) 的体积. 解 由对称性知,所求体积为:
2 b 2 Vx ? 2? ?y dx ? 2? ? 2 (a 2 ? x 2 )dx 0 0 a 2 b 1 3 a 4 2 ? 2? 2 (a x ? x ) ? ?ab 2 0 3 a 3

y
b
O

2 2 y?b a ? x a

a

a

a x
x ? a b2 ? y 2 b

同理

2 4 2 a 2 2 2 Vy ? 2? ?x dy ? 2? ? 2 (b ? y )dy ? ?a b 0 b 0 3 4 3 a=b 时, 得半径为 a 的球体的体积: V ? ?a 3

b

b

例2. 求圆形 x ? ( y ? 5) ? 16 绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积. 习题33(4) 解. 所求体积为: y 2
2 2

Vx ? ? ? [ y2 ( x)] dx? ? ? [ y1 ( x)] dx
2

4

4

2

y2 ? 5 ? 16 ? x

?4 4

?4

? ? ? (5 ? 16 ? x ) dx
2 2 ?4

5 1 o
y1 ? 5 ? 16 ? x 2

? ? ? (5 ? 16 ? x ) dx
2 2 ?4 4 ?4

4

-4

4

x

? ? ? [(5 ? 16 ? x 2 ) 2 ? (5 ? 16 ? x 2 ) 2 ]dx

? 20? ? 16 ? x dx ? 40? ? 16 ? x dx? 160?
2 2 ?4 0

4

4

2

例3. 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成

角? , 计算这平面截圆柱体所得立体的体积. (习题35)
解 取平面与圆柱体的底面的交线为 x 轴,底面上过圆中心 2 2 2 且垂直于 x 轴的直线为 y 轴,则底圆的方程为 x ? y ? R 立体中过点 x 且垂直于 x 轴的截面是一个直角三角形, 两条直角边的长分别为: R 2 ? x 2 , R 2 ? x 2 tan?

1 2 ?V ? ? ( R ? x 2 ) tan ? dx ?R 2 1 1 3 R 2 3 2 ? R tan ? ? tan? ( R x ? x ) ?R 3 2 3
R

1 2 截面面积 A( x) ? ( R ? x 2 ) tan ? 2

?R

o

α

x
R

α

y
x2 ? y2 ? R2

x

5.4.3

经济应用问题举例
边际成本:
x

总成本函数: C ( x) ? C1 ? C2 ( x) 边际成本:

C ?( x)

C ?( x)

总成本函数:

C ( x) ? ?0 C?(t )dt ? C (0) (其中C (0) ? C1 )
x

总收益:

R( x)

边际收益:
总收益:

R?( x)

R?( x) 总利润: L ( x )
边际收益: 边际利润:

L?( x)

R ( x) ? ?0 R?(t )dt 边际利润: L?( x) x 总利润: L ( x ) ? ? L?(t )dt ? C (0)
0

? R( x) ? C ( x)

例1 已知某产品总产量的变化率是时间 t (单位:年)的函数

f (t ) ? 2t ? 5

求第一个五年和第二个五年的总产量各为多少? 设总产量是 F ( t ) ,是变化率 f ( t ) 的原函数,所以第一 解: 个五年和第二个五年的总产量分别为

t ?0

F (5) ? F (0) ??0 f (t )dt ? ?0 (2t ? 5)dt ? (t ? 5t ) ? 50
2 0

5

5

5

F (10) ? F (5) ?? f (t )dt ? ? (2t ? 5)dt ? (t ? 5t ) ? 100
2
5 5

10

10

10 5

例2、某商品日产量为x单位时,固定成本为20元,边际成本为 C ?( x) ? 0.4 x ? 2(元/单位),求总成本函数C ( x). 若销价为 18 元/单位,且产品可全部销出,求总利润函数 L( x),并问日产 量为多少时才能获得最大利润 。

解:

C ( x) ? ?0 C?(t )dt ? C (0) ? ? (0.4t ? 2)dt ? C (0)
0

x

x

2 ? 0 . 2 x ? 2 x ? 20 ? (0.2t ? 2t ) ? 20

2

x

R( x) ? 18 x 2 所以 L( x) ? R( x) ? C ( x) ? ?0.2 x ? 16 x ? 20 由 L?( x) ? ?0.4 x ? 16 ? 0 得 x ? 40 而 L??(40) ? ?0.4 ? 0,
又总收益 所以日产量为40单位时才能获得最大利润 , 最大利润为

0

L(40) ? ?0.2 ? 40 ? 16 ? 40 ? 20 ? 300(元)
2

§5.5
5.5.1 无穷限广义积分

广义积分

定义5.5.1 设函数 且 ?b

f ( x ) 在无穷区间 [a,??) 上有定义,

? a, 函数 f ( x ) 在区间 [a, b] 上可积, 若极限 b lim ? f ( x )dx
b? ?? a

存在, 则称此极限值为函数
??

f ( x ) 在无穷区间 [a,??)

