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高三第一轮复习数学---二次函数(2)


人教版高三第一轮复习数学教案

孟繁露

高三第一轮复习数学---二次函数(2)
一、教学目标:能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件;能求二次函数的区间
最值.

二、教学重点:
1.二次函数的图象与性质、二次函数、二次方程与二次不等式的关系是重点, 2.二次函数最值问题、一元二次方程根的分布及二次函数的图象性质灵活应用是难点。

三、教学过程:
(一)主要知识: 1 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a ? 0)在给定区间 ?m, n ? 上的值域

?1?

若 a ? 0 , 1. 当 ?

b ? m 时 . y ? ? f ?n?, f ?m?? 2a

2. 当 ?

b ?n 2a

时. y ? ? f ?m?, f ?n??. 3. 当 m ? ?

b ? ? b ? ? ? n 时 . y ? ? f ? ? ?, max? f ?m?, f ?n??? 在 比 较 2a ? ? 2a ? ?

f ?m?, f ?n ?的大小时亦可以 m, n 与对称轴的距离而比较。

?2? 若 a ? 0,可得类似的结论。
但无论如何 f ?x ? 的最值必在 f ?m ?, f ?n ?, f ? ? ? 中取到 y ? 2ay ?

?

b ?

y

m

b ? n o 2a

x

?

b 2a

m

o n

x

b ? m 2ao

n

x

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2 一元二次方程根的分布条件 根 的 分 布

孟繁露

X1<x2<k

k < X1<x2

X1 <k<x2

X1, x2∈(k1,k2)

X1、x2 有且仅有一 (k1,k2)内

图 象

充 要 条 件

? ? ??0 ? ? f (k ) ? 0 ? b ? ?k ? ? 2a

? ? ??0 ? ? f (k ) ? 0 ? b ? ?k ? ? 2a

f (k ) ? 0

??0 ? ? f (k ) ? 0 1 ? ? f (k 2 ) ? 0 ? b ? k1 ? ? ? k2 2a ?

f ( k1 ) ? f ( k 2 ) ?

f ( k1 ) ? 0 ? ? ? k ? ? b ? k1 1 ? 2a ? f (k 2 ) ? 0 ? ? k ? k b ? 1 2 ? ? ? 2a ? 2

(二)主要方法: 1.讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;②函数在此区间上的 单调性; 2.讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端点的函 数值的符号;③对称轴与区间的相对位置 (三)例题分析: 例 1 已知函数 f(x)= - x2+2ax+1-a 在 0≤x≤1 时有最大值 2,求 a 的值。 思维分析:一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论 解:f(x)= -(x-a)2+a2-a+1(0≤x≤1),对称轴 x=a 10 a<0 时, f ( x)max ? f (0) ? 1 ? a ? 2 ?a ? ?1

y

y
1

y

a 0

x

0 a1

x

0

1a

x

2 0≤a≤1 时 f ( x) max ? f (a) ? a ? a ? 1 ? 2得a ?
0

2

1? 5 (舍) 2

30 a>1 时, f ( x) max ? f (1) ? a ? 2 ? a ? 2 综上所述:a= - 1 或 a=2
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点评:移动对称轴结合图象解题。

孟繁露

讨论 1(变式)已知 y=f(x)=x2-2x+3,当 x∈[t,t+1]时,求函数的最大值函数 g ?t ? 和最小值函数

h?t ? 。并求 h?t ? 的最小值。
解:? y ? ?x ? 1? ? 2
2

?当 x ? 1 ? t

即t ?1 时, ymax ? t 2 ? 2, ymin ? t 2 ? 2t ? 3 同样地

1 ? t ? 1时, y m a x? t 2 ? 2, y m i n? 2 2 1 0 ? t ? 时, y max ? t 2 ? 2t ? 3, y min ? 2 2

t ? 0时, ymax ? t 2 ? 2t ? 3, ymin ? t 2 ? 2
?2 1? ? ?t ? 2t ? 3? t ? 2 ? ? ? ? ?t 2 ? 2t ? 3?t ? 1? ?2 1 ? ? ? h?x ? ? ?2?0 ? t ? 1? 所以: g ? x ? ? ?t ? 2? t ? ? 2? ? ? ?t 2 ? 2?t ? 0? ? ? ? ?
作 h?x ? 的图象可得 0 ? t ? 1 时 h?x ? 取最小值 2。 点评:移动区间找出与对称轴的相对位置考虑问题,常用图象法求分段函数的最值。 2.一元二次方程根的分布(知识点可参阅复习用书 P22 列表)

例 2.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的取值范 围。 (2)若方程两根在区间(0,1)内,求 m 的范围。 思维分析:一般需从三个方面考虑①判别式Δ ②区间端点函数值的正负③对称轴 x ? ? 区间相对位置。 解: 设 f(x)=x2+2mx+2m+1 (1) 由 题 意 画 出 示 意 图

b 与 2a

y

-1

0

1

2

x

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y

? f ( 0) ? 2 m ? 1 ? 0 5 1 ? ? ? f (?1) ? 2 ? 0 ? ? ? m ? ? 6 2 ? f (1)6m ? 5 ? 0 ?

