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【广东省2013-2014学年高二寒假作业数学(七) Word版解析]


广东省2013-2014学年高二寒假作业(七)数学
一、选择题 1.如图,A 是半径为 1 的球面上一定点,动点 P 在此球面上运动,且 记点 P 的轨迹的长度为 ,则函数 的图像可能是( ) ,

2.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

①正方体 ②圆锥 ③正三棱台 ④正四棱锥 A.①② B.①③ C.①

③ D.②④ 3. 球 O 与锐二面角 α-l-β 的两半平面相切, 两切点间的距离为, O 点到交线 l 的距离为 2, 则球 O 的表面积为( )

A. B.4π C.12π D.36π 4.已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上,若此正方体的棱长为 2,那么这个球 的表面积是( ) A. B. C. D.

5.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,且直角边 长为 1,那么这个几何体的体积为( ) Ks5u

A.1

B.

C.

D.

6.网格纸的小正方形边长为 1,一个正三棱锥的左视图如图所示,则这个正三棱锥的体积 为( )

A.

B.

C.

D.

7.正方体的全面积为 6,它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是 ( ) 6 ? 8 ? A. 3? B. 4? C. D. 8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,这个几何体的体积 是( ) A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

C. 2000cm

3

D. 4000cm

3

10 20 10 20 正视图 20 侧视图 20 俯视图

二、填空题 9.下图是一个几何体的三视图,那么这个几何体的体积等于



10.若某几何体的三视图 (单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是

cm3.

11.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球 面上,且该六棱柱的高为 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 。 . .

12.若圆柱的侧面展开图是一个正方形,则它的母线长和底面半径的比值是 13.已知正三棱柱的底面正三角形边长为 2,侧棱长为 3,则它的体积

14. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径 和它们的高都与某一个球的直径相等, 这时圆柱、 圆锥、 .. 球的体积之比为 .Ks5u

M

T

三、解答题 15. (本小题满分 12 分)一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M 、G 分别是 AB 、

DF 的中点.
(1)求证: CM ? 平面 FDM (2)在线段 AD 上(含 A 、 D 端点)确定一点 P ,使得 GP // 平面 FMC ,并给出证明;

(3)一只小飞虫在几何体 ADF ? BCE 内自由飞,求它飞入几何体 F ? AMCD 内的概率.

F

E

G
D A

C
M B

Ks5u

16. 几何体 ABE ? DCF 的三视图如图,EC 与 BF 交于点 O ,M , N 分别是直线 DF , EF 的中点,

2

A

D

2
正视图 侧视图 B M C O 俯视图 (I) MO // 面 ABCD ; (II) AM ? 面 NMC ; (Ⅲ)求二面角 M ? NC ? F 的平面角的余弦值. E N F

2

Ks5u

17. (本小题满分 13 分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视 图的侧视图,俯视图,在直观图中,M 是 BD 的中点,N 是 BC 的中点,侧视图是直角梯形, 俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.

(1)求该几何体的体积; (2)求证:AN∥平面 CME; (3)求证:平面 BDE⊥平面 BCD

Ks5u

广东省2013-2014学年高一寒假作业(七)数学
一、选择题 1.D 【解析】由题意,设点 P 的所在的圆的半径为 r,则在三角形 OAP 中, ,



, ∴

, 当

x=

时 ,

,排除 A、C,又因为是曲线,故排除为 A,故选 D 2.D 【解析】利用三视图的作图法则,对选项判断,A 的三视图相同,圆锥,四棱锥的两个 三视图相同,棱台都不相同,推出选项即可 正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,圆锥和正四棱锥的,正视图和侧 视图相同,所以,正确答案为 D.故选 D 3.B 【解析】设球 O 与平面 α,β 分别切于点 P,Q,过点 O 作 OR l 于低能 R,连接 PR,QR,PQ, 设 PQ 与 OR 相交于点 S, 其抽象图如下图所示, 则有 PO PR,OQ QR,故 P,O,Q,R 四点共圆, 此圆的直径为 2,由正弦定理得 ,又二面角 α-l

-β 为锐二面角,所以 Ks5u 即球的半径为 1,球 O 的表面积为 S= ,故选 B.

