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山省师范大学附属中学2015届高三下学期第九次高考模拟数学(理)试题


2015 届第九次模拟考试试题 高三数学(理科)
第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z ? A. ? i
2015.6.1

2 5

1 ? 2i (i 是虚数单位) ,则

z 的共轭复数的虚部是( 3 ? 4i 2 2 2 B. i C. ? D. 5 5 5

)

2.设集合 A ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? y y ? 2x ? 1 ,则 A ? B ? ( A. ?1, 2? B. ?1, 2? C. ?1, ?? ? D.

?

?

?

?

)

? 2, ?? ?

3.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 x=3,y=3.5,则由该观测数据 算得的线性回归方程可能是( ) ? ? ? 2 x ? 2.4 A. y ? 0.4 x ? 2.3 B. y

? ? ?2 x ? 9.5 C. y

? ? ?0.3x ? 4.4 D. y
)

4.已知命题 p : 对任意 x ? R ,总有 x ?1 ? x ? 1 ? 2 ;命题 q : x ? 2 是 x ? 1 的充分不必 要条件.则下列命题为真命题的是 ( A. p ? q B. ? p ? ? q C. ?p ? q D. p ??q )
x

5.下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是( A. f ? x ? ? sin x B. f ? x ? ? x
3

C. f ? x ? ?

1 2x

D. f ? x ? ? 3

6.已知圆 C 的方程为 x2+y2 ? 2x=0,若以直线 y=kx ? 2 上任意一点为圆心,以 l 为半径的圆 与圆 C 没有公共点,则 k 的整数值是( ) A. ? l B.0 C.1 D.2 7.函数 y ?

x ? 2 sin x 的图象大致是( 2

)

? x ? 2y ?1 ? 8. 已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ? x ? 4 y ? 4 ,当 z ? ?2 x ? y 取得最大值为 1 时,那么 ? x? y ?a ?
x2+y2 的最小值为( ) 2 1 A. B. C.1 D.2 2 2 9.将 9 个相同的小球放入 3 个不同的盒子,要求每个盒子中至少有一个小球,且每个盒子

里的小球个数都不相同,则不同的放法种数为( A.12 B.15 C.18 10.已知双曲线

) D.21

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线 a 2 b2

右支上存在点 P 使得

a c ,则该双曲线离心率的取值范围为( ? sin ?PF1F2 sin ?PF2 F1
B.( 2 ? 1 ,1) C.(1, 2 ? 1 ) D.( 2 ? 1 , ?? )

)

A.(0, 2 ? 1 )

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为________.

12. 执行如图所示的程序框图,若输入 x=0.1,则输出的 m 的 值是________.
? 13. 在△ ABC 中, ?A ? 90 ,边 AC ? 1 , AB ? 2 ,过点 A 作

AP ? BC 交 BC 于 P , 且 ??? ? ??? ? ??? ? , 则 AP ? ? AB ? ? AC ?? ? ________.
14. 与 积 15. 直线 l 过抛物线 C : y ? 4 x 的焦点且
2

则 l 与 C 所围成的图形的面 x 轴垂直, 等于 . 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) 满 足

f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ,当 x ? [0, 2]时,
1 3 f ( x) ? x2 ? 2 x , 若 x ?[ ?4, ? 2]时 , f ( x) ? ( ? t ) 恒 成 立 , 则 实 数 t 的 取 值 范 围 8 t
是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ? 3 cos 2 ? x ?

3 (? ? 0 ) ,直线 x ? x1 , x ? x2 是 2

y ? f ( x) 图象的任意两条对称轴,且 | x1 ? x2 | 的最小值为
(Ⅰ)求 f ( x ) 的表达式;

? . 4

? 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为 8 原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,若关于 x 的方程 g ( x) ? k ? 0 ,在区 ? ?? 间 ? 0, ? 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围.
(Ⅱ)将函数 f ( x ) 的图象向右平移

?

2?

