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1.4正弦函数


三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质

要点回顾. 正弦曲线、余弦函数的图象 1)图象作法--- 几何法
2)正弦曲线、余弦曲线
y
? ( ,1)

五点法
正弦曲 线
( 2? ,0)

1 (0,0) -4? -3? -2? -?

/>2

o
-1

( ? ,0) ?

2?

3?

4?

5?

6?

3? ( ,-1) 2

x

y
(0,1) 1 -4? -3? -2? -?
? (o ,0) 2 -1
3? ( ,0)

( 2? ,1) 2? 3? 4?

余弦曲 线
5? 6?

?

2

( ? ,-1)

x

1.定义域和值域
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

正弦函数 y ? sin x

定义域:R 值域:[-1,1] y
1
? 2
O
?
2

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

余弦函数 y ? cos x 定义域:R 值域:[-1,1]
| sin x |≤ 1 | cos x |≤ 1

练习
? 下列等式能否成立?
(1)2cos x ? 3

3 ?1 cos x ? 2

×


(2)sin x ? 0.5
2

sin x ? ? 0.5 ? [?1,1]

例1.求下列函数的定义域和值域。

定义域

值域
[2,4]

(1) y ? 3 ? sin x
(2) y ? ? cos x
?

R

3? { x | 2 k ? ? ? x ? 2k ? ? , k ? Z} 2 2

[0,1]
[0,2]

? ? ? (3) y ? 2sin(2 x ? ), x ? [? , ] 3 6 6

在生活中的周期性现象!

思考1:今天是2012年3月21日,星期三,那么7 天后是星期几?30天后呢?为什么?
因为 30=2+7x4

所以30天后与2天后相同,
故30天后是星期五

概 念

1.一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零 的常数T,使得当x取定义域内的每一个值 时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做

周期函数
非零常数T叫做这个函数的周期 2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周 期中存在一个最小的正数,那么这个最小 的正数就叫做f(x)的最小正周期。

说明:我们现在谈到三角函数周期时,如果 不加特别说明,一般都是指的最小正周期。

正弦函数 y

? sin x( x ? R)
y x

-2?

· ·
-?

o

?

· · · ·
2? 3? 4?

结合图像:在定义域内任取一个 , 由诱导公式可知: sin(x ? 2k? ) ? sin x

x

f ( x ? 2k? ) ? f ( x) ?正弦函数y ? sin x( x ? R) 是周期函数,周期是 2k?


思考3:余弦函数是不是周期函数?如 果是,周期是多少? 由诱导公式可知:


cos(x ? 2k? ) ? cos x

f ( x ? 2k? ) ? f ( x)

性质1:正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx都 2k 是周期函数,且它们的周期为 ? (k ? z, k ? 0) 最小正周期是 2?

三角函数的周期性: y
-2?
y

y=sinx(x∈R)
0
X

2?

x
X+2π

4?

自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的
x o y x o 6π 12π 4π 8π

T是f(x)的周期,那么kT也一定是f(x)的周期. (k为非零整数)

注意: 1.定义是对定义域中的每一个x值来说的, 只有个别的x值满足:f ( x ? T ) ? f ( x ) 不能说T 是y ? f ( x )的周期. 例如 : sin(

?
4

?

?
2

) ? sin

?
4

,但是 sin( ? ? ? ) ? sin ? .
3 2 3

? 就是说 不能对x在定义域内的每一个值使 2 ? ? sin( x ? ) ? sin x ,因此 不是y ? sin x的周期. 2 2

?判断下列说法是否正确
? 2? (1)x ?时, sin( x ? ) ? sin x ,则 3 3
2? 3

一定不是
7? x (2) ? 时, 6

y的周期 x ? sin

(√ )
2? 3

2? sin( x ? ) ,则 ? sin x 3

一定是 y ? sin x 的周期

(×)

求下列函数的周期:
(1) y ? 3 cos x, x ? R (2) y ? sin 2 x, x ? R 1 ? (3) y ? 2 sin( x ? ), x ? R 2 6

解:(1) ∵对任意实数

x



f ( x) ? 3 sin x ? 3 sin(x ? 2? ) ? f ( x ? 2? )

?cos x 是以2π 为周期的周期函数.
(2)

? sin(2 x) ? sin(2 x ? 2? ) ? sin ? 2( x ? ? ) ? , ? y ? sin 2 x 是以π 为周期的周期函数.

