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河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(五)数学(理)试题(扫描版,word版答案)


2013 年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(五)

数学(理科)·答案 (1)A (7)C (2) C (8)C (3)B (9)B (4)A (10)A (5)B (11)D (6)C (12)D

(13) ? ?4, ? 7

? ?

2? ?

14) 12 2 ? 4 13

(15)

10 3

(16)②③

(1)解: (Ⅰ)由题意得 x ? 200 ? 0.01 ? 2 , y ? 6 ? 200 ? 0.03 , z ? 0.88 ? 0.2 ? 4.4 . …………………………………………………………………………………………………(3 分) 该地区的超速车辆中超速不低于 20%的频率为 0.06 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01 ? 0.12 .………… 分) (5 (Ⅱ)若在第 2,3,4,5 组用分层抽样的方法随机抽取 12 名司机,则在第 2,3,4,5 组 抽取的人数分别是 6,3,2,1.………………………………………………… ……………(7 分)
[来源:www.shulihua.net]

设任意选取的 3 人超速在 ? 20%,80%? 之间的人数是 ? ,则 ? ? 2 或 ? ? 3 .……………(9 分)

P ?? ? 2 ? ?
分)

2 1 C11C1 1 C3 3 ? , P ?? ? 3? ? 11 ? ,………………………………………… (11 3 3 C12 4 C12 4

所以 E? ? 2 ?

1 3 11 ? 3 ? ? .……………………… …………………………………… (12 分) 4 4 4

(19)解: (Ⅰ)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,因为 A1 B ? 平面ABC , A1 B ? 平面 ABB1 A1 ,所 以平面 ABB1 A ? 平面 ABC ,………………………………………………………………(2 1 分) 因 为 平 面 ABB1 A1 ? 平 面 A B C? A B AB ? AC , 所 以 AC ? 平 面 ABB1 A1 , 所 以 ,

A C ? B B. 1
…………………………………………………………………………………………………(4 分)

设平面 PAB 的一个法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,因为 AP= ? 2?, ? 2?, ? , AB ? ? 0,,? , 4 2 2 0

??? ?

??? ?

??? ? ?n1 ? AP ? 0 ?2? x ? ? 4 ? 2? ? y ? 2 z ? 0 ? z ? ?? x ? ? , 即 所以 ? , , ? ? ? ??? ?2 y ? 0 ?y ? 0 ? ?n1 ? AB ? 0 ?
令 x ? 1 得 n1 ? ?1 0, ? ? ,…………………………………………………………………(10 , ? 分) 而平面 ABA1 的一个法向量是 n2 ? ?1,0,0 ? ,

则 | cos? n1 , n2 ? |?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

1 1? ?
2

?

1 2 5 ,解得 ? ? ,即 P 为棱 B1C1 的中点,其坐标为 5 2

(12 32 ?1,, ? .………………………………………………………………… ………… ……… 分)

(Ⅱ)为了减少计算量,先考察一般性.设曲线 C 的方程是

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0, y ? 0 ? , a 2 b2
? ? b? ?, a?

直线 A1 P 的斜率是 k ,因为 P 是曲线 C 上位于第一象限内的任意 一点,所以 k ? ? 0,

…………………………………………………………………………………………………(5 分)
[来源:数理化网]

设 P, Q 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则直线 A1 P 的方程是 y ? k ? x ? a ? ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 由 ? a 2 b2 消去 y 得,? a k ? b ? x ? 2a k x ? a (a k ? b ) ? 0 , ………… 分) (7 ? y ? k ? x ? a? ?
[来源:www.shulihua.net]

? a ? b2 ? a 2 k 2 ? ? x1 ? ? b 2 ? a 2 k 2 . ……………………………………………………………………(8 解得 ? 2ab2 k ? y1 ? 2 ? b ? a2k 2 ?
分)

? a ? a 2 ? b2k 2 ? ? x2 ? 1 ? a 2 ? b 2 k 2 . …………………………… 分) 将上式中的 a 换成 ?a ,k 换成 ? 得 ? (9 k ? 2ab 2 k ? y2 ? a 2 ? b 2 k 2 ?
? 2 ?1 ? 4k 2 ? ? x1 ? ? 1 ? 4k 2 , 又上式中的 a ? 2, b ? 1 , 代入可解得 ? ? y ? 4k ? 1 1 ? 4k 2 ?
所以 kPQ ?

