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1.7定积分的简单应用 (2)


一、复习
1.平面图形的面积:
y

y ? f ( x)

y

y ? f2 ( x)

A
o

A
b x
o

y ? f1 ( x )
b x

a
b

a
b

A ? ?a f ( x )dx

A ? ?a [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx
b a

2.微积分基本定理: [其中F?(x)=f(x)]

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) | ? F (b) ? F (a)

3.定积分

?

b

a

f ( x)dx 的几何意义:
b a

当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、
b

y

x?a、x?b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 ?? ? f (x)dx =s
y
a

c

a

y?f ( x)

O a y?f ( x)

bx

O

a

b
b a

x

当f(x)?0时 积分 ? f (x)dx 在几何上表示 由y?f (x)、x?a、

x?b与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值

?a

b

f (x)dx ?? ?S ?

a

1.7定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
几种典型的平面图形面积的计算:

类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)
及x轴所围成平面图形的面积S

y

y ? f ( x)

y
x

y ? f ( x)

o

a

b

oa
(2)

c
(3)

b

x

(1)

(1) S ? ? f ( x)dx
a

b

(2) S ? ?? f ( x)dx
a

b

(3) S ?| ? f ( x)dx | ? ? f ( x)dx ? ?? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a c a c

c

b

c

b

类型2:由两条曲线y=f(x)和y=g(x),直线 x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S
y ? f ( x)
y ? g ( x)

y

y ? f ( x)

o

a
y ? g ( x)

b x
(2)

(1)

总结: 当 x∈[a, b]有 f(x)>g(x)时, 由直线 x=a, x=b(a≠b) 和曲线 y=f(x),y=g(x)围成的平面图形的面积 S=

?

f ? x ? ? g ? x ?? dx ? ? ? . a

b

注:

两曲线围成的平面图形的面积的计算

例 1. 计算由两条抛物线 y

2

? x 和 y ? x 围成图形的面积.
2

解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
? ?x ? 0 ?x ? 1 ?y ? x 解方程组? ?? 或? 2 ? ?y ? 0 ?y ?1 ?y ? x

y

y
C o O

2 y ? ? xx B

即两曲线的交点为(0,0),(1,1)

y ? x2

S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
??
1 0

D

2 y ? xx

A

xdx ? ? x 2 dx
0

1

2 32 x3 1 1 S = ( x - x )dx ? ( x ? ) |0 ? . 0 3 3 3

?

1

2

求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.

例 2. 计算由曲线 y ? 2x , 直线 y ? x ? 4以及 x 轴所围 成的图形的面积.

解:作出y=x-4, y ? 2x 的图象 如图所示: ? ? y ? 2x x=8 解方程组 ? 得 :{y=4 , ? ?y ? x ? 4 直线y=x-4与x轴交点为(4,0)
S ? S1 ? S2 ? ?
4 0

y ? 2x

S2

S1

y ? x?4
8

2 xdx ? [ ?
8

8

4

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx]
4

? (?

4

0

2 xdx ? ?

4

2 xdx) ? ? ( x ? 4)dx ? ?
4

8

8

0

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx
4

8

2 2 3 1 2 40 8 2 8 ? x |0 ?( x ? 4 x) |4 ? 3 2 3

s??

8

0

1 2 xdx ? ? 4 ? (8 ? 4) 2
3 2 8 0

2 2 ? 2 2 x | ?8 40 3 ? ?16 2 ? 8 ? 3 3
1 2 s ? ? [(4 ? y ) ? y ]dy 0 2
4

1 2 1 3 4 ? (4 y ? y ? y ) |0 2 6
1 2 1 3 40 ? 4? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? 2 6 3

定积分在物理中的应用

1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0, 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为

s ? ? v(t )dt
a

b

v

v ? v(t )

O

a

b

t

v /m/s

例: 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1.7 ? 3所示.求汽车在 这1min 行驶的路程 .

30

A

B

20
10

C t/s

o

10

20 30

40 50

60

图1.7 ? 3

解 由速度 时间曲线可知: 3t , 0 ? t ? 10 ; 10 ? t ? 40; v?t ? ? 30 , ? 1.5t ? 90, 40 ? t ? 60. 因此汽车在这 1min 行驶的路 程是 :
10 40 60 0 10 40

v /m/s
30

A

B

20
10

C t/s

o

10

20 30

40 50

60

图1.7 ? 3

S ? ? 3tdt ? ? 30dt ? ? ?? 1.5t ? 90?dt
3 2 40 ? 3 2 ? ? t ? 30t 10 ? ? ? t ? 90t ? ? 1350?m?. 2 0 ? 4 ? 40
10 60

答 汽车在这 1min 行驶的路程是 1350m.

? 法二:由定积分的几何意义,直观的可以得出路程 即为如图所示的梯形的面积,即

30 ? 60 ? ? s? ? 30 ? 1350 2

2. 变力做功
一物体在恒力 F ?单位 : N?的作用下做直线运动 ,如 果物体沿着与力 F 相同的方向移动了 s (单位 : m), 则力F所作的功为W ? Fs.
变力所做的功:

物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并 且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到 x=b(a<b),那么变力F(x)所作的功

W ? ? F ( x)dx
a

b

F

y ?? F ( x)

O

a

b

x

例1: 如图1.7 ? 4, 在弹性限 度内 , 将一弹簧从平衡位置 拉到离平衡位置 l m 处, 求弹 力所作的功. 解 在弹性限度内 ,拉伸(或 压缩) 弹簧所需的力 F?x ? 与 弹簧拉伸?或压缩? 的长度x 成正比, 即F?x ? ? kx, 其中常 数k是比例系数 .
l

Q

l
图1.7 ? 4

F

1 2 1 2 由变力作功公式 , 得W ? ? kxdx ? kx ? kl ?J ?. 0 2 2 0 1 2 答 克服弹力所作的功为 kl J . 2

l


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