4.B 【解析】此球是正方体的外接球,正方体的体对角线等于球的直径,即 ,表面积 5.D

【解析】几何体是一个三棱锥,它的体积

。故选 D。

6.B 【解析】根据题意,由于一个正三棱锥的左视图中底边长为 3,高为 3,则说明了原三棱锥

的底面的边长为 选 B. 7.A

, 底面积为

,则体积为

,故

【解析】本试题主要是考查了正方体的外接球的表面积的求解。 因为正方体的全面积为 6,所以正方体的棱长为:1,正方体的对角线为: 3 因为正方体的

顶点都在球面上,所以正方体的对角线就是外接球的直径,所以外接球的半径为:

3 外接 2

球的表面积为:4π(

3 2 ) =3π.故选 A。 2

解决该试题的关键是理解正方体的外接球的直径就是正方体的体对角线的长度。 8.B 【解析】如图,几何体是四棱锥,一个侧面 PBC⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是正方形,且边长 为 20,那么利用体积公式可知 V ? 二、填空题 9. 【解析】由三视图可知该几何体是圆柱,底面圆直径为 2,圆柱高为 4,所以其体积为

1 8000 3 ? 20 ? 20 ? 20 ? cm ,故选 B. 3 3

10.16 【解析】由三视图可知原几何体为四棱锥,底面是梯形上底是 2 下底是 4 高为 4,四棱锥的 高是 4,?V ? ? 2 ? 4 ? ? 4 ?

1 1 ? 4 ? ? 16 2 3

11.

Ks5u

【解析】底面是正六边形,侧棱垂直底面,顶点都在同一球面上,所以球心到每个顶点的距 离为球半径,且球心在 12. 高度的中心轴上,球的半径为 1,所以球的体积为 .

【解析】设圆柱的底面半径为 r,母线长为 l,由题意 13.

r=l,∴

【解析】∵ 正三棱柱的底面正三角形边长为 2,侧棱长为 3,∴ 14. 3 :1: 2 . 【解析】设球的半径为 r,则 V圆柱 ? ? r ? 2r ? 2? r ,V圆锥 ? ? r ? 2r ?
2 3 2

1 3

2? r 3 4 ,V球 ? ? r 3 , 3 3

所以 V圆柱 : V圆锥 : V球 ? 2? r :
3

2? r 3 4 3 : ? r ? 3:1: 2 . 3 3
1 2

三、解答题 15. (1)证明见解析(2)证明见解析(3)

【解析】由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥DF,DF=AD=DC (1) Q FD ? 平面ABCD, CM ? 平面ABCD,? FD ? CM ,

在矩形ABCD中,CD= 2a, AD= a,M为AB中点,DM = CM = 2a,?CM ? DM ,
Q FD ? 平面FDM , DM ? 平面FDM ,FD I DM = M ? CM ? 平面FDM
(2)点 P 在 A 点处. Ks5u ……5 分 证明:取 DC 中点 S,连接 AS、GS、GA ∵G 是 DF 的中点,GS//FC,AS//CM ∴面 GSA//面 FMC,而 GA ? 面 GSA,∴GP//平面 FMC. (3) VF ? AMCD ? ……9 分 ……4 分

1 1 S AMCD ? DF ? a 3 , 3 2

VA D ? F

BCE

? a3 ,
1 . 2
……12 分

由几何概型知,小虫飞入几何体的概率为 VF ? AMCD : VADF ? BCE ?

16. (I)见解析; (II)见解析; (Ⅲ)

6 。 3

【解析】由三视图知,四边形 EFCB . BCDA 均为边长为 2 的正方形,且

AB ? BE

BC ? AB, BC ? BE ? BC ? 面 EBA

. . . . . . . . . . . . . .2 分 ? 几何体 ABE ? DCF 是直三棱柱. (1)连接 BD ,

M , O 分别为 DF , BF 的中点

? MO // BD , MO ? 面 ABCD , BD ? 面 ABCD
. . . . . . . . . . . . . .4 分 ? MO // 面 ABCD .

