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专题二. 函数双变量问题


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专题一. 函数 y ? loga x ?a ? 0, a ? 1?的性质
一、 研究函数 y ? loga x ?a ? 0, a ? 1?的图像和性质

二、 典例分析 例 1.设函数 f ?x? ? lg x ,若 0 ? a ? b ,且 f ?a ? ? f ?b?

,求证: ab ? 1 .

例 2.若函数 f ?x? ? log2 x 的定义域为 ?a, b? ,值域为 ?0,2? ,则 b ? a 的最小值为

2 例 3.已知函数 f ?x? ? log2 x ,正实数 m, n 满足 m ? n ,且 f ?m? ? f ?n ? ,若 f ?x ? 在 m , n

?

?

上的最大值为 2,则 m ? n ?

a2 ? b2 例 4.已知函数 f ?x? ? lg x , ?a ? b ? 0? , f ?a ? ? f ?b? ,则 的最小值等于 a?b

1

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专题二. 函数 f ?x ? ?
一. 研究函数 f ?x ? ?

ln x 的性质及应用 x

ln x 的图象和性质. x

二、典例分析 例 1. 已知函数 y ? a ?a ? 1? 的定义域与值域均为 ?m, n? ?m ? n ? ,则实数 a 的取值范围为
x

b a 例 2. 事实证明,存在正实数 a, b ?a ? b ? 使得 a ? b ,请你写出所有符合条件的 a 的取值

范围

.

例 3. 对于函数 y ? f ?x ? ,若存在 ?a, b? ,当 x ? ?a, b? 时的值域为 ?ka, kb? ?k ? 0? ,则称

y ? f ?x ? 为“ k 倍值函数”. 若 f ?x ? ? ln x ? x 是“ k 倍值函数” ,则实数 k 的取值范围是

2

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例 4. 若不等式 e ? x 对于任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是

x a

例 5. 已知

ln x ? x 2 ? 2ex ? a 有实数解,求实数 a 的取值范围 x

例 6.(2014 湖北卷) ? 为圆周率, e ? 2.71828 ? 为自然对数的底数.求

e3 , 3e , e? , ? e , 3? , ? 3 这六个数的最大数与最小数.

3

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专题三. 函数 f ? x ? ? log a x 2 ? 1 ? x 的性质
一、研究函数 f ?x? ? ln x ? x2 ? 1 的图像和性质

?

?

?

?

二、典例分析

例 1. 求函数 f ?x ? ? ln x ?

?

x 2 ? 1 , x ? ?? 2,2?的最大值和最小值.

?

例 2. 函数 f ?x ? ? ln x ? 则M ?m ?

?

x 2 ? 1 , x ? ?? k , k ? , k ? 0 的最大值和最小值分别为 M 和 m ,

?

例 3. 判断函数 f ?x ? ? ln x ?

?

x2 ?1 ?

?

3e x ? 1 , x ? ?? k , k ? ?k ? 0? ex ?1

的最大值和最小值分别为 M 和 m ,则 M ? m ?

4

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例 4. 判断函数 f ?x ? ? ln 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1 ,则 f ?lg 2? ? f ? lg ? ?

?

?

? ?

1? 2?

例 5.(2015 全国卷 I)若函数 f ?x? ? x ln x ? a ? x2 为偶函数,则 a ?

?

?

x 例 6. 设函数 f ? x ? ? x ln e ? 1 ?

?

?

1 2 x ? 3 , x ? ?? t , t ? ?t ? 0? ,若函数的最大值是 M ,最 2

小值是 m ,则 M ? m ?

例 7. 设 函 数 f ?x ? ? x 3 ? log2 x ? “ f ?a ? ? f ?b? ? 0 ”的

?

“ a?b ? 0 ”是 x2 ? 1 , 则 对 任 意 实 数 a, b ,

?

. (填“充要条件” “充分不必要条件” “必要不充分条件”

或“既不充分也不必要条件” )

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专题四. 双变量问题
实例 1. 2016 届高三月考雅礼卷(六) 21. 设函数 f ? x ? ? x ?

