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考前指导卷1


后塍高级中学 2012 届高三数学

命题人: 黄宝英

审核人: 李荣明

2011.12.21

考前指导卷 1
小题, 将答案填在答题卷相应的位置上) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,将答案填在答题卷相应的位置上) 填空题( 1.复数

4 + 3i 的虚部为 1 + 2i

. 开始 输入 m,n

2.一个单位共有职工 200 人,其中不超过 45 岁的有 120 人,超过 45 岁的 有 80 人.为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中 抽取一个容量为 25 的样本,应抽取超过 45 岁的职工 人. 3. 已知 f ( x) = ?

? x,x ≥ 0 , 则不等式 f ( x + 2) ≤ 3 的解集 ? ?1, x < 0

o

i ←1
.



5. 已知数列 {an } 的首项 a =1, an+1 1 则数列 {an } 的通项公式为

4. 在正方形 ABCD 内任取一点,求使 ∠APB<90 的概率是

= 3Sn (n ≥ 1 , )
. .

a ← m×i i ← i +1
n 整除 a 否 是 输出 a

6.阅读图 1 的程序框图,若输入 m = 4 , n = 6 ,则输出 a = 7.函数 f ( x ) = x +

2 ( x > 0) 的最小值为 . x +1 ? x ? y + 2 ≤ 0, y ? 则 的取值范围是 8.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ≥ 1, ? x + y ? 7 ≤ 0, x ? 9.对于任意 x ∈ [1, 2] ,都有 (ax + 1) 2 ≤ 4 成立,则实数 a 的取值范围为

结束 . 图1 .

10.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 6cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为 2cm,那么该棱柱的体积为 11. 设 F1,F2 分 别 是 双 曲 线 cm 3 .

x2 y2 ? =1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A ,使 a2 b2 ∠F1 AF2 = 90o ,且 AF1 = 3 AF2 ,则双曲线的离心率为 .

12. 函 数 f ( x ) = 2 sin x ? x + k 在 区 间 ? 0, 是 .

? π? 上有两个零点,则实数 k 的取值范围 ? 2? ?

13.与 x 轴, y 轴以及直线 4 x + 3 y ? 12 = 0 都相切的半径最大的圆的标准方程 为 .

14.已知向量 OA, OB, OC 满足条件:OA + OB + OC = 0 ,且 OA = OB = OC =2,点 P 是 ? ABC 内一动点,则 AB ? AP + BC ? BP + CA ? CP = .

uuu uuu uuur r r

r

uuu r

uuu r

uuur

后塍高级中学 2012 届高三数学

命题人: 黄宝英

审核人: 李荣明

2011.12.21

小题, 二、解答题: 本大题共 6 小题,共计 90 分. 答题:

1 ) 在角 α 的终边上. 2 π 1 ? sin 2α + cos 2α (1)若 α = ,求实数 t 的值; (2)记 S = ,试用 t 将 S 表示出来. 6 1 ? sin 2α ? cos 2α
15. (14 分)已知动点 P (3t , t + 1)(t ≠ 0, t ≠

16. (14 分)如图,已知等腰梯形 ABCQ, AB CQ, CQ = 2 AB = 2 BC = 4 ,D 是 CQ 的中 点, ∠BCQ = 60° ,将 ?QDA 沿 AD 折起,点 Q 变为点 P,使平面 PAD⊥平面 ABCD. (1)求证:BC∥平面 PAD; (2)求证:△PBC 是直角三角形; (3)求三棱锥 P-BCD 的体积。 P
Q D C

D

C

A

B A B

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命题人: 黄宝英

审核人: 李荣明

2011.12.21

17. (15 分)已知函数 f ( x) = a x + b( a > 0, a ≠ 1) 的图像如图所示,数列 {an } 的前 n 项 的和 S n = a

n =1 ?2, + b , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项的和,且 Tn = ? . 2 ? ?10n ? 6n + 2, n ≥ 2 (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式;
n +1