(2)法一:在 Rt ?AEN 中,由 AE ? 2 2, EN ? 1 得 AN ? 3 同理在 Rt ?ADN 中可得 AM ? 6 ,在 Rt ?NMF 中可得 NM ? 3

? AN 2 ? AM 2 ? NM 2

?A M? N M

z

由 M 是直线 DF 的中点得 CM ?

2 ,而 AC ? 2 2

? AC 2 ? AM 2 ? CM 2
又? NM

?A M? C M

CM ? M

. . . . . . . . . . . . . .8 分 ? AM ? 面 NMC . 法二:如图以 B 为坐标原点,以 BE, BC , BA 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标

B ? xyz ,则
B(0, 0, 0) , C (0, 2,0) , N (2,1, 0) , M (1, 2,1) , A(0, 0, 2) ,则 AM ? (1, 2, ?1)

A

D

M B O E N F C

y

x

设面 MNC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ?

? ?CN n ? 0

? x?z ?0 ?z ? ?x ?? ?? ? ?CN n ? 0 ?2 x ? y ? 0 ? y ? 2 x

? x ?1 ? 取 x ? 1 ,则 ? y ? 2 ,面 MNC 的一个法向量为 n ? (1, 2, ?1) ? z ? ?1 ?
所以 AM // n ,? AM ? 面 NMC . . . . . . . . . . . . . . .8 分 (3)如图以 B 为坐标原点,以 BE, BC , BA 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐 标 B ? xyz ,则

B(0, 0, 0) , C (0, 2,0) , N (2,1, 0) , M (1, 2,1) , F (2, 2,0) ,? BC ? (0, 2,0)
因为 BC ? 面 DCF , BC 是面 DCF 的一个法向量.

?CM ? (1,0,1) ,?CN ? (2, ?1,0)
设面 MNC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ?

? ?CN n ? 0

? x?z ?0 ?z ? ?x ?? ?? ? ?CN n ? 0 ?2 x ? y ? 0 ? y ? 2 x

? x ?1 ? 取 x ? 1 ,则 ? y ? 2 ,面 MNC 的一个法向量为 n ? (1, 2, ?1) ? z ? ?1 ?

?cos ? n, BC ??

n BC 4 6 ? ? | n || BC | 6 ?2 3
6 . . . . . . . . . . . . . . .13 分 3
.又 AE∥ CD,且 , 平面 CME,EM 平

所以二面角 N ? MC ? F 的平面角的余弦值为

17.(1)4 ;(2)连接 MN,则 MN∥ CD,且 ∴ ∥ , =

∴ AN∥ EM.∵ AN 四边形 ANME 为平行四边形,∴

∴ AN∥ AC=AB, N 是 BC 的中点, ∴ AN⊥ BC,又平面 ABC⊥ ∴ AN⊥ 面 CME, 平面 CME (3)∵ 平面 BCD, EM,∴ EM⊥ 平面 BCD 则(2)知:AN∥ 平面 BCD,又 EM 平面 BDE,∴ 平面 BDE⊥ 平面 BCD

【解析】 (1)由题意可知:四棱锥 B-ACDE 中,平面 ABC⊥ 平面 ACDE,AB⊥ AC, AB⊥ 平面 ACDE,又 AC=AB=AE=2,CD=4, …………2 分

则四棱锥 B-ACDE 的体积为: 即该几何体的体积为 4 …………4 分 (2)证明:由题图知,连接 MN,则 MN∥ CD,



且 ∴ ∥ ,

.又 AE∥ CD,且 =



…………6 分

∴ 四边形 ANME 为平行四边形,∴ AN∥ EM.

∵ AN 平面 CME,EM 平面 CME,∴ AN∥ 平面 CME ……………8 分 (3)证明:∵ AC=AB,N 是 BC 的中点,∴ AN⊥ BC, 又平面 ABC⊥ 平面 BCD,∴ AN⊥ 平面 BCD …………10 分 则(2)知:AN∥ EM, ∴ EM⊥ 平面 BCD,又 EM 平面 BDE,∴ 平面 BDE⊥ 平面 BCD ……13 分 Ks5u


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