1 ? 1 ? (3) ? 2sin( x ? ) ? 2sin( x ? ? 2? ) 2 6 2 6 ?? ?1 ? 2sin ? ( x ? 4? ) ? ? , 6? ?2 1 ?
? y ? 2sin( x ? ) 2 6

是以4π 为周期的周期函数.

函数

周期

y ? 3 cos x y ? sin 2 x 1 ? y ? 2 sin( x ? ) 2 6
1 ? y ? 2 sin( ? x ? ) 2 6

T ? 2?

2? 1
2? 2
2? 1 2 2?
1 2

T ??
T ? 4? T ? 4?

函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R 及函数 y ? A cos(?x ? ? ), x ? R 的周期
两 个 函 数

y ? A sin(?x ? ? ), x ? R y ? A cos(?x ? ? ), x ? R
T? 2?

?

(其中

A, ? , ?

为常数且A≠0)

的周期仅与自变量的系数有关,那么如何 用自变量的系数来表述上述函数的周期?

解:

? f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ?

? Asin ?? x ? ? ? 2? ?
? A sin ??? x ? 2? ? ? ? ? ? ?

? ? 2? ? A sin ?? ? x ? ? ? ?

? ? ? ??? ? ?

2? ? ? ? f ?x? ? ? ? ?

?T ?

2?

?

归纳总结
一般地,函数y ? A sin(? x ? ? ), x ? R及函 数y ? A cos(? x ? ? ), x ? R (其中A, ? , ?为常 2? 数, 且A ? 0, ? ? 0)的周期为 : T ? .

?

课堂练习:
P36 练习1 练习2:求下列函数的周期
2? 4 8? T? ? 2? ? ? 3 3 3 4

3 (1) y ? sin x, x ? R 4 (2) y ? cos4 x, x ? R 1 (3) y ? cos x, x ? R 2 1 ? (4) y ? sin( x ? ), x ? R 3 4

2? ? T? ? 4 2 2? T? ? 2? 1 2? T? ? 2? ? 3 ? 6? 1 3

当堂检测
1 A、y ? sin x 2 x B、y ? cos 2 D、y ? cos2 x

(1)下列函数中,最小正周期是 ? 的函数是( D )
C、y ? cos x

2 (2)函数 y ? sin ?x 的最小正周期为_____。
?

? (3)已知函数 y ? sin(?x ? ), ? ? 0 的周期为 3 ,则 3 ? ? ___ 6
(4)函数
y ? cos (1 ? x )? 的最小正周期是 2

4

练习题.
求下列函数的周期: x ( 2) y ? cos (1) y ? sin 3x 3
2? T ? 3

T ? 6?

x (3) y ? 3 sin 4
T ? 8?

(4) y ? sin( x ?
T ? 2?

?
10

)

(5) y ? cos( 2 x ? ), x ? R 3

?

T ??

周期求法:

? 1.定义法: ? 2.公式法: 一般地,函数 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ) (其中A ,ω,φ为常数, 且 A≠0, ω≠0 )的周期是:
T? 2?

? 3.图象法:

?

(? ? 0)





(1)周期函数、周期及最小正周期的概念. (2)正(余)弦函数的周期. (3)函数 y ? Asin(?x ? ? ), x ? R 及函数y ? A cos(?x ? ? ), x ? R 的周期
T? 2?


?

课外作业:
P46 习题1.A组 第3题

思考: 1.y=sinx(x∈[0,4π])是周期函数吗?
2.

x sin x y? x

是不是周期函数?为什么?