; (2)找出所有满足: an + bn + 8 = 0 的自然数 n 的值(不必证明) (3)若不等式 S n + bn + k ≥ 0 对于任意的 n ∈ N * , n ≥ 2 恒成立, 求实数 k 的最小值,并求出此时相应的 n 的值. y

O -1

1

x

18. (15 分)外轮除特许外,不得进入离我国海岸线 12 海里以内的区域,如图:我国某海 岛海岸线是半径为 6 海里的圆形区域,在直径的两个端点 A、B 设立两个观察点,已知一 外轮在点 P 处,测得 ∠BAP = α , ∠ABP = β . P (1)当 α = 30o , β = 120o 时,该外轮是否已进入我领海主权范围内? (2)角 α , β 应满足什么关系时? 就应向外轮发出警告,令其退出我海域.

A

B

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2 2

命题人: 黄宝英

审核人: 李荣明

2011.12.21

19. (16 分)已知点 B′ 为圆 A : ( x ? 1) + y = 8 上任意一点,点 B(-1,0),线段 BB′ 的 垂直平分线和线段 AB′ 相交于点 M. (1)求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知点 M ( x0 , y0 ) 为曲线 E 上任意一点,求证:点 P (

3 x0 ? 2 4 y0 , ) 关于直线 2 ? x0 2 ? x0

x0 x + 2 y0 y = 2 的对称点为定点,并求出该定点的坐标.
y B'

-1 B

O

1 A

M x

20. (16 分)已知 f ( x ) =

1 + ln x . x (1)若函数 f ( x ) 在区间 (a, a + 1) 上有极值,求实数 a 的取值范围;
(3)当 n ∈ N * , n ≥ 2 时,求证: nf ( n) < 2 +

(2)若关于 x 的方程 f ( x ) = x 2 ? 2 x + k 有实数解,求实数 k 的取值范围;

1 1 1 + + ??? + . 2 3 n ?1

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命题人: 黄宝英

审核人: 李荣明

2011.12.21

答案: 答案: 填空题: 一、填空题: 1. -1 2. 10 3. (?∞,1] 4.

8?π 8
10.8

5. a n = ?

?1, n = 1
6. 12

9 ? 3 1? , ? 5 ? 2 2? 2 2 13. ( x ? 6) + ( y ? 6) = 36 14.18
7. 2 2 ? 1 8. [ , 9. ?? 6] 二、解答题: 解答题: 15. 解: (1)Q P (3t , t + 1)(t ≠ 0, t ≠

7

n? 2 * ?3 ? 4 , n ≥ 2, n ∈ N 10 π ?π ? 11. 12. ? ? 3 , ? 2? 2 2 ?3 ?

1 t +1 ) 是角 α 的终边上一点,则 tan α = -----3 分 2 3t π t +1 3 3 +1 = 又 α = ,则 ,所以 t = . --------6 分 6 3t 3 2
(2

QS=

1 ? sin 2α + cos 2α 1 ? 2sin α ? cos α + 2 cos 2 α ? 1 cos α (cos α ? sin α ) = = -9 分 1 ? sin 2α ? cos 2α 1 ? 2sin α ? cos α ? 1 + 2sin 2 α sin α (sin α ? cos α ) 1 1 3t ∴S = ? =? -12 分∴ S = ? 14 分 t +1 tan α t +1 3t 16.(1)证明:∵ AB CQ, D 是 CQ 的中点,∴ AB CD, AB = CD ,∴ ABCD 是平 行四边形,∴ BC AD .又∵ BC ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD ,∴BC∥平面 PAD.
P

D E

C

A

B

(2)∵ ∠BCQ = 60° , AB = BC ,∴ ABCD 是菱形,∴ ?PDA, ?BDA 均为等边三角 形。取 AD 中点 E,连 PE,BE.∴ PE ⊥ AD, BE ⊥ AD .又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,交线 为 AD,∴PE⊥平面 ABCD,∴PE⊥BC.又∵ BC AD ,∴BC⊥BE.又∵ PE I BE = E , ∴BC⊥平面 PEB,∴BC⊥PB.∴△PBC 是直角三角形.