17.(本小题满分 12 分) 袋中装着标有数字 1,2,3 的小球各 2 个,从袋中任取 2 个小球,每个小球被取出的可 能性都相等. (Ⅰ)求取出的 2 个小球上的数字互不相同的概率; (Ⅱ)用 ? 表示取出的 2 个小球上的数字之和,求随机变量 ? 的概率分布与数学期望. 18. (本小题满分 12 分) 已知等边三角形的边长为 3 ,点 D, E 分别在边 AB, AC 上,且满足

AD CE 1 ? ? ,将 DB EA 2

?ADE 沿 DE 折叠到 ?A1 DE 的位置,使 平面A1 DE ? 平面BCDE ,连接 A1 B, A1C .
(Ⅰ)证明: A1 D ? 平面BCDE ; (Ⅱ)在线段 BC 上是否存在点 P ,使得直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ?若存在, 求出 PB 的长;若不存在,说明理由.
?

19. (本小题满分 12 分) 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , 对一切 n ? N * , 点? ? n,

? ?

Sn ? a ? 都在函数 f ( x) ? x ? n 的图象 n ? 2x

上. (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式;

(Ⅱ)设 An 为数列 ?

? a n ? 1? an ? 3 对一切 ? 的前 n 项积,若不等式 An a n ? 1 ? f (a ) ? 2a ? an ?

n ? N * 都成立,其中 a ? 0 ,求 a 的取值范围.
20. (本小题满分 13 分) 设平面上一动点 P 到定点(1,0)的距离与到定直线 x ? 4 的距离之比为 (Ⅰ)求动点的 P 轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设定点 A (-2, 3 ), 曲线上 C 一点 M ( x0 , y0 ) , 其中 y0 ? 0 . 若曲线 C 上存在两点

1 . 2

??? ? ??? ? ???? ? E , F ,使 AE ? AF ? AM ,求 x0 的取值范围.
21. (本小题满分 14 分) 函数 f ? x ? ? ln x , g ? x ? ?

1 2 x ? 2x . 2

(Ⅰ)设 h ? x ? ? f ? x ?1? ? g? ? x ? (其中 g ? ? x ? 是 g ? x ? 的导函数) ,求 h ? x ? 的最大值; (Ⅱ)求证: 当 0 ? b ? a 时,有 f ? a ? b ? ? f ? 2a ? ?

b?a ; 2a

(Ⅲ)设 k ? Z ,当 x ? 1 时,不等式 k ? x ?1? ? xf ? x ? ? 3g? ? x ? ? 4 恒成立,求 k 的最大 值.

山师附中第九次模拟考试高三数学(理科)答案
一、选择题: 1—5 DBACD 二、填空题 11.4 16. 12.0 6—10ACBCC 13.

4 25

14.

8 3

15.

??1,0? ? ?3, ???

(Ⅱ)将 f ( x) 的图象向右平移个

所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin(2 x ?

? ? 个单位后,得到 y ? sin(4 x ? ) 的图象,再将所得图象 6 8 ?
6 ) 的图象.
-------------------------9 分

所以 g ( x) ? sin(2 x ? ). 6
令 2x ?

?

?

6

? t ,∵ 0 ? x ?

?
2

,∴ ?

?

5 ?t ? ? 6 6

? ?? ? ?? 在区间 ? 0, ? 上有且只有一个实数解, 即函数 y ? g ( x) 与 y ? ? k 在区间 ? 0, ? g ( x) ? k ? 0 , ? 2? ? 2? 1 1 上有且只有一个交点,由正弦函数的图像可知 ? ? ? k ? 或 ? k ? 1 2 2


?

1 1 或 k=-1. ?k? 2 2

-------------------12 分

17.解: (Ⅰ)设“取出的 2 个小球上的数字互不相同”为事件 A ,
2 ∵从袋中的 6 个小球中任取 2 个小球的方法共有 C6 种,

?? 1 分 ??3 分

2 1 1 其中取出的 2 个小球上的数字互不相同的方法有 C3 C2C2 ,

2 1 1 C3 C2C2 3 ? 2 ? 2 4 ∴ P ? A? ? ? ? . 2 C6 3? 5 5

??4 分

(Ⅱ)由题意, ? 所有可能的取值为:2,3, 4,5,6.

??5 分

P ?? ? 2 ? ?

1 C2 C1 1 4 2 2 C2 , ? P ? ? 3 ? ? , ? ? 2 2 C6 15 C6 15


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