1 ? a ln x . x

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ?x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程; (2)若函数 f ?x ? 在定义域上为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若函数 h? x ? ? x ? ln x ? 求实数 a 的取值范围.

1 ,?x1 , x2 ? ?1, e? 使得 f ?x1 ? ? h?x2 ? 成立, e

实例 2. 2016 年附中七(2016 年 3 月) 12. 已知函数 f ? x ? ? ln x ? 实数 a 的取值范围是( )

x ?a ? 0?,若 ?x0 ? R ,使得 ?x1 ? ?1,2? 都有 f ?x1 ? ? f ?x0 ? ,则 a

A.?0,1?

B.?1,2?

C.?2,???

D.?0,1? ? ?2,???

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【拓展训练】

1 1 ? 1 ? x? ,0? x? ? ? 6 12 2 ?? ? 1.已知函数 f ? x ? ? ? 3 和函数 g ?x ? ? a sin? x ? ? a ? 1 ?a ? 0? ?6 ? ? x , 1 ? x ?1 ? ? x ?1 2
若存在 x1 , x2 ? ?0,1? ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? 成立,则 a 的取值范围是

拓展 1: “存在=存在”型:

若 ?x1 ? D1 , ?x2 ? D2 ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? A ? B ? ? 其中 A 为函数 f ?x ? 在 D1 上的值域,

B 为函数 g ?x ? 在 D2 上的值域.

2. 已知函数 f ? x ? ? x ?

2 ?x ? 5 ? 2a ?a ? 0 ? . 若 ?x1 ? ?1,2? , 和函数 g ? x ? ? a cos x 2

?x2 ? ?0,1? ,使得 g ?x2 ? ? f ?x1 ? ,则 a 的取值范围是
拓展 2: “任意=存在”型

?x1 ? D1 , ?x2 ? D2 ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? A ? B ,
其中 A 为函数 f ?x ? 在 D1 上的值域, B 为函数 g ?x ? 在 D2 上的值域.

3. 设函数 f ?x ? ? x ? x ? 3 , g ? x ? ?
3 2

a ?1 ? ? x ln x ,如果 ?x1 , x 2 ? ? ,2? , x ?2 ?

都有 f ?x1 ? ? g ?x2 ? 成立,求 a 的取值范围.

拓展 3: “任意 ? ?? ? 任意”型 对 ?x1 ? D1 , ?x2 ? D2 都有 f ?x1 ? ? g ?x2 ? 成立

? f ?x?min ? g ?x?max

? f ?x? ? g ?x?max

? f ?x?min ? g ?x?

? f ?x?min ? g ?x?max ? k

推广:对 ?x1 ? D1 , ?x2 ? D2 都有 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ? k

? ? f ?x1 ? ? g ?x2 ??min ? k

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4.已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ?1 ? ?1 ? x ? x 2 ? ax , g ? x ? ? x ,对 ?x1 ? ? ,2? , ?x2 ? ? ,2? ,使得 3 e ?2 ? ?2 ?

f ' ?x1 ? ? g ?x2 ? 成立,求 a 的取值范围.

5.设函数 f ? x ? ? 范围.

x ? ax ,若存在 x1 , x2 ? e, e 2 ,使 f ?x1 ? ? f ' ?x2 ? ? a 成立,求 a 的取值 ln x

? ?

6. 已知函数 f ?x ? ? x ? 1 ? a ln x ?a ? 0? ,对 ?x1 , x2 ? ?0,1? ,且 x1 ? x2 ,都有

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 4

1 1 ? ,求实数 a 的取值范围. x1 x2

7. ( 2015 全 国 卷 II ) 设 函 数 f ?x? ? e

mx

? x 2 ? mx , 对 ?x1 , x2 ?? 1,1? , 都 有

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? e ?1 ,求 m 的取值范围.

8.已知函数 f ?x? ? a ? x ? x ln a ?a ? 0, a ? 1? .若
x 2

?x1 , x2 ? ?? 1,1?,使得 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? e ?1 ,求实数 a 的取值范围.

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