3 3 2 AD = 3 , s?BCD = ×2 = 3 . 2 4 1 1 ∴ VP ? BCD = S ?BCD ? PE = × 3 × 3 = 1 ,∴三棱锥 P-BCD 的体积为 1.17. 解: (1) 由题 3 3 ? a + b = ?1 ?a=2 n +1 意得: ? 2 ,解之得: ? ,∴ S n = 2 ? 2 ?a + b = 0 ?b = ?2
(3)∵ PE =

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命题人: 黄宝英

审核人: 李荣明

2011.12.21

∴ 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = 2 n +1 ? 2 ? (2n ? 2) = 2n
当 n = 1 时, a1 = S1 = 2 符合上式,故 an = 2 , n ∈ N * .
n

------2 分

当 n ≥ 2 时, bn = Tn ? Tn ?1 = 4 ? 20n 当 n = 1 时, b1 = T1 = 2 不符合上式,故 bn = ?

n =1 ?2, . ? ?20n + 4, n ≥ 2

------4 分

(2)当 n = 1 时, a1 = b1 = 2 ,且 a1 + b1 + 8 ≠ 0 ,不合 当 n ≥ 2 时,由题意可得: an + bn + 8 = 2 ? 20n + 12
n

而方程 2 = 20n ? 12 只有 n = 7 满足条件,故当 n = 7 时, an + bn + 8 = 0 --------6 分
n

(3)由题得: S n + bn + k ≥ 0 ,∴ 2 即 k ≥ ?2
n +1

n +1

? 20n + 4 + k ≥ 0 对于一切 n ∈ N * , n ≥ 2 恒成立

+ 20n ? 2 --------8 分 n +1 令 f ( n) = ?2 + 20n ? 2 ( n ∈ N * , n ≥ 2 )则 f ( n + 1) = ?2 n + 2 + 20( n + 1) ? 2 f (n + 1) ? f (n) = ?2 n +1 + 20 --------10 分 当 n < 4 时, f ( n + 1) > f ( n) ;当 n ≥ 4 时, f ( n + 1) < f ( n)
而 f (3) = ?2 4 + 60 ? 2 = 42 , f (4) = ?25 + 80 ? 2 = 46

∴ k ≥ 46

故当 n = 4 时, k 的最小值为 46.

------14 分

18. 解: (1)取 AB 得中点 O,连结 OP

Q ∠α = 30o , ∠β = 120o ∴∠APB = 30o ,∴ AB = PB = 12
在三角形 PBO 中, OP = 6 + 12 ? 2 × 6 × 12 × cos120 =252
2 2 2 o

---------4 分

∴ OP = 6 7 < 18 故该外轮已经进入我领海主权范围内. --------------------6 分 ( 2 ) 在 三 角 形 APB 中 , ∠BAP = α , ∠ABP = β , AB=12 , 由 正 弦 定 理 得 : PA PB 12 12 sin β 12sin α = = ∴ AP = , BP = -----------10 分 sin β sin β sin(α + β ) sin(α + β ) sin(α + β ) 在三角形 POB 与 PBO 中,设 ∠POB = θ ∴ AP 2 = AO 2 + PO 2 ? 2 AO ? PO cos(π ? θ ) ,∴ BP 2 = BO 2 + PO 2 ? 2 BO ? PO cos θ , AO = BO ∴ AP 2 + BP 2 = 2 AO 2 + 2 PO 2 ∴ 2 PO 2 = AP 2 + BP 2 ? 2 AO 2 ,当 PO < 18 时 122 sin 2 β + 122 sin 2 α 得: ? 2 × 62 < 2 × 182 2 sin (α + β )
--12 分