上的广义积分. 即
??

记作:

? f ( x)dx
a

? f ( x)dx ? lim ? f ( x)dx 这时也称广义积分 f ( x )dx 收敛, 否则发散. ?
a b??? a
?? a

b

类似可定义, 设函数

f ( x ) 在无穷区间 ( ??, b]上有定义,

?
设函数

b

??

f ( x )dx ? lim ? f ( x)dx
a??? a

b

f ( x ) 在无穷区间 ( ??,??) 上有定义,
?? ??

?

f ( x )dx ? ?

c

??

f ( x)dx ? ?

??

c

f ( x)dx

其中 c ? (??,??) 为常数(通常取c = 0). 左端的广义积分收敛 右端两个广义积分都收敛

例1.计算 解

?

??

?

??

0

e ? x dx
b ?x ?x b 0

y
b???

0

e dx ? lim (?e e dx ? blim ? ??? 0
?x

)

?x y ? e 1

? lim (1 ? e ) ? 1.
b ???

?b

A
o x

1 dx 例2.计算 ?? ? 2 1? x ?? 0 1 1 解 ?? 1 ??? 1 ? x 2 dx ? ??? 1 ? x 2 dx ? ?0 1 ? x 2 dx 0 b 1 1 ? lim ? dx ? lim ? dx 2 2 a ? ?? a 1 ? x b? ?? 0 1 ? x ? ? ? lim [ ? arctan a ] ? lim arctan b ? ?( ? ) ? ? ? a ? ?? b? ??
??

2

2

例3. 讨论广义积分
解 当

?

??

1

p ? 1 时, ?

??

1

当p

?

??

1

? 1 时, 1? p b 1? p b 1 1 x b ?1 dx ? lim dx ? lim ? lim p p ? 1 b ? ?? b ? ?? x x 1 ? p 1 b??? 1 ? p ? ? ?, p ? 1

1 dx 敛散性. p x b1 b 1 ? ?? . ? lim ln x ? lim dx dx 1 1 x b ? ?? ? b??? xp

综上可知,

? ?? 1 , p ?1 p ? 1 ? ? 当 p ? 1 时,发散, ?? 1 ?1 x p dx 当 p ? 1 时,收敛于 1 . p ?1

结论



f ( x ) 在 [a,??) 上连续, F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数,

若记

F (??) ? lim F ( x) ;
x? ??

则有类似牛 —— 莱公式的计算表达式:

?a

??

f ( x ) dx ? F ( x)

? F (??) ? F (a) ? F (b) ? F (??) ? F (??) ? F (??)

同样地:

??? f ( x) dx ? F ( x) ??? f ( x) dx ? F ( x)
其中 F ( ??) ?
x ? ??

b

??

lim F ( x)

例4. 计算 解
0

?

0

??

xe

? x2

dx
2
2

?x 1 e ? x d (? x 2 ) ? ( ? 1 e ? x ) ? ? xe dx ??? 2 ??? 2 ?? ? ? 1 (1 ? 0) ? ? 1 . 2 2
2

0

0

无穷限广义积分也有换元积分法和分部积分法. 例5. 计算


?2

??

dx x x ?1

?2

??

?? dx x ?1 ? t ?? 2tdt ? ? 2 arctan t ? ? ?1 1 2 x x ?1 (t 2 ? 1) ? t

例6 求


?0

?? ? x

e sin xdx.
?? ? x 0

?0

?? ? x

e sin xdx ? ?? e d cos x
?x ?? 0

? ? e cos x
?x

? ? cos xde
0

??

?x

?1 ??
?x

?? ? x

0

e d sin x

? 1 ? [e sin x
?? ? x 0

?? 0

? ? sin xde
0

??

]

? 1 ? ? e sin xdx
所以

?0

?? ? x

1 e sin xdx ? 2

5.5.2

无界函数的广义积分

瑕积分

(b为瑕点)
x ?b

定义5.5.3

设函数
函数

且 lim f ( x ) ? ?, f ( x ) 在 [ a, b)上有定义, ?
b ??

?? ? 0,

若极限 f ( x )在区间 [a, b ? ? ] 上可积,
a

? ?0

lim ? ?

f ( x)dx
f ( x ) 在 [ a, b) 上的广义积分,

存在, 称该极限值为函数 记作: 即

?

b

a

f ( x )dx

?

b

a

f ( x)dx ? lim ? ?
? ?0

b ??

a

f ( x)dx

这时也称广义积分

?

b

a

f ( x )dx 收敛,否则发散.