? 2?4 ? k 2 ? ? x2 ? ? 4 ? k 2 , …………(10 分) ? ? y ? 4k ? 2 4 ? k2 ?

y1 ? y2 1 ? 1? ? ?k ? ? , x1 ? x2 5 ? k?
1 ? 1? 3? ? 在 ? 0, ? 上单调递增,所以 k PQ ? ? ??, ? ? .……………………(12 k ? 2? 10 ? ?

因为 g ? k ? ? k ? 分)

(21)解: (Ⅰ) f ?( x) ? 1 ? 当 a<0 时, f ?( x ) ? 1 ?

a 2x ? a ? ,x ?0. 2x 2x

a ≥ 0 对一切 x ? ? 0, ?? ? 恒成立,所以 f ( x) 的单调递增区间是 2x

? 0, ?? ? ,
? 2 ) 因 为 f ( x ) 在 区 间 (m , 1 m 上 单 调 递 增 , 所 以 (m , 1 m ? ? ? 2 )
0≤m ?
分)

??? , 所 以 0,

1 ;……………………………………………………………………………………(3 3
a a ,由 f ?( x )<0 得, 0 ? x< ,所以 f ( x ) 的单调递增 区 2 2

[来源:www.shulihua.net]

当 a ? 0 时,由 f ?( x)>0 得 x>

间是 ? 分)

? a? ?a ? , ?? ? ,单调递减区间是 ? 0, ? ,……………………………………………………(4 ? 2? ?2 ?

因为 f ( x ) 在区间 (m,1 ? 2m) 上单调递增, 所以 (m,1 ? 2m) ? ?

a ? ?m≥ ?a ? , ?? ? , 所以 ? , 2 ?2 ? ? m ? 1 ? 2m ?

a ? ? m≥ 2 ? , …………… ………………………………………………………………………(5 得? ?m ? 1 ? 3 ?
分)

2 a 1 2 时, ≤m ? ,当 a≥ 时,m ? ? .……………………………………(6 分) 3 2 3 3 2 a 1 1 2 综 上 , 当 a<0 时 , 0≤m ? ; 当 0 ? a ? 时 , ≤m ? ; 当 a≥ 时 , 3 2 3 3 3 m ? ? .……………………………………………………………………………………… 分) (7
当0 ? a ?

(22)解: (Ⅰ)? ? ? BD,??ABC ? ?BCD .………………………………………(2 AC ? 分) 又? EC 为圆的切线,??ACE ? ?ABC, ? ?ACE ? ?BCD .………………………(5 分) (Ⅱ)? EC 为圆的切线,∴ ?CDB ? ?BCE , 由(Ⅰ)可得 ?BCD ? ?ABC ,……………………………………………………………(7 分) ∴△ BEC ∽△ CBD ,∴

CD BC ? ,∴ BC =3.………………………………………(10 BC EB

分) (23)解: (Ⅰ)椭圆的参数方程化为普通方程,得

x2 y 2 ? ?1, 25 9

? a ? 5, b ? 3, c ? 4, 则点 F 的坐标 为 (4, 0) .

? 直线 l 经过点 (m, 0),? m ? 4 .……………………………………………………………(4
分) (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程,并整理得:

(9cos2 ? ? 25sin2 ? )t 2 ? 72t cos ? ? 81 ? 0 .

[来源:www.shulihua.net]

设点 A, B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则

| FA | ? | FB |?| t1t2 | =
分)

81 81 ? . ………………………………(8 2 9 cos ? ? 25sin ? 9 ? 16sin 2 ?
2

当 sin ? ? 0 时, | FA | ? | FB | 取最大值 9 ;

| 当 sin ? ? ?1 时, FA | ? | FB | 取最小值

81 (10 分) . …………………………………………… 25


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