( 2 )
0 1 x

? ??0 ? f (0) ? 0 1 ? ?? ? ? ? m ? 1? 2 2 ? f (1) ? 0 ? ?0 ? ?m ? 1

讨论 2: (考例 3)方程 x ?
2

3 x ? k 在(- 1,1)上有实根,求 k 的取值范围。 2

解法一: (1)方程 x ?
2

3 x ? k ? 0 在(- 1,1)上有两实根, 2

?? ? 0 ? f ?1? ? 0 ? 9 1 ? 则 ? f ?? 1? ? 0 ?? ?k?? , 16 2 ? b ?? 1 ? ? ?1 ? 2a ? 3 2 或(2)方程 x ? x ? k ? 0 在(- 1,1)上有一实根, 2
则 f ?1? ? f ?? 1? ? 0 或 ?

? f ?? 1? ? 0 ? f ?1? ? 0 1 5 或? 得? ? k ? 2 2 ? f ?1? ? 0 ? f ?? 1? ? 0

综上; k ? ??

? 9 5? , ?。 ? 16 2 ?

解法二:? 对称轴 x ?

?? ? 0 3 9 5 ? ?? 1,1? 为已知,? 只需 ? 即 k ? [? , ) 4 16 2 ? f ?? 1? ? 0
2

解法三:最宜采用函数思想,求 f ( x) ? x ?

3 x(?1 ? x ? 1) 的值域。 2

k ? [?

9 5 , ) 16 2

点评:充分利用二次式中的已知系数会使问题变得很简单。这一点要十分的重视。 3.利用二次函数解数学应用问题 例 4 某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出,当每辆车 的月租金每增加 50 元时,未租的车将会增加一辆,租出的车每辆需要维护费 150 元,未租 的车每辆每月需要维护费 50 元, (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 思维分析:应用问题的数学建模,识模—建模—解模—验模 解: (1) 当每辆车的月租金定为 3600 元时, 未租出的车辆数为 辆。
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3600 ? 3000 ? 12 ∴租出 100-12=88 50

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( 2 ) 设 每 辆 车 的 月 租 金 定 为 x

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元 , 则 租 赁 公 司 的 月 收 益 为

y ? (100 ?

x ? 3000 x ? 300 )( x ? 150 ) ? ? 50 50 50
理 :



y??

x2 1 ? 162x ? 2100 ? ? ( x ? 4 50 50

) 2 ? 30

05

70

? x ? 4050 时, ymax ? 307050
答:每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大 307050 元。 (四)巩固练习: 1(1)设 x, y 是关于 m 的方程 m ? 2am ? a ? 6 ? 0 的两个实根,则 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 的
2

最小值是 (A) ?

( (B)18 (C)8 (D)



49 4

3 4

(2) 若函数 f ( x) ? loga ( x 2 ? ax ? 3) 在区间 (?? , ] 上为减函数, 则 a 的取值范围为 ( ) (A) (0,1)
2

a 2

(B)( 1,??)

(C) (1,2 3)

(D) (0,1) ? (1,2 3)

(3)方程 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根均大于 1,则实数 a 的取值范围是_____。 2、已知函数 f ( x) ? 4x 2 ? 4ax ? a 2 ? 2a ? 2 在区间[0,2]上有最小值 3,求 a 的值。 3、不等式 x ? 2 x ? a ? a ? 2 ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。
4 2 2

4、设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? b ? c), f (1) ? 0, g ( x) ? ax ? b (1) 求证:函数 f ( x) 与 g ( x) 图像有两个交点; (2) 设 f ( x) 与 g ( x) 图像交于 A,B 两点,A,B 在 x 轴上射影为 A1,B1,求 A1 B1 的取 值范围; (3) 求证:当 x ? ? 3 时,恒有 f ( x) ? g ( x) 答案:1 (1)C (2)C (3)? 2,

? 5? ? ? 2?

2、1 ? 2或5 ? 10

3、a ? 2或a ? ?1

4(2) ?

?3 ? ,2 3? ?2 ?

四、小结:
1 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象形状、对称轴、开口方向等是处理二次函数问题的重 要依据。 2.二次函数在闭区间上,必有最大值和最小值,当含有参数时,须对参数分区间讨论。
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3.二次方程根的分布问题,可借助二次函数图象列不等式组求解。 4.三个二次问题(二次函数、二次方程、二次不等式)是中学数学中基础问题,以函数为 核心,三者密切相连。

五、作业:

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