类似可定义,
设函数

f ( x ) 在 ( a, b]有定义,且 lim? f ( x ) ? ?,
x?a

?
设函数 f

b

a

f ( x )dx ? lim ? ?
? ?0

b

a ??

f ( x)dx
x ?c

lim f ( x ) ? ?, ( x ) 在 [a , b]上除点 c(a ? c ? b)有定义,
b

?

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

c

b

左端的广义积分收敛

右端两个广义积分都收敛

例1. 计算广义积分 解: 因
所以

?

a

dx a2 ? x2

0

(a ? 0)

x ?a

lim?
a

1
2 2

? ?
0

0

a ?x a ?? a ? ? ? dx dx x ? . ? lim arcsin ? lim 2 2 2 2 ? ?0 ? ? ?0? ?0 2 a0 a ?x a ?x

? ??

另解:
a

dx a2 ? x2

? lim ?

u

u ?a 0

x ? ? lim? arcsin ? . 2 2 u ?a a0 2 a ?x

dx

u

dx 例2. 讨论广义积分 ? 的敛散性. 2 ?1 x 1 1 解 f ( x) ? 在 [?1,1]上除点 x ? 0 外连续, 且 lim 2 ? ?? 2 x ?0 x x 0 dx 1 dx 1 dx ??1 x 2 ? ??1 x 2 ? ?0 x 2 ?? 0?? dx 0 dx 1 1 ? ? ? lim ? ?? ? lim? (? ) ? lim 因? ? 1 2 ? ? 2 ? ?1 x ? ?0 ?1 x ? ?0 x -1 ? ?0 ? ?? ? ?
1

所以,原广义积分发散.
1

0 dx 1 dx dx 另解: ??1 x 2 ? ??1 x 2 ? ?0 x 2 0 dx 1 0 ? (? ) ? ?? 所以,原广义积分发散. 因? 2 ?1 x x -1

1 例3.讨论广义积分 ? p dx ( p ? 0) 的敛散性. 0 x 11 11 1 dx ? lim 解. 当 p ? 1 时, ln x ? ?? ? ? ? ? ?0 xdx ? ?lim ? ?0 ? ?0 x
1



p ? 1 时, 1? p 1 1 1 1 1 ?1 ? ? 1? p ? x dx ? lim? ? lim ? ? p ? ? ?0 x p dx ? ?lim ?0 ? x ? ?0 1 ? p ? ?0? ? 1? p ? ε

1 ; ? 1? p ?1 p ?? ? ? ?, p ? 1
1 0

综上可知,

?

1 dx p x

1 ? 当 p ? 1 时,收敛于 1 ? p ; 结论 ? p ?1 时,发散. ?当

例5. 计算 解

?

2

1

dx x x ?1

令 x ?1 ? t, 则 x ? 1 是瑕点,
2 1 1 2t dx 1 ?? 2 dt ? 2? 2 dt 0 t ?1 x x ? 1 0 t (t ? 1)

?

1

? 2arctan t 0 ? 2 ?
1

?
4

?

?
2

.

P8

5.5.3

? 函数和 ? 函数
广义积分 ?(r ) ?

定义5.5.4

?0

??

x

r ?1 ? x

e dx (r ? 0)

是参变量 r 的函数,称为 性质:(1)

?函数.

?(r ? 1) ? r?(r ) (r ? 0) (3) ?( 1 ) ? ? 2 (2) ?(n ? 1) ? n! (n为正整数)
?x ? ? x de ?(r ? 1) ? ? x e dx ? 0 0 ?? r ?1 ? x r ?x ? ? ??x e ? r?(r ) ? rx e dx ? 0 0 ?? r ? x ?? r

证:(1)

(2) 注意到: ?(1) ?

?0

?? ? x

e dx ? 1 ?? n ? N, 有

?(n ? 1) ? n ?(n) ? n (n ? 1) ?(n ? 1) ? ? ? n!?(1)

? ( 6) 5! 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 例1 ? ? ? 30 2?(3) 2 ? 2! 2 ? 2 ?1 ?( 2.5) 1.5 ? ?(1.5) 1.5 ? 0.5 ? ?(0.5) 例2 ? ? ? 0.75 ? ( 0 .5 ) ?(0.5) ?(0.5)
例3

?

??

0

x3e? x dx ? ? (4) ? 3! ? 6

?r r ?1 ??x 例4 求 ? x e dx (r ? 0, ? ? 0) 0 ? (r ) r y ? ? x ?r ?? ? 1 ?? y r ?1 ? y r ?1 ??x 解 ? x e dx ? ? ? ( ) e dy 0 ? (r ) ? (r ) ? 0 ? ?r ?1 ?? 1 r ?1 ? y ? ? (r ) ? 1 ? y e dy r ? 1 ? ? (r ) ? (r ) 0 ?
??


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