3.已知函数 y ? f ( x ) 的周期是4,且当 x ?[?2,2] f ( x ) ? x 2 ? 1 ,求f (1), f (5), f (16). 时,
f (5) ? 52 ? 1 ? 26 吗? 思考:

2.奇偶性
(1) f ( x ) ? sin x , x ? R

任意x ? R

f ( ? x ) ? sin( ? x ) ? ? sin x ? ? f ( x )

? f ( x ) ? sin x , x ? R 为奇函数 (2) f ( x ) ? cos x , x ? R

任意x ? R

f ( ? x ) ? cos( ? x ) ? cos x

? f ( x)

? f ( x ) ? cos x , x ? R 为偶函数

2.奇偶性
探究
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

正弦函数的图象

y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

余弦函数的图象

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

问题:它们的图象有何对称性?

中心对称:将图象绕对称中心旋转180度后所得 的曲线能够和原来的曲线重合。

轴对称:将图象绕对称轴折叠180度后所得的曲 线能够和原来的曲线重合。

正弦函数的图象
?3? 5? ? 2
?2? 3?
? 2

y
1

P
?
2

??

P

? ' 2
?

O

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

5 3 1 1 3 x 对称轴: ? ? ? ? , ? ? , ? ? , ? , ? ? 2 2 2 2 2 x?

?
2

? k? , k ? Z

对称中心: ?( ?? ,0),(0,0),(? ,0),(2? ,0)?
( k? ,0) k ? Z

余弦函数的图象
?3? 5? ? 2

y
1
? ? 2
O
?
2

P ' 3? ?? ?2? ?
2

?

?1

3? 2

2?

P

5? 2

3?

x

对称轴: x ? ? ? ? ,0,? , 2? ?
x ? k? , k ? Z
3? 5? 对称中心: ?( ? ,0),( ,0),( ,0),( ,0)? 2 2 2 2 (

?

?

?
2

? k? ,0) k ? Z

练习
? 为函数 y ? sin(2 x ? ) 的一条对称轴的是( )
3
4? A. x ? ? 3 B. x ?

?

?
2

C.x ?

?
12

D. x ? 0

y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

解:经验证,当
?x ?

x?

?
12



2x ?

?
3

?

?
2

?
12

为对称轴

? 求 y ? sin(2 x ? ) 函数的对称轴和对称中心
3

?

例题
?
3

解(1)令

z ? 2x ?



y ? sin(2 x ?

?
3

) ? sin z

y ? sin z
2x ?

的对称轴为 z ?
?
3 ?

?
2

? k? , k ? Z

?
2

? k?
x?

解得:对称轴为
(2) y ? sin z

?
12

?k

?
2

,k ? Z

的对称中心为 ( k? ,0) , k ? Z
2x ?

z ? k?

?
3

? k?

x??

?
6

?k

?
2

对称中心为 ( ?

?
6

?k

?
2

,0) , k ? Z

1 ? ? 求 y ? cos( x ? ) 函数的对称轴和对称中心 2 4 1 ? 1 ? 解(1)令 z ? x ? 则 y ? cos( x ? ) ? cos z 2 4 2 4 y ? cos z 的对称轴为 z ? k?

1 ? ? ? x ? ? k? x ? 2k? ? , k ? Z 2 4 ? 2 解得:对称轴为 x ? 2k? ? , k ? Z 2 ? (2) y ? cos z 的对称中心为 ( ? k? ,0), k ? z 2 ? z ? ? k? , ? 1 x ? ? ? k? ? ? 2 2 2 ? 4 ? x ? 2k? ? , k ? Z 2 ? 对称中心为 (2k? ? ,0), k ? Z 2

小结
正弦函数的图象
?3? 5? ? 2
?2? 3?
? 2

y
1

P
?
2

??

P

? ' 2
?

O

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

5 3 1 1 3 x 对称轴: ? ? ? ? , ? ? , ? ? , ? , ? ? 2 2 2 2 2 x?