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命题人: 黄宝英

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2011.12.21

19. 解: (1)连结 MB,∴ MB = MB′ , MA + MB′ = AB′ = 2 2 故 MA + MB = 2 2 ,而 AB = 2 ---4 分

∴ 点 M 的轨迹是以 A、B 为焦点且长轴长为 2 2 的椭圆 x2 ∴ 点 M 的轨迹 E 的方程为 + y2 = 1 -----8 分 2 3 x ? 2 4 y0 , ) 关于直线 x0 x + 2 y0 y = 2 的对称点为 Q (a, b) (2)证明:设点 P ( 0 2 ? x0 2 ? x0 4 y0 ?b 2 ? x0 2y 4 y0 ? b(2 ? x0 ) 2y 所以 = 0 10 分 = 0 ,即 3 x0 ? 2 x0 3 x0 ? 2 ? a (2 ? x0 ) x0 ?a 2 ? x0 ∴ bx0 (2 ? x0 ) = 2 y0 (2 ? x0 )(a + 1) ,Q x0 ≠ 2 ∴ bx0 ? 2 y0 (a + 1) = 0 ---14 分
因为上式对任意 x0 , y0 成立,故 ?

?a + 1 = 0 ? b=0

所以对称点为定点 Q ( ?1, 0) .

---16 分

1 ? x ? (1 + ln x) 1 + ln x ln x x 20. 解: (1)Q f ( x) = ,∴ f ′( x) = =? 2 2 x x x ′( x) > 0 ;当 x ∈ (1, +∞) 时, f ′( x) < 0 ; ∴ 当 x ∈ (0,1) 时, f ∴ 函数 f ( x) 在区间(0,1)上为增函数;在区间 (1, +∞) 为减函数 -----3 分 ∴ 当 x = 1 时,函数 f ( x) 取得极大值,而函数 f ( x) 在区间 (a, a + 1) 有极值. ? a <1 ∴? ,解得 0 < a < 1 . -5 分 ?a + 1 > 1 (2)由(1)得 f ( x ) 的极大值为 f (1) = 1 ,令 g ( x ) = x 2 ? 2 x + k ,所以当 x = 1 时,函数
g ( x) 取得最小值 g (1) = k ? 1 ,又因为方程 f ( x) = x 2 ? 2 x + k 有实数解,那么 k ? 1 ≤ 1 , 即 k ≤ 2 ,所以实数 k 的取值范围是: k ≤ 2 . -----10 分 1 + ln x (另解:Q f ( x ) = x 2 ? 2 x + k ,∴ k = + 2 x ? x2 , x 1 + ln x ln x 令 h( x) = + 2 x ? x 2 ,所以 h′( x) = ? 2 +2 ? 2x ,当 x = 1 时, h′( x) = 0 x x ′( x) > 0 ;当 x ∈ (1, +∞) 时, h′( x) < 0 当 x ∈ (0,1) 时, h ∴ 当 x = 1 时,函数 h( x) 取得极大值为 h(1) = 2 ∴ 当方程 f ( x) = x 2 ? 2 x + k 有实数解时, k ≤ 2 .)
( 3 ) Q 函 数 f ( x ) 在 区 间 (1, +∞) 为 减 函 数 , 而 1 +

1 ∴ f (1 + ) < f (1) = 1 n

1 > 1(n ∈ N *, n ≥ 2) , n 1 1 1 ∴1 + ln(1 + ) < 1 + ,即 ln(n + 1) ? ln n < n n n

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2011.12.21

1 1 1 ∴ ln n = ln 2 ? ln1 + ln 3 ? ln 2 + ??? + ln n ? ln(n ? 1) < 1 + + + ??? + ---------12 分 2 3 n ?1 1 1 1 即 1 + ln n < 2 + + + ??? + ,而 n ? f ( n) = 1 + ln n , 2 3 n ?1 1 1 1 ∴ nf (n) < 2 + + + ??? + 结论成立. ----------16 分 2 3 n ?1


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