?
2

? k? , k ? Z

对称中心: ?( ?? ,0),(0,0),(? ,0),(2? ,0)?
( k? ,0) k ? Z

余弦函数的图象
?3? 5? ? 2

y
1
? ? 2
O
?
2

P ' 3? ?? ?2? ?
2

?

?1

3? 2

2?

P

5? 2

3?

x

对称轴: x ? ? ? ? ,0,? , 2? ?
x ? k? , k ? Z
3? 5? 对称中心: ?( ? ,0),( ,0),( ,0),( ,0)? 2 2 2 2 (

?

?

?
2

? k? ,0) k ? Z

3.最值
探究:正弦函数的最大值和最小值 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当

x?

?
2

有最大值 y ? 1 ? 2k? 时,
有最小值 y ? ?1 ? 2k? 时,

最小值:当x 零点: x

??

?
2

? k? (k ? Z )

3.最值
探究:余弦函数的最大值和最小值 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当 最小值:当 零点: x

x ? 0 ? 2k? 时, 有最大值 y ? 1
x ??
有最小值 y ? ?1 ? 2k? 时,

?

?
2

? k? (k ? Z )

例1.下列函数有最大、最小值吗?如果有,请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合,并说出最大、最小值分别是什么.

(1)y ? cos x ? 1, x ? R; (2)y ? ?3sin 2 x, x ? R.
解: 这两个函数都有最大值、最小值. (1)使函数 y ? cos x ? 1, x ? R 取得最大值的x的集合,就是 使函数 y ? cos x, x ? R 取得最大值的x的集合

{x | x ? 2k? , k ? Z}
使函数 y ? cos x ? 1, x ? R 取得最小值的x的集合,就是 使函数 y ? cos x, x ? R 取得最小值的x的集合

{x | x ? (2k ? 1)? , k ? Z} 函数 y ? cos x ? 1, x ? R 的最大值是1+1=2;最小值是
-1+1=0.

例1.下列函数有最大、最小值吗?如果有,请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合,并说出最大、最小值分别是什么.

(1)y ? cos x ? 1, x ? R; (2)y ? ?3sin 2 x, x ? R.
解: (2)令t=2x,因为使函数y ? ?3sin t , t ? R 取最大值的t的集合是 ? {t | t ? ? ? 2k? , k ? Z } 2 ? ? 由 2 x ? t ? ? ? 2k? 得 x ? ? ? k? 2 4 所以使函数 y ? ?3sin 2 x, x ? R取最大值的x的集合是

4 同理,使函数 y ? ?3sin 2 x, x ? R 取最小值的x的集合是 4 函数 y ? ?3sin 2 x, x ? R取最大值是3,最小值是-3。 {x | x ?

{x | x ? ?

?

? k? , k ? Z }

?

? k? , k ? Z }

例题
求使函数 y ? 3 cos( 2 x ?

?

2 自变量的集合,并写出最大值、最小值。 y
1

) 取得最大值、最小值的

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

分析:令 z ? 2 x ?

?
化未知为已知

2 则 y ? 3 cos z

? P46 A2最值问题
1 ?1 ?? (4) y ? sin ? x ? ? 2 ?2 3?

使原函数取得最大值的集合是
? ? ? ? x | x ? ? 4k? , k ? Z ? 3 ? ?
1 要使y ? sin z有最小值, 2

1 ? 解:令z ? x ? 2 3 1 要使y ? sin z有最大值, 2

必须 z ? ? ? 2k? , k ? z
1 ? ? x ? ? ? ? 2k? 2 3 2 5? x?? ? 4k? 3 2

?

必须 z ? 2 ? 2k? , k ? z
1 ? ? x ? ? ? 2k? 2 3 2

?

x?

?
3

使原函数取得最小值的集合是
5? ? ? x| x ? ? ? 4k? , k ? Z ? ? 3 ? ?

? 4k?

3 ?1 ?? (3) y ? ? sin ? x ? ? 最大 2 ?2 6?
因为有负 号,所以 结论要相 反
3 y ? ? sin z 最大 2
y ? sin z

最小


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